为什么对单调函数,若f(f(x))=x,则f(x)=x?
单调函数某些孤立的点的导数是可以0,
例如f(x)=x³,这个函数是单调增函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0,
又例如f(x)=-x³,这个函数是单调减函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0。
所以,若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0能取等号。
关键是理解导数的含义,导数是瞬时变化率,也就是变化速度,如果变化率为为正数,表示x每增加一个单位,函数值增加几个单位,相反如果变化率为为负数,表示x每增加一个单位,函数值减少几个单位,从这个角度理解就可以知道为什么“若函数f(x)单调递增,则f(x)'>=0 ;若函数单调递减,则f(x)'<=0”
如果f(x)单调递增,f(f(x))=x ⇔ f(x)=x
可以用反证法证明
假设f(x)>x ,由于f是增函数
则f(f(x))>f(x)>x
不满足f(f(x))=x
同理,假设f(x)<x
可以得到f(f(x))<f(x)<x
也不满足f(f(x))=x
∴f(x)>x或f(x)<x都不成立
那么只有f(x)=x了
若f(x)=x,则f(f(x))=f(x)=x
因为函数具有单调性,具体的表现在单调性上,前提条件f(f(x))=x,它满足单射和双射的条件,它是一个满射,所以可以得到f(x)=x。
把fx=x代入不就满足那个式子嘛。。这个好像反函数定义就是这样的
...设函数 .(Ⅰ)若函数 在定义域上是单调函数,求 的取值范围;(Ⅱ)若...
本试题主要是运用导数研究函数 单调性和证明不等式的运用。(1)因为 要使 在 上为单调函数只须在 上 或 恒成立,转化为恒成立思想求解。(2)因为 时, 设 ,结合导数判定结论。(I)解: 要使 在 上为单调函数只须在 上 或 恒成立,若 ,则 ,在 上 有最...
若fx是定义在0,正无穷大上的单调函数且对一切x,y大于0,满足fx\\y=fx...
(1)∵对一切x.y>0满足f(x\/y)=fx-fy ∴当x=y时f(x\/y)=f(x\/x)=f(1)=fx-fx=0 ∴f(1)=0 (2)∵f(x\/y)=fx-fy f(x+3)-f(1\/x)
判断单调性的方法
判断一个函数的单调性的常用方法:定义法,导数法,图象法,化归常见函数法,运用复合函数单调性规律;定义法:设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则此函数为增函数;反知,若f(x1)>f(x2),则此函数为减函数。导数法:首先对函数进行求导,令导函数...
设是定义在r上的单调增函数,若对任意恒成立,则的取值范围是(
设 是定义在 R 上的奇函数,且对任意 ,当 时,都有 . (1)求证: 在 R 上为增函数. (2)若 对任意 恒成立,求实数 k 的取值范围. (1) 函数,可知f(-x)=-f(x),则不等式 ,再结合a,b的任意性,和函数单调性定义可得证。 (2) . 13分 ...
什么是严格单调函数和单调函数有什么区别
1、含义不同 严格单调函数就是不能包含端点。单调函数是指, 对于整个定义域而言,函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。2、定义域不同 严格单调函数其定义域的两端只能是>号或者<号,而单调函数在端点处则可取等号,比如一个开口向下的二次函数在对称轴的左边单增右边单减,但是在对称轴...
单调函数 若有界 则它一定收敛的说法对吧
你所指的极限1或2指什么的极限?是对什么的极限值呢,你上面提到的那个分段函数在定义域内任一点处极限都是存在的啊 那个常数列当然是收敛的,只是它不是单调函数,并不满足那个定理的条件
数学分析问题 设f为区间I上的单调函数.证明:若x0属于I为f的间断点,则...
的某个去心邻域内有定义,我们设这个去心邻域为(X。-δ。,X。)∪(X。,X。+δ。),设X1属于(X。,X。+δ。),则对于x属于(X。-δ。,X。),由f的单调性知,有f(x)<f(X1),则f(x)有上界,由上确界定理知f(x)有上确界,再由函数的单调有界定理知道f(X。-0)存在,同理...
若f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对一切x,y>0,满足f(x\/y)=f...
(1)f(1)=f(1\/1)=f(1)-f(1)=0 (2)x+3>0所以x>-3 f(6)=1>f(1),所以f(x)单调增 f(x+3)-f(1\/3)=f(3x+9)2=f(6)+f(6)=f(36\/6)+f(6)=f(36)-f(6)+f(6)=f(36)f(x+3)-f(1\/3)<2 f(3x+9)<f(36)3x+9<36 x<9 所以-3<x<9 ...
已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x∈(0,+∞)恒有f...
函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则函数f(x)必有反函数,记为f-1(x),且对任意x∈(0,+∞)恒有f[f(x)?lnx]=1,①不妨取x=1,可得f[f(1)]=1,②对②式两边取对应关系f-1,可得f(1)=f-1(1),由反函数性质知f(1)=1.对①式两边取对应关系f-1,...
函数单调性的四则运算法则是什么?比如:增+增=增
函数的单调性是函数的重要性质之一,对于它的讨论通常有定义法、图象法、复合函数法等。增+增=增,减+减=减,增-减=增,减-增=减,例如:设函数y=f(x)在上递增,a、b为常数.(1)若a>0,则函数b+af(x)在I上递增;(2)若a<0,则函数b+af(x)在I上递减.即判断F(X1)-F(...
隗冉奕丰: 因为函数具有单调性,具体的表现在单调性上,前提条件f(f(x))=x,它满足单射和双射的条件,它是一个满射,所以可以得到f(x)=x.
乐昌市19332158911: 已知函数在定义域上是单调函数.若对任意都有则 f(f(x) - 9/x)=6 则f(1)= . - ?
隗冉奕丰: f(x)单调函数,即一个x对应一个y 对于任意都有等式成立,则f(x)-9/x是一个唯一确定的值,否则条件矛盾 可得f(1)=6
乐昌市19332158911: 已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x) - log2x)=3,则满足方程f(x)=2+/x的所有 - ?
隗冉奕丰: ∵f(x)为(0,+∞)的单调函数,f(f(x)-log2x)=3 令f(x)-log2x=t, ∴t为定值(单调) ∴f(x)=log2x+t 且f(t)=3 ∴log2t+t=3, ∴log2t=3-t 用图解法解得:t=2 ∴f(x)=2+log2x 方程f(x)=2+√x 即 log2x=√x画图y=log2x与y=√x有2个交点 (4,2),(16,4) 方程的解为x1=4,x2=16 所有根之和为 20
乐昌市19332158911: 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数若对任意x∈(0,+∞)都有f(f(x) - 4/x)=4,则f(4)=? - ?
隗冉奕丰: 由于f(x)为单调函数,又f[f(x)-4/x]恒为常数,则f(x)-4/x恒为常数 令f(x)-4/x=a (a>0) 由f[f(x)-4/x]=4得知f(a)=4 把x=a 带入f(x)-4/x=4中,可得:f(a)-4/a=a4-4/a=a 求的a=2 f(x)=2+4/x 将x=4代入得:f(4)=2+4/4=3
乐昌市19332158911: 若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0为什么能取等号 - ?
隗冉奕丰: 单调函数某些孤立的点的导数是可以0, 例如f(x)=x³,这个函数是单调增函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0, 又例如f(x)=-x³,这个函数是单调减函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0. 所以,若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0能取等号.
乐昌市19332158911: 若函数f(x) 为单调函数, - f(x),f(x)+c,cf(x)的单调性与f(x)的关系 -- ?
隗冉奕丰: f(x)为单调函数,不妨设f(x)在某定义域内单调递增 所以,依据单调函数导数的性质,有f'(x)>0 [-f(x)]'=-f'(x)<0,所以-f(x)单调递减 [f(x)+c]'=f'(x)>0,所以f(x)+c单调递增 [cf(x)]'=cf'(x),当c大于0时,cf(x)单调递增;当c<0时,cf(x)单调递减 综上所述,-f(x)、f(x)+c、cf(x)的单调性与分别于f(x) 相反、相同、由c的取值决定
乐昌市19332158911: 若f(X)是单调函数,则f′(ⅹ)≥O吗?为什么不是≤0 - ?
隗冉奕丰: 这个题有问题吧,没说明白到底是单调递增或者单调递减,因此大于零和小于零都是有可能的.
乐昌市19332158911: 求证若f(x)严格单调递增或递减,则 - ?
隗冉奕丰: f(x)=x的解显然是f[f(x)]=x的解 下证f[f(x)]=x的解f(x)=x的解 设y是f[f(x)]=x的解 即f(f(y))=y 只需验证f(y)=y即可 又f(x)严格单调递增或递减,则f(x)存在反函数f^(-1) f(y)=f^-1(y)=A对上式取f有f[f(y)]=y=f(A) 再取f有f{f[f(y)]}=f(y)=f[f(A)]=f[f(y)] f单调ff(x)也单调所以A=y即f(y)=y
乐昌市19332158911: 导函数f(x)在(1,4)上单调递减,为什么是f'(4)<0 - ?
隗冉奕丰: 书上有定理,f(x)若是单调递减,那么f '(x)<0;反之f(x)若是单调递增,那么f '(x)>0.f(x)在区间(1,4)内单调递减,就说明在(1,4)内,f(x)均<0.所以f'(4)<0即4^3-3/2(a+1)4^2+3a4+1<0,解出来就是a的取值范围了、我说的懂么
乐昌市19332158911: 已知函数f(x)在定义域(0.+∞)上是单调函数,若对于任意x∈(0,+∞),都有f(f(x) - 1 x)=2,则f( 1 5)的值是() - ?
隗冉奕丰:[选项] A. 5 B. 6 C. 7 D. 8