已知函数f(x)= ，(1)若 a =4，求曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；(2)求f(x)的极值；(3)若函数f(x)的
(1)f(x)=(x+a)e^x
f'(x)=e^x+(x+a)e^x
x≥3时，f'(x)=e^x+(x+a)e^x>0
∵e^x恒大于0
∴x+1+a>0,
∴a>-4
(2)f'(x)=e^x+(x+a)e^x
驻点：1+x+a=0→x₀=-a-1，可以判断f(x₀)为最小值。
如0≤-a-1≤2，即a≥1，或a≤-1
则，f(-a-1)=-e(-a-1)≥e²,无解
∴驻点不在[0,2]区间内。
x₀<0,f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=aeº≥e²→a≥e² x₀=-a-1≤-e²-1<0,成立
x₀>2,f(x)单调递减，f(x)≥f(2)=(2+a)e²≥e²→a≥-1,x₀=-a-1≤-2,不成立
∴ a≥e²
（Ⅰ）∵a=4，∴f(x)＝lnx+4x且f(e)＝5e．（1分）又∵f′(x)＝(lnx+4)′x?(lnx+4)x′x2＝?3?lnxx2，∴f′(e)＝?3?lnee2＝?4e2．（3分）∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y?5e＝?4e2(x?e)，即4x+e2y-9e=0．（4分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝1?(lnx+a)x2，（5分）令f'（x）=0得x=e1-a．当x∈（0，e1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1．（8分）（Ⅲ）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数，∴当x=e1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=ea-1．又当x=e-a时，f（x）=0，当x∈（0，e-a]时，f（x）＜0，当x∈（e-a，e2]时，f（x）∈（0，ea-1]，所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，等价于ea-1≥1，解得a≥1，又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f(e2)＝2+ae2，∴原问题等价于2+ae2≥1，解得a≥e2-2，又∵a≤-1∴无解综上，a的取值范围是a≥1．（14分）
| 解：(1)∵a=4， ∴ 且 ， 又∵ ， ∴ ， ∴f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为： ，即4x+e 2 y-9e=0． (2)f(x)的定义域为(0，+∞)， ， 令f′(x)=0得 ， 当 时，f′(x)＞0，f(x)是增函数； 当 时，f′(x)＜0，f(x)是减函数； ∴f(x)在 处取得极大值，即 。 (3)①当 ，即a＞-1时，由(2)知f(x)在(0， )上是增函数，在 上是减函数， ∴当 时，f(x)取得最大值，即 ； 又当x=e -a 时，f(x)=0，当x∈(0，e -a ]时，f(x)＜0， 当x∈(e -a ，e 2 ]时， ， 所以f(x)的图象与g(x)=1的图象在(0，e 2 ]上有公共点， 等价于 ，解得a≥1， 又因为a＞-1，所以a≥1； ②当 ，即a≤-1时，f(x)在(0，e 2 ]上是增函数， ∴f(x)在(0，e 2 ]上的最大值为 ， ∴原问题等价于 ，解得a≥e 2 -2， 又∵a≤-1， ∴无解； 综上，a的取值范围是a≥1。 |
常态保儿： 函数f(x)=1/a-1/x,x>0时单调递增.若f(x)在x∈[M,N]上时,值域为[M,N],f(M)=1/a-1/M=M f(N)=1/a-1/N=N M^2-1/a*M+1=0 N^2-1/a*N+1=0 M\N是方程t^2-1/a*t+1=0的两个正根 a>0对称轴:1/2a>0恒成立t=0,t^2-1/a*t+1=1>0故只要t^2-1/a*t+1=0有两实根,则t^2-1/a*t+1=0恒有两个两个正根.1/a^2-4>01-4a^2>0 a^2<1/4-1/2<a<1/2 a的取值范围:(0,1/2)
平江县13681055420： 已知函数f(x)=ex+ax - 2(1)若a= - 1,求函数f(x)在区间[ - 1,1]的最小值;(2)若a∈R讨论函数f(x)在 - ？
常态保儿： (1)f(x)=ex-x-2,f′(x)=ex-1;∴-1≤x0;∴x=0时f(x)取最小值f(0)=-1. ∴函数f(x)在区间[-1,1]的最小值是-1. (2)f′(x)=ex+a;∴①当a≥-1时,∵x>0,∴ex>1,∴ex+a>0;∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当ax>ln(-a)时,f′(x)>0,∴函数f(x)在[ln(-a),+∞)上单调递增. (3)由...
平江县13681055420： 已知函数f(x)=ax - lnx(a∈R) (1)若x∈(0,1]时f(e*1/x)≥0恒成立,求a - ？
常态保儿： (0,1/e) 解: g(x) =f(e/x) =a(e/x)-ln(e/x) =ae/x-1+lnx g'(x) =-ae/x²+1/x1- =(x-ae)/x² (1) 当a<0时,g'(x)>0,g(x)单调递增 ∴ g(x)_min趋于-∞ ∴ g(x)≥0在(0,1]上不成立 ∴ a<0不符合题意 (2) 00x=ae时,g'(x)=0; x>ae时,g'(x)>0,g(x)单...
平江县13681055420： 已知函数f(x)=1/3x^3+mx^2 - 3m^2x+1,m属于R,若函数f(x)在区间( - 2,3)上是减函数,求m的取值范围 - ？
常态保儿： 已知函数f(x)=(1/3)x³+mx²-3m²x+1,m属于R,若函数f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求m的取值范围.解
平江县13681055420： 已知函数f(x)=1/2(x - 1)^2+lnx - ax+a.(1)若a=3/2,求函数f(x)的极值 (2)若对任意的x∈(1,3),都有f(x)>0成立 - ？
常态保儿： AFDS564,你好,以下是解答过程 解:(1)f′(x)=x+1/x-5/2=2x2-5x+2/2x,f'(x)=0,得x1=1/2,或x2=2,根据函数性质分析得:函数f(x)在x=1/2处取得极大值f(1/2)=7/8-ln2,函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-1 (2):f′(x)=x+1/x-(1+a),x∈(1,3)时,x+1...
平江县13681055420： 已知函数f(x)={1/x - 1,0<x<1 1 - 1/x,x>=1 - ？
常态保儿： 0且要使得f(a)=f(b) 则有0且有1/a-1=1-1/b1/a+1/b=22) 实数a,b的范围是1当x>=1 时,函数f(x)=1-1/x 此时1/x随x的增大而减小 所以f(x)的值随着x的增大而增大 f(x)在x>1上为单调增函数 而当x ∈[a.b]时,f(x)的取值范围是[ma,mb] 所以 当x=a时,f(a)=...
平江县13681055420： 已知函数f(x)满足f(x)+1=1/f(x+1) ,当x∈[0,1] 时, f(x)=x;若在 - ？
常态保儿： 答案:0解析:∵f(x)+1=1/f(x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=x, ∴x∈(-1,0)时,f(x)+1=1/f(x+1)=1/(x+1), ∴f(x)=1/(x+1)−1, 因为g(x)=f(x)-mx-m有两个零点, 所以y=f(x)与y=mx+m的图象有两个交点, 联立解得,当0
平江县13681055420： 已知函数f(x)=(1/3)x^3+(t/2)x^2+(2t - 1)x+1(1)若f(x)在R上位增函数,求实数t的取值范围 - ？
常态保儿： (1)因为f(x)=(1/3)x^3+(t/2)x^2+(2t-1)x+1 所以f'(x) = x^2+tx+2t-1 因为f(x)...
平江县13681055420： 已知函数f(x)=1x+alnx(a不是0)(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;(Ⅱ) 若在区间[1,e]上 - ？
常态保儿： (I)因为f′(x)=?1 x2 + a x = ax?1 x2 ,…(2分) 当a=1,f′(x)= x?1 x2 ,令f'(x)=0,得 x=1,又f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以x=1时,f(x)的极小值为1.…(4分)f(x)的单调递增区间为(1,+∞),...
平江县13681055420： 已知函数f(x)=|1|x| - 1|,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有6个不同的实数解,则b,c的取值情况可能 - ？
常态保儿： 若①-1则由f2(x)+bf(x)+c=0得:f(x)=-b或f(x)=0,则|1 |x| -1|=-b或|1 |x| -1|=0,即1 |x| =1-b或1 |x| =1+b或1 |x| =1共6个不同的实数解,成立;若③1+b+c>0,c>0,则令g(u)=u2+bu+c,则g(0)>0,g(1)>0,则g(u)=u2+bu+c的零点都在0的左侧或都在(0,1)...
