《大学高数与初中数学的异同》文章

考研数学（数学一）考什么？~

数一：高等数学、线性代数、概率论与数理统计。数二：高等数学、线性代数。数三：微积分、线性代数、概率论与数理统计。

数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后，需要修的第一门课，也是最基础最重要的一门课程。但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念，如果身边有人问我数学分析学什么？我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分，那么似乎所有人都会接着提一个问题：那和我们学的微积分有什么差异？为什么我们学一学期你们要学一年半到两年啊？囧... ...这个问题就不容易回答了，于是我只能应付说学得细了，但其实并非仅仅如此。
对这个问题我在学习数学分析的过程中是不能说清楚的，正因为如此，起先学分析完全是乱学，没有重点没有次序的模仿，其结果就是感觉自己学到的东西好比是一条细线拴着好多个大秤砣，只要有一点断开，整个知识系统顿时倾覆。我也一直在思考这个问题，但直到学了一学期实变函数论之后，我才意识到数分与高数真正的区别在于何处。
先从微积分说起，在国内微积分这门课程大致是供文科、经济类学生选修的，其知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一件介绍两种运算，求导与求不定积分，并且说明它们互为逆运算。第二件介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——Newton-Leibniz公式。这里需要强调的是，求不定积分作为求导数的逆运算属于微分学而不属于积分学，真正属于积分学的是Riemann定积分。不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，而Riemann定积分则是求Riemann和的极限，事实上它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但Riemann可积的函数，也存在着有原函数但Riemann不可积的函数。但无论如何Newton-Leibniz公式好比一座桥梁沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是Newton-Leibniz公式被称为微积分基本定理的原因。因此我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。
对于高等数学要求的层面就要比微积分高一些了，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么。比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的，对于不易积分，不易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行Taylor展开再逐项积，再例如利用Newton差值法计算方程的近似解。在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，是故高等数学对学生的计算能力要求非常高。于是高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义，熟练运用数学工具求导求积分，会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。
而数学分析与以上两门课程有着本质的区别，数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础。什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。而学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：含参变量积分与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。与微积分、高等数学有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。
记得在学习数学分析的时候，我曾经查阅过Liouville和Chebyshev的文章，特意去了解那些不具有初等原函数的初等函数。当时去看这些文章的初衷主要是觉得这样的函数太神奇，太不可思议了。对于其中不懂的问题，我曾经请教过老师，但没想到会招来老师极度的不满：“你研究这个毫无意义，你之所以觉得这种函数有趣，是因为你脑子里对初等函数与复杂函数还是有明显的界限，说明你没学懂，如果你把数学分析真的学懂了，你就会认识到研究这种问题，就和讨论sin(x)为什么不是ln(x)一模一样的无聊... ...”我正是在听完这句话之后才恍然大悟的。

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山阳区18537601937： 《大学高数与初中数学的异同》文章 - ？
致婉艾达：[答案] 数学分析对于数学专业的学生是迈进大学大门后,需要修的第一门课,也是最基础最重要的一门课程.但对于非数学专业的朋友们是个陌生的概念,如果身边有人问我数学分析学什么?我会毫不犹豫地告诉他们就是微积分,那么似乎所有人都会接着提...

山阳区18537601937： 中学数学和高数的最大不同是什么?？
致婉艾达： 高中的比较难一点,不过都是题海战术.

山阳区18537601937： 大学的数学同高中的有什么不同呢?我想知道了解一下.？
致婉艾达： 大学的数学更难了,概念性很强,而且计数也很复杂的.

山阳区18537601937： 高中数学和大学数学的异同 - ？
致婉艾达： 首先看你选文科还是理科.如果是文科的话,大学里面数学相对简单一些,只有大一学一年高等数学.如果是理科的话,可能就比较难.

山阳区18537601937： 大学数学 学什么, 用什么教材, 与中学数学的联系和区别.以及不同专业对数学学科的要求.？
致婉艾达： 中学数学是基础,大学数学一般学微积分、线性代数、概率论,积分变换等,各专业学的不相同.看后续专业课的学习需要.其中微积分各专业都学,一般叫高等数学,大都用同济大学的.

山阳区18537601937： 大学数学和高中数学有何异同?？
致婉艾达： 大学数学主要是以极限为基础,而高中数学主要锻炼的是人的形象思维.只要掌握了这点的区别,我想要学好大学数学也不在话下!

山阳区18537601937： 高中数学与初中数学的区别 - ？
致婉艾达： 基本上是有一点分立的,高中学得更加的深奥一些,但也不是很难.例如:几何由初中的立平面几何 变为空间几何;函数也不是初中学的简单的一次函数和二次函数 高中函数有很多,像是指数函数 三角函数(不是指初中学的三角函数值) 还有一些函数化简;不仅如此还多了一些向量和数列一些东西,等到你接触就明白了,听着蛮复杂的,其实都不是很难.

山阳区18537601937： 老师,我想问,高中数学和大学数学最大的不同在哪里,我高中数学不是很好,大学可以补回来吗. - ？
致婉艾达： 高中数学与初中数学一个最大的区别是高中数学比较抽象,那大学数学应该是比高中数学更抽象,其理论性更强.假如你高中数学不怎么好,首先要解决的是如何提升自己的高中数学水平,力争考取大学.

山阳区18537601937： 大学数学与高中数学不同,为什么? - ？
致婉艾达： 研究的领域不同,就好比小学时老师告诉我们0是最小的数,1-2没有答案,到了初中才知道负数的概念.

山阳区18537601937： 大学的高数为什么和中学的代数和几何相差 - ？
致婉艾达： 中学的数学是初等数学体系,是微积分未被广泛应用的数学,是群论以前的代数学,大学是微积分广泛应用加上代数更加抽象化以后的现代化数学体系,现代数学的特点就是高度抽象化,更难理解