将100000元分解成1元、5元、10元的零钱共有多少种分解方法？

~ 81种换法
一 ，每种至少一张，实际应为至少10元、5元各一张，1元的5张。共20元，剩下的80元可任意分配。
二，80元的零钱可以如下：
8张10元。1种
7张10元，5元的2、1、0张（差额为1元，下同）。3种
6张10元，5元的4、3、2、1、0张。5种
5张10元，5元的6、5、4、3、2、1、0张。7种
......
1张10元，5元的14、13.....6、5、4、3、2、1、0张。15种
0张10元，5元的16、15、14、13.....6、5、4、3、2、1、0张。17种
三，总的换法为
1+3+5+.....+15+17=81种
看到这个题目的第一感觉就是一个三元一次方程的求解，编程的话，就是三个for循环外加个if判断，瞬间KO。对这个题目来说效率也是可以接受的。可是这根本没有体现出算法的优势。下面我们来仔细推敲下这里面隐藏的规律。



根据上图的规律，即可得到如下代码：

/**
* 1、求解特定实例：要将100元兑换为1元、5元、10元的零钱，请问有多少种兑换方法？
*
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays() {
int count = 0;
for (int i = 0， size = 100 / 10; i <= size; i++) {
// 针对10的每个场景，计算5的组合情况（即，从0个5 到 n（ n=(100 - i * 10)/5
// ）个5共n+1种情况
count += (100 - i * 10) / 5 + 1;
}
return count;
}

到这里，这个就算解完了，但是这里确实因为分解的元素中包含1，将问题变的简单化了，如果不是1、5、10而是随意的三个数字，改怎么解决呢？同样还是要找出规律来。

下面我们就来分析下10、5、3如何组合成100吧。

首先，0个10的情况下，5和3怎么组合成100呢？正好20*5=100，显然这是不存在10的情况下出现最多5的情况，那还有没有其他的组合情况呢？这时我们就要用到一个最小公倍数（3和5的最小公倍数是15），很显然，我们就可以将”3个5替换成5个3“了。因为最多20个5，所以我们可以继续用”3个5替换成5个3“，直到最后剩下2个5。综上0个10的情况下，5可以出现的次数分别为20、17、14、11、8、5、2，所以该场景下共有7中组合方式。

其次，1个10的情况下，5和3怎么组合成100呢？我们还是从5来出发，5*18=90，1个10的情况下，组合成100，最多可以出现18次，同理还是用”3个5替换成5个3“。最终1个10的情况下，5可以出现的次数分别为18、15、12、9、6、3、0。该场景下也有7种组合方式。

同理，依次分析下去。

根据上面的规律，得出代码如下：


/**
* 2、组合元素一般化：将total元兑换为large元、middle元、small元的零钱，请问有多少种兑换方法？
*
* @param total
* @param large
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays(int total， int large， int middle， int small) {
if (total > 0 && small > 0 && middle > small && large > middle) {
int count = 0;
int LCM = getLeastCommonMutiple(middle， small);
int substituteUnit = LCM / middle;
for (int i = 0， size = total / large; i <= size; i++) {
int restTotal = total - i * large;
if (restTotal > 0) {
// actualMaxMiddleNum>=0，表示restTotal正好可以有x个middle和y个small拼凑起来（x、y是大于等于0的整数）
int actualMaxMiddleNum = getActualMaxMiddleNum(restTotal， middle， small);
if (actualMaxMiddleNum >= substituteUnit) {
// actualMaxMiddleNum >=substituteUnit，表示可以将substituteUnit个middle替换成LCM/small个small
// 可以换多少次呢？显然可以换0、1...actualMaxMiddleNum/substituteUnit，即：actualMaxMiddleNum/substituteUnit+1
count += actualMaxMiddleNum / substituteUnit + 1;
} else if (actualMaxMiddleNum >= 0) {
// 0<=actualMaxMiddleNum// 因为count++;
}
} else {
// 正好被large完美匹配了
count++;
}
}
return count;
} else {
throw new IllegalArgumentException();
}
}

/**
* 获得方程：x*middle + y*small = restTotal 中x最大的取值。
*
* @param restTotal
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getActualMaxMiddleNum(int restTotal， int middle， int small) {
int modMiddle = restTotal % middle;
int maxMiddleNum = restTotal / middle;
int actualMaxMiddleNum = -1;
if (modMiddle == 0 || modMiddle == small) {
actualMaxMiddleNum = maxMiddleNum;
} else {
// 无法使用最大数量（即：maxMiddleNum）的middle和small组合成restTotal，
// 则需要逐步减少middle的个数，进而增加small的个数，来尝试组合成restTotal。
int minusMiddleNum = getMinusMiddleNum(middle， small， modMiddle， maxMiddleNum);
if (minusMiddleNum > 0) {
// 表示可以形成一个拥有最大middle数的组合，即： (maxMiddleNum - minusMiddleNum)*middle + y*small = restTotal ;
actualMaxMiddleNum = maxMiddleNum - minusMiddleNum;
} else {
// middle和small无论怎么组合都无法拼凑成restTotal，即：x*middle + y*small = restTotal 的整数解不存在
actualMaxMiddleNum = -1;
}
}
return actualMaxMiddleNum;
}

/**
*
* @param middle
* @param small
* @param modMiddle
* @param maxMiddleNum
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getMinusMiddleNum(int middle， int small， int modMiddle， int maxMiddleNum) {
int minusMiddleNum = -1;
for (int i = 1; i <= maxMiddleNum; i++) {
if ((middle * i + modMiddle) % small == 0) {
minusMiddleNum = i;
break;
}
}
return minusMiddleNum;
}

/**
* 求两个数的最小公倍数。
*
* @param middle
* @param small
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getLeastCommonMutiple(int m， int n) {
return m * n / getGreatestDivisor(m， n);
}

/**
* 求两个数的最大公约数。
*
* @param m
* @param n
* @return
* @author chenchanghan
*/
private static int getGreatestDivisor(int m， int n) {
int tmp = 0;
if (m < n) {
tmp = m;
m = n;
n = tmp;
}
while ((tmp = m % n) != 0) {
m = n;
n = tmp;
}
return n;
}



我们再来推广下，将分解的元素变成3个以上，具体见如下代码：

/**
* 3、元素个数一般化：将total元兑换为a元、b元、c元、....的零钱，请问有多少种兑换方法？
*
* @param total
* @param elements
* @return
* @author chenchanghan
*/
public static int getDivideWays(int total，int[] elements){
if(elements!=null && elements.length>=3){
int count = 0 ;
if(elements.length == 3){
count += getDivideWays(total，elements[0]，elements[1]，elements[2]);
}else{
int large = elements[0];
int[] subElements = new int[elements.length-1];
System.arraycopy(elements， 1， subElements， 0， subElements.length);
for (int i = 0， size = total / large; i <= size; i++) {
int restTotal = total - i * large;
if (restTotal != 0) {
count += getDivideWays(restTotal， subElements);
} else {
count++;
}
}
}
return count ;
}else{
throw new IllegalArgumentException();
}
}

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