为什么对单调函数，若f(f(x))=x,则f(x)=x？

若函数f(x)单调递增，则f'（x）≥0为什么能取等号~

单调函数某些孤立的点的导数是可以0，
例如f（x）=x³，这个函数是单调增函数，但是当x=0的时候，f'（0）=0，
又例如f（x）=-x³，这个函数是单调减函数，但是当x=0的时候，f'（0）=0。
所以，若函数f(x)单调递增，则f'（x）≥0能取等号。

关键是理解导数的含义，导数是瞬时变化率，也就是变化速度，如果变化率为为正数，表示x每增加一个单位，函数值增加几个单位，相反如果变化率为为负数，表示x每增加一个单位，函数值减少几个单位，从这个角度理解就可以知道为什么“若函数f(x)单调递增,则f(x)'>=0 ;若函数单调递减,则f(x)'<=0”

如果f(x)单调递增，
f(f(x))=x ⇔ f(x)=x
可以用反证法证明
假设f(x)>x ，由于f是增函数
则f(f(x))>f(x)>x
不满足f(f(x))=x
同理，假设f(x)<x
可以得到f(f(x))<f(x)<x
也不满足f(f(x))=x
∴f(x)>x或f(x)<x都不成立
那么只有f(x)=x了
若f(x)=x，则f(f(x))=f(x)=x

因为函数具有单调性，具体的表现在单调性上，前提条件f(f（x）)=x,它满足单射和双射的条件，它是一个满射，所以可以得到f（x）=x。

把fx=x代入不就满足那个式子嘛。。这个好像反函数定义就是这样的

---

乐昌市19332158911： 为什么对单调函数,若f(f(x))=x,则f(x)=x? - ？
隗冉奕丰： 因为函数具有单调性,具体的表现在单调性上,前提条件f(f(x))=x,它满足单射和双射的条件,它是一个满射,所以可以得到f(x)=x.

乐昌市19332158911： 已知函数在定义域上是单调函数.若对任意都有则 f(f(x) - 9/x)=6 则f(1)= . - ？
隗冉奕丰： f(x)单调函数,即一个x对应一个y 对于任意都有等式成立,则f(x)-9/x是一个唯一确定的值,否则条件矛盾 可得f(1)=6

乐昌市19332158911： 已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),若对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x) - log2x)=3,则满足方程f(x)=2+/x的所有 - ？
隗冉奕丰： ∵f(x)为(0,+∞)的单调函数,f(f(x)-log2x)=3 令f(x)-log2x=t, ∴t为定值(单调) ∴f(x)=log2x+t 且f(t)=3 ∴log2t+t=3, ∴log2t=3-t 用图解法解得:t=2 ∴f(x)=2+log2x 方程f(x)=2+√x 即 log2x=√x画图y=log2x与y=√x有2个交点 (4,2),(16,4) 方程的解为x1=4,x2=16 所有根之和为 20

乐昌市19332158911： 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数若对任意x∈(0,+∞)都有f(f(x) - 4/x)=4,则f(4)=? - ？
隗冉奕丰： 由于f(x)为单调函数,又f[f(x)-4/x]恒为常数,则f(x)-4/x恒为常数 令f(x)-4/x=a (a>0) 由f[f(x)-4/x]=4得知f(a)=4 把x=a 带入f(x)-4/x=4中,可得:f(a)-4/a=a4-4/a=a 求的a=2 f(x)=2+4/x 将x=4代入得:f(4)=2+4/4=3

乐昌市19332158911： 若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0为什么能取等号 - ？
隗冉奕丰： 单调函数某些孤立的点的导数是可以0, 例如f(x)=x³,这个函数是单调增函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0, 又例如f(x)=-x³,这个函数是单调减函数,但是当x=0的时候,f'(0)=0. 所以,若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0能取等号.

乐昌市19332158911： 若函数f(x) 为单调函数, - f(x),f(x)+c,cf(x)的单调性与f(x)的关系 -- ？
隗冉奕丰： f(x)为单调函数,不妨设f(x)在某定义域内单调递增 所以,依据单调函数导数的性质,有f'(x)>0 [-f(x)]'=-f'(x)<0,所以-f(x)单调递减 [f(x)+c]'=f'(x)>0,所以f(x)+c单调递增 [cf(x)]'=cf'(x),当c大于0时,cf(x)单调递增;当c<0时,cf(x)单调递减 综上所述,-f(x)、f(x)+c、cf(x)的单调性与分别于f(x) 相反、相同、由c的取值决定

乐昌市19332158911： 若f(X)是单调函数,则f′(ⅹ)≥O吗?为什么不是≤0 - ？
隗冉奕丰： 这个题有问题吧,没说明白到底是单调递增或者单调递减,因此大于零和小于零都是有可能的.

乐昌市19332158911： 求证若f(x)严格单调递增或递减,则 - ？
隗冉奕丰： f(x)=x的解显然是f[f(x)]=x的解 下证f[f(x)]=x的解f(x)=x的解 设y是f[f(x)]=x的解 即f(f(y))=y 只需验证f(y)=y即可 又f(x)严格单调递增或递减,则f(x)存在反函数f^(-1) f(y)=f^-1(y)=A对上式取f有f[f(y)]=y=f(A) 再取f有f{f[f(y)]}=f(y)=f[f(A)]=f[f(y)] f单调ff(x)也单调所以A=y即f(y)=y

乐昌市19332158911： 导函数f(x)在(1,4)上单调递减,为什么是f'(4)<0 - ？
隗冉奕丰： 书上有定理,f(x)若是单调递减,那么f '(x)<0;反之f(x)若是单调递增,那么f '(x)>0.f(x)在区间(1,4)内单调递减,就说明在(1,4)内,f(x)均<0.所以f'(4)<0即4^3-3/2(a+1)4^2+3a4+1<0,解出来就是a的取值范围了、我说的懂么

乐昌市19332158911： 已知函数f(x)在定义域(0.+∞)上是单调函数,若对于任意x∈(0,+∞),都有f(f(x) - 1 x)=2,则f( 1 5)的值是() - ？
隗冉奕丰：[选项] A. 5 B. 6 C. 7 D. 8