数学问题

数学问题！！！~

一共借了1000，用去970，剩下30元， 还爸爸10块， 还妈妈10块，也就是970+10+10=990，自己剩下了10块，那么990+10=1000。
其实这句话就不对了“自己剩下了10块， 欠爸爸490， 欠妈妈490”，970除以2等于485，再加上还的10元，就是欠495元，而不是490元。
或者这样算：买了双皮鞋用了970，一共还了20元，970+20=990，（不是分别欠490，而是一共欠990），然后加上自己的10元就等于1000。这种题属于一种思维幻觉题，以后遇到这类的题只要换位思考一下就出来了。

扩展资料：
定义定理公式
1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5=2×5+4×5。
6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。
7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。
9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。
10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。
11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
参考资料来源：百度百科-小学数学

圆锥曲线中的最值问题
思考:求圆锥曲线的最值常用哪些方法
[例1] 选择题
1)点P在抛物线y2=x上,定点
A(3,0),则|PA|的最小值是( )
方法一:(建立目标函数)设P(x,y) 则y2=x.
B
方法二:过A作同心圆,当圆
与抛物线相切时,P到A点的
距离最小,设为r
见图
答案选(B)
变式 1)若P为抛物线y2=x上一动点,
Q为圆(x-3)2+y2=1 上一动点,则
|PQ|的最小值为__________
见图
方法一:(建立目标函数)设P(x,y),则y=x2/4
P为抛物线x2=4y上的一动点,定点A(8,7),
则P到x轴与到点A的距离之和的最小值是______
例题2 填空题
方法二 :(数形结合法)
9
见图
y=-1
复习:抛物线的定义
变式 练习 1) 若点B(2,5),则抛
物线:x2=4y上一点P到其焦点F的距离
与到点B 的 距离之和的最小值_____
6
X
见图
变式练习2)已知椭圆 :9x2+25y2=225的左焦点
为F,定点B(2,-1),在椭圆上求一点P,使
|PF|+0.8|PB |的值最小,则P点坐标是_______
o
x
y
P(x,y)
.B(2,-1)
F.(-4,0)
分析:本题中的系数0.8有何意义
注意到:a=5;b=3;∴c=4;离心率 e=0.8
设P(x,y)到左准线的距离为|PM|
则:|PF|=0.8|PM|∴ |PF|+0.8|PB|
=0.8|PM|+0.8|PB|
=0.8(|PM|+|PB|)
M
x=-25/4
从而只要求P点到B点与左准线的距离
之和的最小值,这样就化归为变式1)
同类问题.为止,过点B作BM0垂直
于左准线于M0,交椭圆于P0,则P0
为所求易求得P的坐标是:
Q
P0
见图
例3 设P为抛物线 y= x2上的一动点,求P点到
直线L: 3x-4y-6=0的距离的最小值.
解法1:设P(x,x2),P到直线L:3x-4y-6=0的距离d.
.P(x,x2)
d
解法二:当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的直线为L1,其方程为3x-4y-b=0.
则L与L1的距离即为所求.
由
3x-4y+b=0 ①
y=x2 ②
②代入①可得:4x2 -3x+b=0
∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可得
b=-9/16
见图
L1 3x-4y-b=0
复习:两平行线L1 : Ax +By+C 1=0, L 2:
Ax+By+C 2=0 的距离

d=__________
掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法仍
然是建立目标函数,利用函数的性质或不等
式的性质以及通过设参,换元等途径来解决.
2.解析几何是研究"形"的科学,因此,在求圆
锥曲线的最值问题时要善于结合图形,通过
数形结合将抽象的问题,繁杂的问题化归为
动态的形的问题,从而使问题顺利解决.
3.有些最值问题要灵活地利用圆锥曲线的定义
将折线段和的问题化归为平面几何中的直线
段最短来解决.
上述解法对吗
点评:
1) 求曲线上一点到已知点的距离的最大
(小)值,可过已知点作同心圆,当圆与
曲线恰好相切时,则此公共点到已知点的
距离最大(小).
2) 求曲线上一动点到一已知圆上一动点的距离的最大(小)值问题,常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大(小)值问题.
点评:一般,设A为曲线含焦点F的区域内一点
在曲线上求一点P,使|PF|+e|PA| 的值最小,都
可以过点A作与焦点F相应准线的垂线,则垂线
段与曲线的交点即为所求之点.
类似练习:设F是双曲线 :5x2-4y2=20 的右焦点,定点
M(6,2),在双曲线的右支上求一点P,使|PM|+|PF| × 2/3
最小.

轨迹方程
一,直法译(也称坐标法)
建立适当的坐标系,设动点坐标,找几何等量关系,转化为代数关系即可.
直法译的关键是:找到动点所满足的几何等量关系.
例:已知线段AB在直线x=3上移动,O为原点,∠AOB=120°.
求△AOB的外心轨迹方程.
解:如图
设△AOB的外心O'(x,y)
作O'DAB于D
则D(3,y) |DO'|=x-3
∵∠AOB=120°
则∠AO'B=120°, ∠AO'D=60°
∵r=|O'A|=|O'B|=|OO'|=x2+y2
又在Rt△AO'D中
cos∠AO'D===
整理得3x2-y2-24x+36=0(x>3).
【注】
这里的几何关系就是cos∠AO'D=.
二,定义法
如果动点所满足的几何等量关系符合某曲线的定义,就可直接写出其标准方程.
例:已知双曲线的两个焦点分别为M(-2,-12)和N,点S(-7,0)和T(7,0)在双曲线上,求N的轨迹方程.
解:
设点N的坐标为(x,y),它不同于点M(-2,-12)
由双曲线的定义知
||SM|-|SN||=||TM|-|TN||≠0
∵S(-7,0),T(7,0)
∴|SM|=13, |TM|=15
①当|SM|-|SN|=|TM|-|TN|时
有|TN|-|SN|=2<14=|ST|
∴点N轨迹是中心在ST中点(0,0),焦点为S,T的双曲线的左支,除去M(-2,-12)和P(-2,12)两点
∴点N的轨迹方程为
x2-=1 (x14=|ST|
∴点N轨迹是中心在ST中点(0,0),焦点为S,T的椭圆,除去M(-2,-12)和P(-2,12)两点
∴点N的轨迹方程为
+=1 (y≠±12)
综合①②知点N的轨迹方程为
x2-=1 (x0,b>0)两焦点为F1,F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹[ ].
椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分 D.圆的一部分.
解:
①如图,设动圆M(x,y)与圆C1及圆C2分别外切于A和B,根据两圆外切的条件得
|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|
∵|MA|=|MB|
∴|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|
即|MC2|-|MC1|=2
∴动点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的左支,这里a=1,c=3,b2=8
∴所求轨迹方程为x2-=1(x<0).
②如图,延长F1P交QF2于R
则|QF1|=|QR|
∵|QF2|-|QF1|=2a
∴|QF2|-|QR|=2a=|RF2|
又|OP|=|RF2|
∴|OP|=a. 故选D.
三,相关点代换法
1.所求动点的变化是由已知曲线上的动点运动引起的,这两点就是相关点.可利用两点坐标关系及曲线方程得到轨迹方程.
2.掌握"相关点代换法"的步骤:
在原曲线上任取一点P(x,y);
设其相关点为P'(x',y');
由几何特征建立x,y ,x',y'之间的等量关系,并把x,y分别表示成x',y'的表达式;
把x,y代入到已知曲线的方程f(x,y)=0中,就得x',y'所满足的等量关系g'(x',y')=0,这就是所求曲线的方程.
例:若A1,A2为椭圆+=1的长轴的两个端点,P为椭圆上异于A1,A2的任一点,作A1QA1P, A2QA2P,求直线A1Q和A2Q交点Q的轨迹方程.
解:
设P(x1,y1),Q(x,y) 由题意得
=-1………①
=-1………②
①×②得 =1……③
又P(x1,y1)在+=1上
∴y12=-(x12-a2)
代入③得a2x2+b2y2=a4.
练习:
若A1,A2为椭圆+=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点,求直线A1P1与AP2的交点的轨迹方程.
解:
设交点P(x,y), A1(-3,0), A2(3,0)
P1(x0,y0) , P2(x0,-y0)
∵A1,P1,P共线
∴=
∵A2,P2,P共线
∴=
解得x0=, y0=
代入+=1化简得
-=1.
四,参数法
动点的变化是由某个量的变化引起的,可设这个量为参数,把动点的两个坐标分别表示成参数的函数,最后消去参数,可得轨迹方程.
例:如图,过定点A(a,b)任作互相垂直的两直线L1与L2,且L1与x轴交于M点,L2与y轴交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程.
解法一:(参数法)
当L1不平行于y轴时,
设L1的斜率为k1
∵L1 L2
∴L2的斜率为-
L1的方程为y-b=k1(x-a)………①
L2的方程为y-b=-(x-a)………②
在①中令y=0
得M点的横坐标x0=a-
在②中令x=0
得M点的纵坐标y0=b+
设MN中点P的坐标为(x,y)
则
消去k1得
2ax+2by-a2-b2=0 (x≠)
当L1平行于y轴时
MN中点(,)也满足方程
∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.
解法二:(直译法)
当直线AM斜率存在时
设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y)
于是kAM= ,kAN=
∵L1L2
∴ =-1
化简得2ax+2by-a2-b2=0 (x≠)
当直线AMx轴时,此时MN中点(,)也满足方程
∴所求点的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.
解法三:(几何法)
易知OMAN四点共圆,MN是直径,P是圆心
故|OP|=|PA|
设P(x,y)
∴x2+y2= (x-a)2+(y-b)2
化简得2ax+2by-a2-b2=0.
五,交轨法
求两动曲线交点的轨迹问题,先把两动曲线的方程用某个参数表示出来,消去参数就得交点的轨迹方程.
例:已知向量i=(1,0),j=(0,1),经过点M(0,3t)且以i+tj(t∈R且t≠0)为方向向量的直线L1与经过点N(0,)且以-i+j为方向向量的直线L2相交于P点,问是否存在两个定点F1,F2,使|PF1|+|PF2|为定值 若存在,求出点F1,F2的坐标,若不存在,说明理由.
解:
由i+tj知L1的斜率为k1=
∴L1:y=3t(x+1)…………①
由-i+j知L2的斜率为k2=-
∴L2:y=-(x-1)………②
由①×②得
P点的轨迹方程为+=1
故存在F1(0,-5 ),F2(0,5 )使|PF1|+|PF2|=6为定值.
六,代点相消法

可以画图嘛，一个反比例函数。两个直线方程。不过这是最简单那的啦。首先呢，你看见，绝对值为1那么，很显然只有4
3符合，剩下就是组合了，总共4组，（-4，3）（4，-3）（-3,4）（3，-4）

因为a+b绝对值为1，所以a(或b)为+-X，b(或a)为(X-1)或(|-X|+1)。因此，a*b=-12=X(1-X)=-12，X=4或-3。a*b=12=(X+1)(-X)=12，答案相同。所以取4，-3或-3，4。很详细了，望采纳！

这是一个等差数列求和问题.
解:数列的首项为10,末项为90,公差为2,则项数n=(90-10)/2+1=41.
∴10+12+14+......+90=(10+90)×41/2=2050.

设及时从家里返回学校需要的时间为t小时，则有方程5t=5×1/3t+20(2/3t-2)解得t=4学校到家的距离=5×4=20（千米）

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承和清热： (55*800-43800)/50=4 所以是第四号箱缺量. 其实只要取45袋,第十号箱的十袋不用取就可以了, 45*50=2250 因此如果称出的是2250克那就说明第十箱是缺量的,如不足则用不足部分除以50,商是几,几号箱就是缺量的.

宝安区13515923361： 经典数学问题 - ？
承和清热： 这个问题就是看1-100的小于等于20的因数 譬如1因数只有1--它只能被1开开以后的人都不能关 最后是开 2因数1,2--它被1打开被2关上其他的都不能接触到2号门了 最后是关 3因数1,3--同理最后是关 4因数1,2,4--1打开2关上3打开 最后打开 也就是说因数个数是奇数的最后都是开的,因数个数是偶数的最后都是关的 1-100里面y因数个数是偶数的只有完全平方数1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 但是考虑到因数不能大于20,例如25--因数只能算1,5 所以最后还是关(只有20个人不能算25是因数) 所以只有1,4,9,16最后是开着的

宝安区13515923361： 寻求一些很有趣的数学问题? - ？
承和清热： 趣味数学题和答案 一、按规律填数. 1)64,48,40,36,34,( ) 2)8,15,10,13,12,11,( ) 3)1、4、5、8、9、( )、13、( )、( ) 4)2、4、5、10、11、( )、( ) 5)5,9,13,17,21,( ),( ) 二、等差数列 1.在等差数列3,12,21,30,39,48,…中912是第几个数? 2.求1至...