《学会提问》3-逻辑推理的类型
论证本质上是范畴的推导,从已知范畴推导未知范畴。例如常见的三种论证
演绎论证:所有的食物都能吃,葡萄是食物,所以葡萄能吃。
归纳论证:中国的天鹅是白色,美国的是白色,英国的是白色,所以世界上所有的天鹅是白色。
类比论证:水滴石穿,因此人只要能坚持,一定能把事情做好。
从上面三个例子中可以看出,只有演绎论证是必然有效的,后面两个例子不一定是有效的。所以在逻辑中只有演绎论证是 必然性推理 ,通过 有效 与否(sound)来判断,而归纳论证和类比论证叫 或然性推理 ,通过归纳强度和类比可接受度来判断。
演绎论证是从一般到特殊的推理逻辑,从大范畴推导小范畴,最常见的是小学生都会的三段论:
其中「人会死」与「苏格拉底是人」是前提,「苏格拉底会死」是结论。这个看起来非常简单,但其应用广泛,最复杂的计算机逻辑就是从最简单的概念推导而来,例如前面的例子
所有的食物都能吃,葡萄是食物,所以葡萄能吃。
这种对范畴的判断最早可追溯到亚里斯多德,在其提出的逻辑中只包含了演绎论证,或者形式逻辑。
在演绎逻辑中,最基础的是直言判断,主要描述范畴之间的关系,有四种标准形式(AEIO):
A:所有的...都是...:所有的四川人都是中国人
E:所有的...都不是...:所有的日本人都不是美国人
I:有的...是...:有的学生是班长
O:有的...不是...:有的大学生不是党员
省略号中的短语叫做 词项 ,第一个省略号位置的是叫做 主项, 第二个叫做 谓项, 注意词项只能是名词。
这四种描述可以用画圈圈的方式来表示,叫做 文恩图,用S代表主项,P代表谓项, 如图所示:
这种四种命题的关系可以用对当关系来描述就是这样的,对角线的为矛盾关系,左右互为反对关系,上对下是包含关系,这就是 对当方阵(square of opposition)
回到三段论中,三段论都是由两个前提和结论组成,而每个直言命题都可以用AEIO进行表述,于是就会出现4X4X4=64种组合关系,但这64个式中大多数违反三段论的一般规则,根据三段论的规则,我们很容易把一些无效式排除掉,结果只剩下11个式不违反三段论的一般规则。这11个式是:AAA、AAI、AEE、AEO、AII、AOO、EAE、EAO、EIO、IAI、OAO。
而由于每个命题中有SPM三个词项,而其中中项的关系可以出现在不同位置,于是可以分成四格
前面的64种组合形式,加上4格的组合,可以出现64x4=256种组合,其中只有15种组合是有效的,分别是
第一格(中项是大前提的主项和小前提的谓项)
1.AAA-1
2.EAE-1
3.AII-1
4.EIO-1
第二格(中项在两个前提中都做谓项)
5.AEE-2
6.EAE-2
7.AOO-2
8.EIO-2
第三格(中项在两个前提中都做主项)
9.AII-3
10.IAI-3
11.EIO-3
12.OAO-3
第四格(中项在大前提做谓项、小前提做主项)
13.AEE-4
14.IAI-4
15.EIO-4
看到这里,很多人会比较懵也奇怪,这种逻辑推导有什么用,这种判断关系就是数学以及计算机科学的基础,通过将命题判断替换为数字的运算,即用1和0替代真假判断,而命题之间的关系用符号(∧ /∨ /┐,+-*)代替。布尔提出的布尔运算用数学符号代替命题演算逻辑,而信息论之父香农发现可以将运算外包用机器来实现,后来有了现代信息世界的发展。
归纳论证是从特殊到一般的推导逻辑,其代表作是培根的《新工具论》。与演绎逻辑中经典三段论一样,归纳也有归纳三段论:
例如「大多数成都人爱吃辣,小王是成都人,所以小王爱吃辣」。但在日常沟通中,往往会省略其中的前提,例如「小王是成都人,所以小王爱辣」,而会省略「大多数成都人爱吃辣」这个前提。
从例子中可以看出,归纳推理不一定是有效的,所以归纳推理不会用有效与否来衡量,而是用 归纳强度 来衡量。 归纳强度取决于前提「大多数X是Y」中Y在X中的比例 。
Y在X中的比例通过统计学可以测量,但在日常生活中没法对总体都进行测试,例如没法对每个成都人进行调查其对辣椒的偏好,所以只能选取部分样本进行测试,然后代表整体的比例。但这对抽样调研的样本有要求,需要选取具有同样特征的群体进行测量,否则会出现偏差。而这个影响所关注特征的因素叫做 「相关因素」 ,而为了减少由于样本抽样特征带来的影响,减少统计偏差,最佳的策略就是 「随机抽样」 ,这是有统计学泰斗费舍尔发明的统计方法。
相比于非常纯粹的演绎推理,归纳推理在日常生活中应用要多很多,因为面临的现实生活很多东西都是未知的。相较于简单的归纳三段论中,大多数X是Y这个前提,我们都需要花费很多精力把这两者的相关关系可以建立起来,即如何找出相关因子,确认哪些特征属于那个类型中。而找出相关因子进行归类,针对这个问题,哲学家密尔在《逻辑学体系》提出了著名的 密尔五法(Mill's Five Canons) ,即
求同法:考察几个出现某一被研究现象的不同场合,如果各个不同场合除一个条件相同外,其他条件都不同,那么,这个相同条件就是某被研究现象的原因。
求异法:比较某现象出现的场合和不出现的场合,如果这两个场合除一点不同外,其他情况都相同,那么这个不同点就是这个现象的原因
求同求异法:如果某被考究现象出现的各个场合(正事例组)只有一个共同的因素,而这个被考察现象不出现的各个场合(负事例组)都没有这个共同因素,那么,这个共同的因素就是某被考察现象的原因。
共变法:在其他条件不变的情况下,如果某一现象发生变化另一现象也随之发生相应变化,那么前一现象就是后一现象的原因
剩余法:如果某一复合现象已确定是由某种复合原因引起的,把其中已确认有因果联系的部分减去,那么,剩余部分也必有因果联系。
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