方向导数的最大值为什么是梯度的模

梯度的模是方向导数的最大值~

函数f(x1，x2，...，xn)在点x0沿方向u=(u1，u2，...，un)的方向导数为
af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un=，
其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量，表示内积。
由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时，内积最大，
反方向时内积最小;
因此u=Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最大;
u=-Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最小。

细想了一下觉得可以这样解释：根据公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向导数是梯度在不同方向上的投影。
这样就很好的说明了梯度和方向导数的关系而且为什么方向导数的最大值是梯度的模。

根据公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向导数是梯度在不同方向上的投影。这样就很好的说明了梯度和方向导数的关系而且为什么方向导数的最大值是梯度的模。

若曲线C 光滑时，在点M处函数u可微，函数u在点M处沿C方向的方向导数就等于函数u在点M处沿C的切线方向（C正向一侧）的方向导数。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

扩展资料：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意：

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

参考资料来源：百度百科——方向导数

参考资料来源：百度百科——偏导数

第七节  方向导数与梯度

 

教学目的：掌握方向导数的定义和求法；掌握梯度的定义、求法及其与等高线的关系.

教学重点：方向导数与梯度的求法.

教学难点：方向角的确定.

教学内容：

一、方向导数

现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0），并设＇(+△,+△)为上的另一点且＇∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)－与、＇两点间的距离的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即

                              (1)

从定义可知，当函数在点的偏导数_x、_y存在时，函数在点沿着轴正向=，轴正向=的方向导数存在且其值依次为_x、_y，函数在点沿轴负向=，轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-_x、-_y.

关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理.

定理  如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

                                                    (2)

其中为轴到方向的转角.

证  根据函数在点可微分的假定，函数的增量可以表达为

           

两边各除以，得到

                     

所以                 

这就证明了方向导数存在且其值为

                           

例8-26 求函数=在点处沿从点到点方向的方向导数.

解  这里方向即向量=的方向，因此轴到方向的转角，

因为                  

在点，,.故所求方向导数

                  

例8-27 设由原点到点的向径为，轴到的转角为，轴到射线的转角为，求，其中=   .    

解  因为    

                 .

所以            

由例8-26可知，当时，,即沿着向径本身方向的方向导数为1;而当时，, 即沿着与向径垂直方向的方向导数为零.

对于三元函数=来说，它在空间一点沿着方向(设方向的方向角为的方向导数，同样可以定义为

                               (3)

其中，△=,△=,△=.

同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为

                     

二、 梯度

1.梯度的定义

与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.

定义 设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量

                             

这向量称为函数=在点的梯度，记作，即

                     =

如果设是与方向同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知

           

这里，(＾，e)表示向量与的夹角.由此可以看出，就是梯度在射线上的投影，当方向与梯度的方向一致时，有

                       (＾，) 1，

从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论:

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.

由梯度的定义可知，梯度的模为

                    

当不为零时，那末轴到梯度的转角的正切为

                                 

我们知道，一般说来二元函数在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线的方程为

                                

这条曲线在面上的投影是一条平面曲线（图8―10），它在平面直角坐标系中的方程为

                                

对于曲线上的一切点，已给函数的函数值都是，所以我们称平面曲线为函数的等高线.

由于等高线上任一点处的法线的斜率为

                         ,

所以梯度                       

为等高线上点处的法向量，因此我们可得到梯度与等高线的下述关系：函数在点的梯度的方向与过点的等高线在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线（图8―10），而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.

例8-28 
求

解 这里   

   因为      

所以  

3.数量场与向量场

如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量，则称在这空间区域内确定了一个数量场（例如温度场、密度场）等.一个数量场可用一个数量函数来确定.如果与点相对应的是一个向量，则称在这空间区域内确定了一个向量场（例如力场，速度场等）.一个向量场可用一个向量函数来确定，而

                 
,

其中是点的数量函数.

利用场的概念，我们可以说向量函数确定了一个向量场——梯度场，它是由数量场产生的.通常称函数为这个向量场的势.而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.

小结：本节主要研究函数在一点沿某一方向的变化率问题，给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的求法，并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等概念.

作业：

1．求函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2＋）的方向的方向导数．

2．求函数在抛物线上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数．

3．求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数．

很简单，这个问题是一个表达方式的问题。当遇到这个问题时看似方向导数沿着梯度的方向的导数与梯度的模无关，实则是对方向导数与梯度的关系理解不够深刻。
首先，方向导数是沿着某一方向的导数，是梯度与这一方向的单位方向向量的点积，那么，问题就转化到点积的表达上面了。在这里，可能会问怎么方向导数是梯度与单位方向向量的点积，这个问题是一个物理的做功问题，物理上力沿着某一特定方向自动，在除这一方向以外的方向上，做功的速率是多少？这个也最不就是求方向导数吗。
现在问题转化到点积的表达，点积的表达有几何解释和代数解释。几何解释出现余弦函数，为两个向量的模乘以它们的角度的余弦值；代数解释是向量的坐标对应相乘再相加。
现在再回到方向导数与梯度的关系上面，梯度乘以特定方向的单位方向向量为沿着这一特定方向的方向导数，当这两个向量的夹角为0度时，也就是梯度沿着梯度的方向的方向导数，此时的单位方向向量是找不到的，但是它的模是可以确定的，至此，在此种情况下，会选择用点积的几何解释来进行表达：即两个向量的模乘以向量夹角的余弦值。而沿着梯度方向的方向导数，夹角为0，单位方向向量模长为1，自然沿着梯度方向的方向导数就是梯度的模，也是最大的方向导数。
除此之外，当特定方向的单位方向向量与梯度的夹角可以确认，而且两个向量的坐标也可以确认，一般来说会选择用点积的代数解释来进行表达，即：两个向量的坐标，对应相乘再相加。这样避免了求向量的夹角，但非要用角度来进行表达也是可以的，就是角度的求取会增加计算的步骤。

虽然你这问题问了好久，我也是带着这个问题百度的，但细想了一下觉得可以这样解释：根据公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向导数是梯度在不同方向上的投影。这样就很好的说明了梯度和方向导数的关系而且为什么方向导数的最大值是梯度的模。

你仔细看看书里的解析，因为他们求得时候其实应该有个cosa.当cosa等于1 的时候就是最大值也刚好是梯度的摸，如果是-1.就是最小值

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当雄县18944754191： 为什么方向导数最大值就是这点所在的梯度? - ？
函省新妇：[答案] 概念错误,方向导数是一个数,梯度是一个向量,方向导数的最大值不会是梯度. 正确的说法是 方向导数,当其方向与梯度方向一致时达到最大值,这一点由方向导数的计算公式就可以得到,书上写得清清楚楚的.

当雄县18944754191： 为什么梯度的模就是沿这个法线方向的方向导数 - ？
函省新妇： 梯度的定义

当雄县18944754191： 请讲解一下梯度的几何意义. - ？
函省新妇：[答案] 以二元函数f(x,y)为例,首先f(x,y)在某点(x0,y0)处的梯度是一个向量,它的方向就是函数f(x,y)在该点函数值变化最快的方向,即方向导数最大的方向,它的模就等于该点方向导数的最大值.

当雄县18944754191： 函数u=xy^2z^2在点(1,1,1)出方向导数的最大值 - ？
函省新妇： 方向导数的最大值也就是在这个点的梯度 由已知可得在这一点的偏导数为1和2和2 故梯度为√(1²+2²+2²)=3

当雄县18944754191： n元1值的向量值函数的导数和n元函数的梯度有什么区别? - ？
函省新妇： 设函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在点Q(x,y,z)处沿向量P的方向导数最大,因为函数在点Q处沿任意方向的方向导数的最大值是在梯度方向上取得,函数的梯度是向量(fx,fy,fz)=2(x,y,z) 所以,向量(x,y,z)与向量 P (1,-1,0)是同向的,得x=-y,z=0,且x>0 将x=-y,z=0,x>0代入椭球面方程,得x=1/2,所以点Q的坐标是(1/2,-1/2,0) 对应的梯度是(1,-1,0) 方向导数的最大值是梯度的模,所以方向导数的最大值是√2 所以,函数在椭球面上的点(1/2,-1/2,0)处沿向量P的方向导数最大,方向导数的最大值是√2

当雄县18944754191： 函数u=x2y+xy2在点(2,1)处的方向导数最大值 - ？
函省新妇： 因为知道方向与梯度gradf(x0,y0)的方向相同时,函数f(x,y)增加最快.此时,函数在这个方向导数达到最大值,这个最大值就是梯度gradf(x0,y0)的模. gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j【其中fx,fy为对x,y的偏导,i,j为单位向量,】 则gradf(x0,y0)=2xyi+2xyj ( u=x^2y+xy^2) =4i+4j 方向向量n=(根号2分之1,根号2分之1) 则方向导数最大值为2分之3倍根号2.

当雄县18944754191： 高数中对梯度和方向导数的定义 - ？
函省新妇： 方向导数是偏导乘夹角余弦,梯度是方向导数最大值

当雄县18944754191： 二元函数的梯度是什么意思 - ？
函省新妇： 你好, 梯度本意是一个向量(矢量),当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大(为该梯度的模).

当雄县18944754191： 求u=x²y³+3y²z³在点(0,1,1)处方向导数的最大值 - ？
函省新妇： 方向导数最大的方向为梯度的方向, 方向导数的最大值为梯度的模, 三个偏导数为 ux=2xy³ uy=3x²y²+6yz³ uz=9y²z² ∴(0,1,1)处的梯度为 gradu=(0,6,9) ∴方向导数的最大值为 |gradu|=√(0²+6²+9²)=3√13

当雄县18944754191： 函数u=xy^2z在点p(1, - 1,2)处沿什么方向导数最大?并求方程导数最大值. - ？
函省新妇： 沿梯度方向导数最大,最大值为梯度的模