三角函数怎么学？

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分两部分帮你解决，首先是概述👇

三角函数是三角学中的重要概念，用于描述一个角度和其对应的直角三角形的边与角之间的关系。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义和公式如下：

• 正弦函数（sine）：正弦函数表示一个角的对边与斜边之比，记作sin。在直角三角形中，如果一个角的对边长度为a，斜边长度为c，则正弦函数的定义为sin(A) = a/c。

• 余弦函数（cosine）：余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比，记作cos。在直角三角形中，如果一个角的邻边长度为b，斜边长度为c，则余弦函数的定义为cos(A) = b/c。

• 正切函数（tangent）：正切函数表示一个角的对边与邻边之比，记作tan。在直角三角形中，如果一个角的对边长度为a，邻边长度为b，则正切函数的定义为tan(A) = a/b。

除了这三个基本的三角函数，还有其倒数函数：余割函数（cosecant，csc）、正割函数（secant，sec）和余切函数（cotangent，cot）。它们分别是正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数。

在解题过程中，常见的三角函数题型包括求角度的大小、求边长的长度、证明恒等式等。为了解决这些问题，可以应用以下解题技巧：

• ①利用特殊角的数值来计算：根据特殊角的数值，可以直接计算其三角函数值，例如30°、45°、60°等。

• ②利用三角函数的周期性质：三角函数具有周期性，即sin(A) = sin(A + n360°)，cos(A) = cos(A + n360°)，tan(A) = tan(A + n*180°)，其中n为整数。通过这一性质，可以将一个角化简到某个特定范围内进行计算。

• ③利用基本三角恒等式：三角函数有一系列基本恒等式，如：

• sin^2(A) + cos^2(A) = 1

• tan(A) = sin(A)/cos(A)

• sin(2A) = 2sin(A)cos(A)

• cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) 等。通过应用这些恒等式，可以简化计算过程或得到有用的信息。

• 利用三角函数的性质：三角函数具有一些特殊的性质，如正弦函数和余弦函数是奇函数，而正切函数是周期性函数。根据这些性质，可以得到一些重要结论。

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【定义式】

三角函数公式是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数公式。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射，通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。

02 函数公式

倒数关系:

商数关系：

平方关系：

03 诱导公式

公式1：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限，即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函 数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

04 基本公式：

口诀（正余弦两角和差公式）：

赛壳壳赛符号同，壳壳赛赛符号异。

1）正弦和差前后同号，余弦和差前后异号

2）正弦和差公式始终是sin与cos相乘; 余弦和差公式始终是cos与cos相乘，sin与sin相乘

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

再说一下tan和差公式的记忆。

由下图可以看到，tan和差公式的右边分式，分子与分母符号是不同的，而左边与分子符号又是相同的。这样我们就能通过左边确定等式右边的符号。

再记住上加下乘，就能把tan的每一项记住了。

三角和公式

4.3 积化和差公式：

余弦定理

三角函数公式算面积

定理：

同理，即可得出三角形的面积等于两邻边及其夹角正弦值的乘积的一半。

◆ 公式：

若△ABC中角A，B，C所对的三边是a,b,c：

反三角函数

在数学中，反三角函数(偶尔也称为弧函数，反严密函数或圈度量函数)是三角函数的反函数(具有适当限制的域)。具体而言，它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和余割的逆函数，并用于从任何角度的三角比获得角度。

反三角函数主要是三个：

同角三角函数的基本关系
倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1） 证明：当sin（na）=0时,sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】 这说明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】=0是同解方程. 所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比. 而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）,所以 ｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】 与sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn）. 然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^（n-1）
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二： 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)
编辑本段内容规律
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系.而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1、三角函数本质：
[1] 根据右图,有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y. 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点.角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD. A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ.图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式. 两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

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望谟县13859989658： 三角函数零基础应该从何学起,要掌握那些知识,怎样学比较高效率? - ？
杨国头孢： 从书店看看初中三年级的数学课本. 它上头有锐角三角函数. 再找一本高中一年级的数学课本.它上头有三角函数基本公式. 一,定义定理. 二,常用公式. 三,三个基本函数图像. 四,利用图像记忆性质. 五,教科书每个章节的后头都有小例题和小练习题.千万不可忽视!它们是解决难题的跳板和桥梁. 六,如果在某个场合需要计算某多少多少的三角函数值,可以用(哪怕是)手机上的计算器,都能查出来的. 但是:常用角的三角函数值,必须记住它.(30 45 60°的). 俗语说 世上无难事只怕有心人.

望谟县13859989658： 如何学习数学三角函数 - ？
杨国头孢： 1.公式该记住,题该多做点.画画图形分析一下,不难的学数学是学一种思想,不像英语,语文那样靠背就能解决问题的,要懂得举一反三,不要老做同一种类型的题目,理解为什么那么做,我这样做为什么错,我为什么不会,多问几个为什么...

望谟县13859989658： 我数学一点都不好,现在要学三角函数,应该从哪开始学呢? - ？
杨国头孢：[答案] 老师讲三角函数的时候,要把图像,性质多看,多背 还有一点最重要的是,要做题 如果这一点做不到的话那就学不好了

望谟县13859989658： 谁能告诉我三角函数如何学 - ？
杨国头孢： 学习三角函数其实就是几个公式,这是第一关把公式都几记号这是必须懂得.记好公式以后就是要灵活运用了,要自己多变换之间的联系,这样多做等式变换就记得熟了 .

望谟县13859989658： 怎么学三角函数比较简单 - ？
杨国头孢： 记的应记住、角的正余弦和正切在四象限的符号:一、同角的三角函数的关系公式.三、诱导公式.二.四

望谟县13859989658： 怎么学好数学三角函数? - ？
杨国头孢： 你好,很高兴为你解答:(1)立足课本、抓好基础现在高考非常重视三角函数图像与性质等基础知识的考查,所以在学习中首先要打好基础.(2)三角函数的定义一定要清楚我们在学习三角函数时,老师就会强调我们要把角放在平面直角坐标...

望谟县13859989658： 三角函数怎么学?我什么都不知道,连什么SIN是什么都不知道!我该从哪开始学? - ？
杨国头孢：[答案] 不用担心.只要方法对,学的很快的. sin不过是个符号. 画个直角三角形,就什么都有了. 三角形无非三个角, 三条边;每条边有个对角, 每个角有条对边 直角三角形就叫斜边,直角边. 直角边和斜边,直角边和直角边,比较,总共有几种情况? 直角...

望谟县13859989658： 三角函数要怎么学那些知识点我都记住了,就是应用方面我很不会,特别是做大题,也就是证明题的时候,什么时候要用sin、cos、tan、cot,我都不清楚. - ？
杨国头孢：[答案] 说明你 三角函数的定义不是很熟练. 先,多练习简单的习题; 再把他们之间的转换关系搞懂;[例如 tan A=sinA /cos A,sinA^2+cos A ^2=1] 主要记住搞懂 (sin、cos、tan )这三个就行了,其他的可以类推出来. ------------------------------------------- 把30度...

望谟县13859989658： 怎么学三角函数?？
杨国头孢： 熟记公式,正弦,余弦,二倍角,还有蒲公英也很重要,现在三角函数题目都是公式套用

望谟县13859989658： 怎样学习三角函数 - ？
杨国头孢： 解答: 第一步:先从勾股定理下手,学会一些勾股数,下面提供几组:3、4、5; 5、12、137、24、25; 8、15、179、40、41; 11、60、6112、35、37; 13、84、8515、112、113; 16、63、65....看出规律来了吗?要多少有多少....