已知Z是虚数,求证Z+1/Z为实数的充要条件是|z|=1

已知z是虚数，求证:z+1/z为实数的充要条件是|z|=1.详细过程~~

【注:(1)因不好打出，可记复数Z的共轭复数为Z’.(2).几个结论:(!).|Z|^2=|Z'|^2=Z*Z'.(!!).Z为实数的充要条件是Z=Z'.(!!!)Z为纯虚数的充要条件是Z+Z'=0.(!!!!)ZZ为虚数的充要条件是Z-Z'≠0.】解:(1)因Z为虚数，故Z-Z'≠0.易知，Z+(1/Z)为实数Z+(1/Z)=Z'+(1/Z').(Z-Z')/(Z*Z')*[1-Z*Z']=0.Z*Z'=1.|Z|=1.(2),(Z-1)/(Z+1)是纯虚数。[(Z-1)/(Z+1)]+[(Z'-1)/(Z'+1)]=0.2Z*Z'=2,(通分，加减可得)Z*Z'=1.|Z|=1.

【注：（1）因不好打出，可记复数Z的共轭复数为Z’.(2).几个结论：(!).|Z|^2=|Z'|^2=Z*Z'.(!!).Z为实数的充要条件是Z=Z'.(!!!)Z为纯虚数的充要条件是Z+Z'=0.（!!!!)ZZ为虚数的充要条件是Z-Z'≠0.】解：（1）因Z为虚数，故Z-Z'≠0.易知，Z+(1/Z)为实数Z+(1/Z)=Z'+(1/Z').(Z-Z')/(Z*Z')*[1-Z*Z']=0.Z*Z'=1.|Z|=1.(2),(Z-1)/(Z+1)是纯虚数。[(Z-1)/(Z+1)]+[(Z'-1)/(Z'+1)]=0.2Z*Z'=2,(通分，加减可得）Z*Z'=1.|Z|=1.

【注：（1）因不好打出，可记复数Z的共轭复数为Z’.(2).几个结论：(!).|Z|^2=|Z'|^2=Z*Z'.(!!).Z为实数的充要条件是Z=Z'.(!!!)Z为纯虚数的充要条件是Z+Z'=0.（!!!!)ZZ为虚数的充要条件是Z-Z'≠0.】解：（1）因Z为虚数，故Z-Z'≠0.易知，Z+(1/Z)为实数<===>Z+(1/Z)=Z'+(1/Z').<===>(Z-Z')/(Z*Z')*[1-Z*Z']=0.<===>Z*Z'=1.<===>|Z|=1.(2),(Z-1)/(Z+1)是纯虚数。<===>[(Z-1)/(Z+1)]+[(Z'-1)/(Z'+1)]=0.<===>2Z*Z'=2,(通分，加减可得）<===>Z*Z'=1.<===>|Z|=1.

你可以问问老师，这样容易懂

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象山县13865864598： 已知z是虚数,证明z+1\z为实数的充要条件是|z|=1 - ？
辟珊平能： z+1\z为实数 <=>z+1/z=z'+1/z' <=>zzz'+z'=zz'z'+z <=>(z-z')(zz'-1)=0 而z是虚数,z≠z',因此(z-z')(zz'-1)=0<=>zz'=1<=>|z|=1 其中z'表示z的共轭

象山县13865864598： 已知Z是虚数,求证Z+1/Z为实数的充要条件是|z|=1 - ？
辟珊平能： |^【注:(1)因不好打出,可记复数Z的共轭复数为Z'.(2).几个结论:(!

象山县13865864598： 已知z是虚数,且z+1/z是实数,求证:(z - 1)/(z+1)是纯虚数 - ？
辟珊平能： Z=a+bi(b≠0) 是虚数的一般形式, Z=bi(b≠0)是纯虚数.其中 a是实部, b是虚部, bi是虚数部分

象山县13865864598： 已知z是虚数,且 z+(1/z) 是实数,求|z| 的值 - ？
辟珊平能： z=a+bi1/z=(a-bi)/(a+bi)(a-bi)=(a-bi)/(a²+b²) 则a+a/(a²+b²)+[b-b/(a²+b²)]i是实数 所以b-b/(a²+b²)=0 z时虚数则b≠0 所以1-1/(a²+b²)=0 a²+b²=1 |z|=√(a²+b²)=1

象山县13865864598： 高二复数:已知Z是虚数,Z+(1/Z)是实数,求证:(Z - 1)/(Z+1)是纯虚数. - ？
辟珊平能： 设z=ai,代入Z+(1/Z)得ai+1/a-i,因为Z+(1/Z)为实数,所以a=1.代入(Z-1)/(Z+1),得(i-1)/(i+1),分子分母同乘以i-1得结果为i,得证

象山县13865864598： 已知z是虚数,且z+1/z是实数1,求z - 1/z+1 - ？
辟珊平能： 解答:z是虚数,设z=a+bi,(a,b∈R,且b≠0) ∴ ∴ a+bi+1/(a+bi)=1 ∴ a+bi+(a-bi)/(a²+b²)=1 ∴ a+a/(a²+b²)=1且b-b/(a²+b²)=0 ∴ a²+b²=1,∴ a=1/2 ∴ b=±√3/2 ∴ (z-1)/(z+1)=(a-1+bi)/(a+1+bi)=(a-1+bi)(a+1-bi)/[(a+1+bi)(a+1-bi)]=(a²+b²+2bi-1)/[(a+1)²+b²]=2bi/[(a+1)²+b²]=2bi/[9/4+3/4]=2bi/3=(2b/3)i=±(√3/3)i

象山县13865864598： 已知z是虚数,且z+1/z是实数,求证z - 1/z+1是纯虚数？
辟珊平能： z+1/z=a+ib+1/(a+ib)=a+ib+(a-ib)/(a^2+b^2)=>[a+a/(a^2+b^2)]+i[b-b/(a^2+b^2)]是实数=>[b-b/(a^2+b^2)]=0=>a^2+b^2=1----------------(z-1)/(z+1)=(a-1+ib)/(a+1+ib)=(a-1+ib)(a+1-ib)/(a+1+ib)(a+1-ib)=(a^2+b^2+2ib-1)/[(a+1)^2-b^2]实部为=(a^2+b^2-1)/[(a+1)^2-b^2]=0/[(a+1)^2-b^2]=0so(z-1)/(z+1)是纯虚数

象山县13865864598： 设z是虚数,w=z+1/z是实数, - ？
辟珊平能： 设z=a+bi w=a+bi+(a-bi)/(a^2+b^2) 由于w是实数,所以b-b/(a^2+b^2)=0 所以b=0(舍去)或a^2+b^2=1 代入得w=2a 由-1另外,-1于是|z|的值为1,z的实部的取值范围:-1/2设z=cosk+isink u=(1-z)/(1+z)=(1-cosk-isink)/(1+cosk+isink)=(-2isink)/(2+2cosk) 所以u为纯虚数 w-u^2=2cosk+(sink)^2/(1+cosk)=-(cosk)^2+2cosk+1=-(cosk-1)^2+2 由-1/2w-u^2的最小值好像取不到,如果是-1/2=(a=cosk=-1/2时)

象山县13865864598： 已知Z是虚数,W=z+1/z,求证 w属于R的充要条件是[z]=1 - ？
辟珊平能： 设z=a+bi,则1/z=1/(a+bi) Z+1/Z属于实属即 a+bi+[(a-bi)/(a+b)]中bi+[bi/开二次方(a^2+b^2)]=0即1+[1/(开二次方(a^2+b^2)]=0 [z]=(开二次方(a^2+b^2)=1

象山县13865864598： 已知Z属于C,且Z的模=1,Z不等于正负1,求证;(Z—1)/(Z+1)是纯虚数 - ？
辟珊平能：[答案] 证明:易证(z*-1)/(z*+1)+(z-1)/(z+1)=0,所以re(z)=0 z*表示z的共轭复数 又(z-1)(z*+1)=z-z*不为零,等价于z不等于正负1,故im(z)≠0 所以(Z—1)/(Z+1)是纯虚数