怎样解二阶常系数线性微分方程?
二阶常系数线性微分方程一般形式y'' +p y' + qy = f(x)①
(下面用到r1、r2、y1、y2、C1、C2)
一、二阶常系数齐次线性方程
其一般形式y'' + py' + qy = 0 ②
即①式中的f(x) = 0，求该式通解，直接运用定理得知②的通解：y = C1y1(x) + C2y2(x)
接着只需求解出y1(x)和y2(x)的解就ok了。
可以将②式写成 (也可理解将y的n次导看成r的n次方)（r^2 + p*r + q）e^rx = 0 => （r^2 + p*r + q） = 0】③，接着就是求解方程③(称为特征方程)的根r1、r2，
该特征方程求根可以分成三种情况去讨论：
1.p^2 - 4q > 0 ，③式有两个不相等的根r1、r2，即y = C1*e^r1x + C2*e^r2x
2.p^2 - 4q = 0 ，③式有两个相等的根r,即y = C1*e^rx + C2*xe^rx
3.p^2 - 4q < 0 ，③式有一对共轭复根(无实数根),即y=e^αx (C1*cosβx + C2*sinβx)
其中α = -(b/2a) ,β = (√-△) / 2a .】 (注: a,b为特征方程项系数 ,△为p^2 - 4q)
二、二阶常系数非齐次线性方程
其一般形式y'' +p y' + qy = f(x) 即f(x) ≠0
该方程的通解为y = Y(x) + y* (Y(x) 为②式,即齐次方程的通解;y*为 ①式的特解)
第一步，求②式(齐次方程)通解，(参照上面一的方法)
第二步，求①式特解。根据①式根据f(x)类型分成两种求解方式 :1.f(x) = P(x) * e^(λx)
特解: y* = x^k * Pm(x) * e^λx】④(Pm(x) 为与P(x)同次的多项式，k是根据λ 不是③式的根(特征根)、单根、重复根依次取值为0,1,2)
2.f(x) = e^λx * [ Pl(x)cosωx + Qn(x)sinωx]
特解: y* = x^k * eλx [Pl(x)cosω+Ql(x)sinωx]】 ⑤
( l=max(l,n),k是根据λ+iω不是③式的根(特征根)、单根依次取值为0,1 ; i是虚数)
最后将特解带入原方程式①中，即可解得Pm(x)的具体方程式 。y = Y(x) + y* 就求出来了。
如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解?
2、如果f(x)=P(x) e'a x，Pn (x）为n阶多项式。二阶常系数非齐次线性微分方程常用的几个：1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 二阶常系数线性微分方程是形如y''...
二阶线性常系数方程的求解
非齐次方程的特解和齐次方程的特征根没有关系（严格讲是这样：非齐次方程的特解和自由项以及齐次方程的常系数有关系，齐次方程的特征根只和齐次方程的常系数有关系，大家都和齐次方程的常系数有关，不要把因果关系颠倒了；象题中所说就是颠倒因果关系）；第三步：求非齐次方程的通解，非齐次方程！！
已知二阶常系数齐次线性微分方程的特征根,试写出对应的微分方程及其通解...
【答案】：(1)由r1=3，r2=-4知，原微分方程对应的特征方程为r2+r-12=0因此，原二阶常系数齐次线性微分方程为y"+y'-12y=0其通解为y=C1e3x+C2e-4x．$(2)由r1=0，r2=2知，原微分方程对应的特征方程为r2-2r=0因此，原二阶常系数齐次线性微分方程为y"-2y'=0其通解为y=C1+C2e2x．$(...
二阶常系数齐次线性微分方程 通解
因2个解都满足微分方程。所以，微分方程的实函数解为，y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[...
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。特解y*设法 1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e...
二阶线性常系数齐次微分方程的解法。
当然不是了，首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)\/2 所以齐次通解是y=e^(1\/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1\/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)＋a
高等数学小练习题:求二阶线性常系数微分方程的通解
特征方程 r^2-5r+6 = 0, 特征根 r=2, r=3 对于微分方程 y''-5y'+6y = 4, 得特解 y = 2\/3;对于微分方程 y''-5y'+6y = -3e^(2x), λ=2 是单特征值，则 特解形式应设为 y = axe^(2x)，代入微分方程得 a = 3， 则特解是 y = 3xe^(2x)。于是 原...
二阶线性微分方程的解一样吗?
不一样：y(x) = c1e^[(α+iβ)x] + c2e^[(α-iβ)x]。= e^(αx) [c1e^(iβx) + c2e^(-iβx)] 。下面利用欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx。= e^(αx) [c1(cosβx + isinβx) + c2(cosβx-isinβx)]。
特征法解二阶常系数线性齐次微分方程的问题
简谐振动就是这类方程的解。例二：d²y\/dx² - ω²y = 0，这个方程不同于例一，连续两次求导后符号 是一样的，它一定不是sinx或cosx，一定是e^x或e^(-x)，这类运动 不是受迫振动，就是阻尼振动。4、齐次线性常系数常微分方程，因为是常系数，又因为是齐次，还是线性的，...
二阶常系数齐次微分方程是什么?
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。二阶常系数齐次线性微分方程 标准形式：y″+py′+qy=0 特征方程：r^...
逄星咳嗽： 特征方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齐次通解 y=C1e^(x/2)+C2e^(-x) 设特解为y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齐次通解是y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
郫县13232073307： 常系数二阶齐次线性微分方程怎么求解 - ？
逄星咳嗽： r²+pr+q=0 1)△>0 y=c1e^r1x+c2e^r2x 2)△=0 y=(c1+c2x)e^rx 3)△<0 y=e^αx(c1cosβx+c2sinβx)
郫县13232073307： 如何简单求解二阶常系数线性非齐次微分方程? - ？
逄星咳嗽： 这个没有简单的,目前可解的微分方程很有限,尤其二阶还是非其次的.只有一些指数形式的,在复数域内可解,但没有固定的方法
郫县13232073307： 求二阶常系数非齐次线性微分方程y'' - 4y'+3y=2e∧(2x) 的通解 求大神解答!万分感谢! - ？
逄星咳嗽： -4y',所以(λ-1)(λ-3)=0,C2为任意常数)设y':y=C1e^x+C2e^(3x) -2e^(2x),C2为任意常数) -------------------- (代入原方程验证,(C1;+3y=2e^(2x)则[2ae^(2x)+2ae^(2x)+4(ax+b)e^(2x)]-4ae^(2x)+2(ax+b)e^(2x)]+3[(ax+b)e^(2x)]=2e^(2x) 整理:λ²...
郫县13232073307： 已知通解怎么求二阶常系数微分方程 - ？
逄星咳嗽： 若函数族F是二阶常系数微分方程a*y''+b*y'+c*y=0的通解,任取F中的一个特解f,取其定义域上互异的三点u,v,w使如下3阶行列式非零: f''(u) f'(u) f(u) f''(v) f'(v) f(v) f''(w) f'(w) f(w) 则从方程组 f''(u)*a+f'(u)*b+f(u)*c=0 f''(v)*a+f'(v)*b+f(v)*c=0 f''(w)*a+f'(w)*b+f(w)*c=0 可解得a,b,c.
郫县13232073307： 二阶微分方程的3种通解 ？
逄星咳嗽： 第一种:两个不相等的实根:y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x).第二种:两根相等的实根:y=(C1+C2x)e^(r1x).第三种:一对共轭复根:r1=α+iβ,r2=α-iβ:y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx).拓展:二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程,其中p,q是实常数.自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数,即y''+py'+qy=0时,称为二阶常系数齐次线性微分方程.若函数y1和y2之比为常数,称y1和y2是线性相关的;若函数y1和y2之比不为常数,称y1和y2是线性无关的.特征方程为:λ^2+pλ+q=0,然后根据特征方程根的情况对方程求解.
郫县13232073307： 二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, - ？
逄星咳嗽：[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a
郫县13232073307： 二阶常系数齐次线性微分方程通解 - ？
逄星咳嗽： y'' - 2y' + 5y = 0, 设y = e^[f(x)],则 y' = e^[f(x)]*f'(x), y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x). 0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)], 0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5, 当f(x) = ax + b,a,b是常数时. f''(x) = 0, f'(x) = a. 0 = a^2 - 2a + 5. ...
