矩阵分解（特征分解、SVD分解）
一、特征值和特征向量
1.1 定义
对于N阶矩阵A，存在实数λ及非零向量x，满足Ax=λx，则称λ是A的特征值，非零向量x是A的特征向量。
1.2 几何意义
一个n维的向量x，左乘一个n阶的方阵A得到Ax，几何上理解是对x进行线性变换，变换后向量y的方向和长度发生了变化。但对于特定矩阵A，存在特定方向的向量x，使Ax的方向不变化，只是长度变化。长度变化的系数λ即为特征值，不变化的向量x为特征向量。例如：
矩阵A与向量x相乘后，方向与长度都发生了变化。然而特征向量x只改变长度，方向不变。
1.3 求解过程
求解特征值和特征向量的过程是齐次线性方程组求解非零解的过程：Ax=λx。若方程组存在非零解，需要系数行列式det(A-λI)不为零，即系数矩阵A-λI的秩小于n。
线性代数精华——矩阵的特征值与特征向量
如何求矩阵的特征值和特征向量_是可帅鸭的博客-CSDN博客
线性代数学习笔记(二十八)——齐次方程组的解_齐次线性方程组_雏鹰高飞的博客-CSDN博客
求解矩阵特征值及特征向量 - Peyton_Li - 博客园
一、性质
（1）矩阵的迹等于特征值之和
tr(A) = ∑λi
（2）矩阵的行列式等于特征值之积
det(A) = ∏λi
二、矩阵运算
矩阵分解常用方法包括特征值分解（Eigen Decomposition）、奇异值分解（SVD）、主成分分析（PCA）、Funk-SVD（Simon Funk SVD）。特征值分解仅适用于方阵，非方阵矩阵使用奇异值分解。
三、矩阵分解
特征值分解将矩阵分解为特征值和特征向量的形式，通过特征值和特征向量重构矩阵A。特征值表示特征的重要程度，特征向量表示特征本身。可以理解为每个特征向量构成一个线性子空间，利用这些子空间可以执行许多操作。
例如，矩阵A可以通过特征值和特征向量表示为：
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奇异值分解（SVD）包括：
如何计算SVD
求解矩阵的特征分解与奇异值分解(SVD)
物理意义是空间变换分解为旋转、伸缩、旋转三个基本变换。奇异值表征了对应奇异向量的伸缩程度，奇异值越大，对应的奇异向量对最终结果影响越大。矩阵秩等于非零奇异值的数量。（可用于图像压缩、去噪）
应用包括：
《数学之美》笔记（一）】奇异值分解(SVD)的原理、演算和应用
算法工程师技能树(二):矩阵分解
矩阵分解是机器学习领域关键技能，广泛应用于推荐系统、图像处理、自然语言处理等多个领域。本文将深入解析矩阵分解技术，帮助算法工程师们理解和掌握PCA、SVD、NMF、SVD++、PSI等核心算法。矩阵分解概念的基础之一是特征值分解（EVD），适用于方阵。若矩阵 A 为方阵，其特征值分解可表达为 A = UΛU^...
特征分解的分解方法
令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性无关的特征向量。这样， A 可以被分解为其中 Q 是N×N方阵，且其第 i列为 A 的特征向量 。 Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即。这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如 不能被对角化，也就不能特征分解。一般来...
算法工程师的数学基础|线性代数中的矩阵
矩阵分解包括奇异值分解和特征分解，奇异值分解将矩阵分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，特征分解则分解为特征向量和对角矩阵的乘积。对称矩阵的特征分解中，正交矩阵可以简化计算。线性代数中的矩阵知识对于理解线性变换、求解线性方程组、特征值和特征向量问题以及矩阵分解有重要作用。掌握这些概念对于算法工程...
矩阵运算的方法和特点有哪些?
4.矩阵共轭：矩阵共轭是指将一个复数矩阵的所有元素取其共轭复数得到的新矩阵。5.矩阵求逆：如果一个方阵满足其行列式不为0，那么这个方阵就有逆矩阵。求逆矩阵的方法有很多，常用的有高斯消元法和克拉默法则。6.矩阵分解：矩阵分解是将一个矩阵分解为若干个简单矩阵的乘积。常用的矩阵分解方法有特...
矩阵SVD 分解
SVD分解适用于非方阵，即m×n矩阵，分解后得到的U为m×m酉矩阵，V为n×n酉矩阵，Σ为m×n的对角矩阵。通过计算A与A^T，以及A^T与A的特征值与特征向量，可以得到U和V矩阵的特征向量，进而得到Σ矩阵的对角元素，即矩阵A的奇异值。特征分解只适用于方阵，要求矩阵有n个特征值与特征向量，其中n...
在线等,矩阵特征分解
然后我闻到了来自sigod的熟悉香气
矩阵分析的常用方法有哪些?
矩阵分解：矩阵分解是将一个大矩阵分解成几个小矩阵的过程。常见的矩阵分解方法有LU分解、QR分解、奇异值分解（SVD）等。这些方法可以帮助我们更好地理解矩阵的结构，以及如何处理大规模的数据。特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念。它们可以帮助我们理解矩阵的稳定性，以及如何通...
特征向量的求解有哪些方法?
求解特征向量的方法主要包括特征值分解和奇异值分解两种。1、特征值分解 特征值分解是一种将一个矩阵分解为特征向量和特征值的方法。具体步骤如下：首先，对给定的矩阵进行特征值求解，得到矩阵的特征值。接着，针对每个特征值，求解对应的特征向量。最后，将得到的特征向量按列排列成一个矩阵，即可得到...
机器学习中的线性代数
不是每一个矩阵都可以分解成特征值和特征向量,在某些情况下,特征分解会涉及到复数,而非实数。在本书的机器学习学习中,我们只讨论一类简单分解的矩阵。具体就是,每个实对称矩阵都可以分解为实特征向量和实特征值:A=QΛQ?其中Q是A的特征向量组成的正交矩阵,Λ是对角矩阵。特征值Λi,i对应的特征向量是矩阵Q的第...
矩阵的分解是什么意思?
在数学中，矩阵为一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩...
系罗格来：[答案] 奇异值矩阵 奇异值矩阵分解 奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解,在信号处理、统计学等领域有重要应用. 定义:设A为m*n阶矩阵,的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值.记为. (A),则HA)^(1/2). 定理:(奇异值分解)设A为m*...
比如县13897955771： 怎么理解SVD算法?急用 - ？
系罗格来：[答案] 211 SVD算法 SVD算法可用来求解大多数的线性最小二乘法问题.SVD 算法基于如下分解定理:对任 意的矩阵 Am *n ,当其行数 m 大于等于列数 n 时,可以分解为正交矩阵 Um *n ,非负对角矩阵 Wn*n以及正交矩阵Vn*n的转置的乘积,即 Am*n =...
比如县13897955771： MATLAB中SVD奇异值分解是什么作用? - ？
系罗格来： 奇异值分解 (sigular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法;SVD是最可靠的分解法,但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间.[U,S,V]=svd(A),其中U和V代表二个相互正交矩阵,而S代表一对角矩阵. 和QR分解法相同者, 原矩阵A不必为正方矩阵.使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩
比如县13897955771： 怎么把一个矩阵分解成几个矩阵 - ？
系罗格来： 数值积分三角分解法、Doolittle分解法、Crout分解法、Cholesky分解法. 矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积,可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD(奇异值)分解等,常见的有三种:1)三角分解法 (Triangular Factorization),2)QR 分解法 (QR Factorization),3)奇异值分解法 (Singular Value Decompostion).
比如县13897955771： 求matlab 奇异值分解函数 svd和svds的区别 - ？
系罗格来： SVD函数就是把矩阵奇异值分解,分解成三个矩阵,具体什么数学含义我想你应该自己也有所了解.svds函数就要求除了给函数输入矩阵,还要给出你想保留的奇异值个数,比如说svds(A,5),那么它输出的三个矩阵所对应的奇异值,就只保留了前5个最大的,剩下都被置零.其实也就这个区别.希望对你有帮助
比如县13897955771： 以下关于SVD说法正确的有 ( ). - 上学吧？
系罗格来： 假设M是一个m*n阶矩阵,其中的元素全部属于域 K,也就是 实数域或复数域.如此则存在一个分解使得 M = UΣV*, 其中U是m*m阶酉矩阵;Σ是半正定m*n阶对角矩阵;而V*,即V的共轭转置,是n*n阶酉矩阵.这样的分解就称作M的奇异值分解.Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值. 常见的做法是为了奇异值由大而小排列.如此Σ便能由M唯一确定了.(虽然U和V仍然不能确定.)奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似.然而这两种矩阵分解尽管有其相关性,但还是有明显的不同.对称阵特征向量分解的基础是谱分析,而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广.
比如县13897955771： 线性代数中的SVD,即Singular Value Decomposition这种分解有什么应用呢? - ？
系罗格来： SVD这是线性代数现在的重中之重,相比之前,约旦标准型的光辉岁月已经退去了、 SVD中文叫奇异值分解.线性代数里面X'X矩阵是非常重要的矩阵 因为既保留了X的所有信息 又把这种信息的载体优化了,具备了很好的性质,比如如果X列满秩或者行满秩,X'X就是可逆的,对称的,而且可以构造投影矩阵,这是最小二乘的基础. 但是X不一定就能满秩,所以X'X就不是满秩方阵,也就不可逆,但是有逆这个性质我们非常想得到,SVD就出现了.SVD的第一大应用就是使得非满秩的X'X有逆,国外称作伪逆,我们叫广义逆,其实国内的广义逆有很多不唯一,SVD可以帮你找到最好的那个.这样最小二乘法就能继续得到应用.
比如县13897955771： 简述矩阵特征分解的基本步骤. - ？
系罗格来： 比如你的矩阵是a; a = 4 7 10 135 8 11 146 9 12 157 10 13 16>> [u,v]=eig(a)u = -0.4252 0.7922 0.1848 0.2559-0.4731 0.3667 0.1379 0.0197-0.5211 -0.0588 -0.8302 -0.8072-0.5691 -0.4842 0.5075 0.5316v = 41.4476 0 0 00 -1.4476 0 00 0 0.0000 00 0 0 0.0000
比如县13897955771： 矩阵的奇异值是什么 - ？
系罗格来： 奇异值分解即为SVD分解,具体见矩阵论.奇异值对应于矩阵的非零特征值,见《矩阵论》戴华版P139
