证明：数列{an}中总存在一项为1

设数列啊{an}:√2，√(2+√2)，√2+√(2+√2)),…，√(2+a n-1)，… 证明：an的极限存在，并求此极限值~

1.用数归证明√2<=an<2
n=1，显然成立
假设n=k,有 √2<=ak<2
则n=k+1, ak+1=√(2+a k)<√(2+2)=2
所以命题成立
2.证明an递增，an-an-1=√(2+a n-1)-an-1=[√(2+a n-1)-an-1][√(2+a n-1)+an-1]
---------------------------------------------
√(2+a n-1)+an-1
=(2+an-1-an-1^2)/[√(2+a n-1)+an-1]
=(2-an-1)(1+an-1)/[√(2+a n-1)+an-1]
分子大于0因为 2-an-1>0，1+an-1>=1+√2>0,分母显然大于0
所以an-an-1>0
3.单调递增有界序列必有极限所以极限存在
若存在，假设为a，则
√(2+a)=a
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
因为√2<=an<2,舍去-1,lim an =2

a(n+1)=an/1+an
a(n+1)(1+an)=an
a(n+1)+a(n+1)an=an 两边除a(n+1)an
1/an+1=1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1
所以数列｛1/an｝为等差数列，公差d=1
1/an=1/a1+(n-1)d=1+n-1=n
an=1/n

这个问题叫做克拉茨问题，许多文献称之为3x+1问题.
在2006年这个问题被证明是recursively undecidable的了。

50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环.

大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"
有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.

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平南县17128198995： 证明:数列{an}中总存在一项为1 - ？
贲届硫酸： 这个问题叫做克拉茨问题,许多文献称之为3x+1问题. 在2006年这个问题被证明是recursively undecidable的了. 50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环.大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:＂数学还没有成熟到足以解决这样的问题!＂ 有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.

平南县17128198995： 设a1为整数,a(n+1)={an/2(an为偶数),3an+1(an为奇数)证明:数列{an}中总存在一项为1 - ？
贲届硫酸：[答案] 这个问题叫做克拉茨问题,许多文献称之为3x+1问题. 在2006年这个问题被证明是recursively undecidable的了. 50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,...

平南县17128198995： 设数列a1,a2,a3...,an,...中的每一项都不为0.证明 - ？
贲届硫酸： 充分性;a1*an+1 =右边;a1-1/(a1+nd)) =n/(a1+nd)] 所以左边=1/d*(1/(a1+(n-1)d)-1/必要性:因为是等差数列 所以设an=a1+(n-1)d 所以1/(an*a(n+1))=1/d*[1/:未知嘿嘿!

平南县17128198995： 已知数列an中a1等于1 - ？
贲届硫酸： 等式两边同时除以An+1An即可证明1/an是等差数列;至于第2问,只要利用等差数列的通项公式,先求出1/an的通项,然后求个倒数就是an的通项公式了

平南县17128198995： 在数列{an}中,a1=1,并且对于任意n€N*,都有an+1=an/2an+1.(1)证明数列{ - ？
贲届硫酸： 1. a(n+1)=an/(2an +1) 1/a(n+1)=(2an +1)/an=1/an +2 1/a(n+1)-1/an=2,为定值 1/a1=1/1=1,数列{1/an}是以1为首项,2为公差的等差数列 1/an=1+2(n-1)=2n-1 an=1/(2n-1) 数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1) 2. 1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)...

平南县17128198995： 已知数列an=(n+1)/n 求证数列an中的任一项总可以表示成其他两项之和. - ？
贲届硫酸： an=1+1/n, (n>=1), 则1<an<=2所以数列an中任意两项之和都大于2,即大于数列中的任一项.因此该命题是错误的,无法证明.

平南县17128198995： 在数列{an}中,a1=1,并且对于任意的n∈N*都有A(n+1)=An/2An+1 - ？
贲届硫酸： 解:(1)1a1=1,因为an+1=an2an+1,所以1an+1-1an=2,∴数列{1an}是首项为1,公差为2的等差数列,(4分) ∴1an=2n-1,从而an=2n-1.(6分) (2)因为anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)(8分) 所以Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=n2n+1(10分) 由Tn>10002011,得n>100011,最小正整数n为91.(12分)

平南县17128198995： 公差为d的等差数列{an},证:数列中两项之和是数列中一项充要条件是存在整数m≥ - 1,使a1=md？
贲届硫酸： 证明:1)证明数列中有两项和是数列中一项,则(m&gt;=1,且m为整数) 设ai,aj,ak为数列{an}的项,且ai+aj=ak成立,则 a1+(i-1)d+a1+(j-1)d=a1+(k-1)d a1+(i+j-k-1)d=0 a1=(1+k-i-j)d 设m=k-i-j+1,因为j+i&gt;2(不可能都是第一项),k&gt;0且k...

平南县17128198995： 在数列{an}中,a1=1 并且对于任意实数n∈N*,都有an+1=an/2an+1 - ？
贲届硫酸： a(n+1)=an/(2an+1) 取倒数1/a(n+1)=(2an+1)/ an1/a(n+1)=2an/an+1/ an1/a(n+1)=2+1/ an1/a(n+1)-1/an=21/an是以2为公差的等差数列1/an=1/a1+(n-1)d1/an=1/1+2(n-1)1/an=2n-1 an=1/(2n-1)

平南县17128198995： 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=1/2 (3n+Sn)对一切正整数n恒成立.问:{an}中是否存在三项成等差数列?若存在,请求出一组;若不存在,请说明理由. - ？
贲届硫酸：[答案] (1)由题意知an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n恒成立,又当n=1时,s1=a1. 所以a1=1/2(3+a1),所以a1=3 (2)证明:由题意知an=1/2(3n+Sn)对一切正整数n恒成立, 即2an=3n+Sn ……①对一切正整数n恒成立. 所以2a(n+1)=3(n+1)+s(n+1)……② ②-①得...