如何证明矩阵A可逆？
证明：
A的行列式不等于0，而|E|=1,|P|,|Q|不等于0,所以|A|不等于0,A可逆，
A可逆充要条件是|A|不等于0.这里P，Q都是可逆的，所以A=P-1Q-1,A-1=QP。
因为A的行列式等于它的所有特征值的乘积。
所以A可逆｜A｜≠0A的特征值都不等于0。
（当矩阵行列式不为零，就可以推出伴随阵来计算矩阵的解析式，既然都求出你阵逆阵了，原矩阵当然可逆。反过来，当原矩阵可逆时，A乘A的逆等于单位阵，两边取行列式，便得到行列式一定不为零。）
设M是n阶方阵，I是单位矩阵，如果存在一个数λ使得M－λI是奇异矩阵（即不可逆矩阵，亦即行列式为零），那么λ称为M的特征值。
扩展资料
矩阵可逆的必要条件：
|A|=0 的充分必要条件
<=> A不可逆 (又称奇异)
<=> A的列(行)向量组线性相关
<=> R(A)<n
<=> AX=0 有非零解
<=> A有特征值0。
<=> A不能表示成初等矩阵的乘积
<=> A的等价标准形不是单位矩阵|A|≠0的充分必要条件
<=> A可逆 (又非奇异)
<=> 存在同阶方阵B满足 AB = E (或 BA=E)
<=> R(A)=n<=> R(A*)=n
<=> |A*|≠0<=> A的列(行)向量组线性无关。
<=> AX=0 仅有零解<=> AX=b 有唯一解。
<=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示。
<=> A可表示成初等矩阵的乘积。
<=> A的等价标准形是单位矩阵。
<=> A的行最简形是单位矩阵。
<=> A的特征值都不等于0。
<=> A^TA是正定矩阵。
请问刘老师,如何证明一个单纯矩阵A可逆,求A的逆矩阵的谱分解?
假设矩阵A的谱分解为 A=c1E1+c2E2 那么逆的谱分解为1\/c1 E1+ 1\/c2 E2 你可以乘一下看看 刚好乘积是单位阵。。。
可逆矩阵性质推导与高等数学中的内容有何关联?
首先，可逆矩阵的定义和性质推导与矩阵运算密切相关。可逆矩阵是指一个非奇异矩阵，即其行列式不为0。这个定义可以通过矩阵的行变换或列变换来证明。在矩阵运算中，我们经常需要将一个矩阵通过初等行变换或初等列变换转化为更简单的形式，这就需要用到可逆矩阵的性质。例如，我们可以通过对一个矩阵进行行变...
伴随矩阵和逆矩阵有何不同?
可逆矩阵一定是方阵，如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A，记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
矩阵的一道题:若n阶矩阵a可逆,问:ka何时可逆,求它的逆矩阵
k不为0时，kA可逆 且逆矩阵等于A^(-1)\/k 证明：kA（A^(-1)\/k）=kAA^(-1)\/k =AA^(-1)=E 因此kA逆矩阵等于A^(-1)\/k
设a,b,c为同阶方阵、且a可逆、b不为零矩阵证明若ac=0则c=0
解：AC=O，左乘A-1，即A-1AC=A-1O 即EC=O，即C=O 不知道B有何用= = 个人见解，仅供参考。
已知三阶矩阵A,B满足A^2-2AB=E,证明AB=BA,若B={(1,0,0)^T,(2,3,0...
由A(A-2B) = E, A可逆.因此r(AB-2BA+3A) = r(-A(B-3E)) = r(B-3E).B-3E = [-2,2,0;0,0,a;0,0,2],可经初等行变换化为[-2,2,0;0,0,2;0,0,0].因此无论a取何值, 都有r(B-3E) = 2.
A.B均为正定矩阵,证明AB也正定
显然这个题目是错的，甚至连AB对称都无法保证，又何谈正定性.需要外加条件,比如A,B可交换
如何证明伴随矩阵秩r(A*)与r(A)的关系
某矩阵可逆，说明其秩一定为n.因为 A^(-1)=A*\/|A| ， 如果秩<n,说明经过初等变换有全零行（或列）出现，则|A| =0, A^(-1)就不存在了。（2）上面题目提及，A为方阵，所以，行列是相等的，均为n. 求矩阵的秩就是经过初等变换。化为对角阵的形式，如果非零行有k 个，则其秩为k。
求全、逆概公式(及其密度函数形式)的应用,要求PPT或word,最好说明资料...
3.了n解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区a间上t连续函数的性质(有界性、最大s值与m最小u值定理和介5值定理)并掌握应用这些性质进行相关证明题论证的方0法。 二h、一q元x函数微分4学 考试内8容 导数和微分7的概念。导数的几x何意义v。函数的可导性与m连续性之v间的关系。导数的四则运算法则...
设A为n阶方阵,若A²=E,证明A的特征值只能是1或-1
证明: 设λ是A的特征值则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理)而零矩阵的特征值只能是0所以 λ^2-1=0所以 λ=1 或 -1。定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式 AX=λX (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（...
危包奥美： 矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化,而A的逆=1|d乘以A*(d为矩阵的行列式) 证明:当d=|A|不等于0,由A可逆知,且A的逆=1|d乘以A*. 反过来,如果A可逆,那么有A的逆 A乘以A的逆=E 两边去行列式得 |A||A的逆|=|E|=1 因而|A|不等于0,即A为非退化. 嘻嘻....希望能帮到你!!!
龙泉驿区18293192820： 求证:n阶矩阵A特征值全不为0,则A可逆 - ？
危包奥美： 矩阵a的行列式等于a的所有特征值的乘积.充分性:因为a的所有特征值都不为0,所以a的行列式不等于0,所以a可逆.必要性:因为a可逆,所以a的行列式不等于0,所以a的所有特征值不为0
龙泉驿区18293192820： 证明:对于n阶实方阵A,如果AT(转置)+A=I(单位矩阵),则A是可逆矩阵 - ？
危包奥美： 反证法:如果A不可逆,则存在非零列向量x 使得 Ax = 0, 于是 x^TA^T = (Ax)^T =00 不等于 = x^T * x = x^T * I * x=x^T * (A^T + A)* x= x^T A^T x + x^T A x = 0*x + x^T * 0 = 0 矛盾 所以A是可逆矩阵
龙泉驿区18293192820： 矩阵A=[(1 2),(3 4)].证明A可逆.《2>将A表示成初等矩阵的乘积. - ？
危包奥美：[答案] 一:二阶数字型矩阵,所以直接求对应的行列式值来证明可逆.|A|=4-6=-2≠0,所以可逆 二:这是个简单矩阵,所以你可以借用矩阵求逆时候的思想来求解.自己不妨试一下,实在不会再追问
龙泉驿区18293192820： 设A 为n阶非零实矩阵, A*=AT,证明A可逆. - ？
危包奥美： 证: 由A*=A^T 得 AA^T = AA* = |A|E. 又A为非零实矩阵, 不妨设A的第一行不全为0, 考虑A的第一行分别乘A^T的第一列之和, 则有 |A| = a11^2+a12^2+...+a1n^2 ≠ 0 所以 A 可逆.
龙泉驿区18293192820： A是n阶非零实矩阵,且A*=AT.证明:A是可逆矩阵. - ？
危包奥美： |证明过程如下:A*=AT AA*=AAT 而AA*=|A|E AAT=|A|E 然后用反证法,假设A不可逆,即|A|=0 则AAT=0E=O 根据一个矩阵乘以其转置矩阵为零矩阵时,这个矩阵必为零矩阵. 于是A=O,这与题设矛盾,所以假设不成立. 所以A是可逆阵. ...
龙泉驿区18293192820： 如何证明一个矩阵是可逆的?(多种方法) - ？
危包奥美：[答案] 就一个n阶的矩阵 1矩阵的秩小于n,那么这个矩阵不可逆,反之可逆 2矩阵行列式的值为0,那么这个矩阵不可逆,反之可逆 3,对于齐次线性方程AX=0,若方程只有零解,那么这个矩阵可逆,反之若有无穷解则矩阵不可逆 4,对于非齐次线性方程...
龙泉驿区18293192820： 求证矩阵A可逆？
危包奥美： 以A*表示伴随矩阵,A'表示转置矩阵 ------ 反证法.假设n阶矩阵A不是可逆的,则|A|=0. A*=A',则AA'=AA*=|A|E,E是单位矩阵.所以AA'=0. 设A的第i行j列元素是aij,则AA'的第k个主对角线元素是∑(akj)^2,j=1,2,...,n(k=1,2,...,n). 所以akj=0(j,k=1,2,...,n).. 所以A=0,与A≠0矛盾. 所以,A可逆.
龙泉驿区18293192820： n阶矩阵A可逆等价于 A是初等矩阵的乘积,具体如何证明呢 - ？
危包奥美：[答案] n阶矩阵A可逆 当且仅当A与单位矩阵等价; 当且仅当单位矩阵E可以经过若干次行初等变换化为矩阵A; 当且仅当存在若干个初等矩阵E1,E2,...Et,使得Et...E2E1=A 即A是t个初等矩阵的乘积.,
龙泉驿区18293192820： 怎样证明一个N阶可逆实矩阵A可由两个可逆的对称矩阵的乘积表示 - ？
危包奥美： 利用实Jordan标准型可以证明,任何n阶实矩阵都可以分解成两个实对称矩阵的乘积,A可逆可以得到余下的部分. 把A化到相抵标准型A=PDQ^T,其中P和Q可逆,D=diag{I,0},再取B=PQ^{-1}, C=QDQ^T即可. 首先需要证明转秩运算和逆运算...
