2008年初三 数学竞赛30道

2008年全国初中数学竞赛初赛试题~

解：（1）令x=0，得y=b+2，b+2＞0，b＞-2；
令y=0，得x=- b+2k＞0，k＜0．
所以A，B两点的坐标分别为A（- b+2k，0），B（0，b+2），
于是，△OAB的面积为S= 12（- b+2k）（b+2）．
由题意，有 12（- b+2k）（b+2）=（- b+2k）+（b+2）+3，
解得k= -b2-2b2(b+5)；

（2）由（1）知S= 12（- b+2k）（b+2）= (b+2)(b+5)b=b+ 10b+7=（ b+ 10b）2+7-2 10≥7-2 10．
所以，△OAB面积的最小值为 7-2 10．


本题考查了一次函数的最值及三角形的面积，难度一般，关键是根据已知条件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．

2008全国初中数学联赛获奖名单
发表人：数培中心 2008年4月16日 本文已被浏览 1999 次

一等奖

王之铭
吴纯依
李哲轩
季续
刘任
胡安琦
曹磊
冯星宇
朱凌峥
孙周
曹鹤
尤佳华
张靖轩
刘婧璇
姚新伟
高脊
张忻
李茳淼
杨卓
徐翀
史雨凯
刘梦云
高藉非
成辉
李叶嵘
徐康为
孟浩然
朱悉睿
卢运则
倪康
仇成伟楠
费洋
杨昊澄
王羽中
蒋维
周丰愉
杨经纬
周加伟
黄毅捷
施逸飞
陈晓
程涉
施一然
沈哗昊
乐璐
曹博
郝子宏
岳昕阆
阎如斯
张文钊
夏斐
杨宁
张佩琪
程柯
刘春晓
袁俊磊



二等奖

周默
陈冠霖
朱元达
谈海慈
高世祺
孔惟嘉
黄双尔
李语陶
周芷兰
戴一博
殷明周
张广宏
程天元
韩逸轩
吴子轩
王诚禹
石泽轩
张胤哲
黄泓渊
胡越
章冠宇
叶华欣
侯喆文
王一惟
李奇畅
杨津
曹令森
李韧杰
孙畅
张君柳
刘炤寰
金超逸
田超然
张益林
王雅烨
朱柯羽
吉梓玮
刘剑逸
朱逸初
陶杜平
李影
王一鸣
王泽宇2
朱文
王若弢
殷晨曦
刘雨豪
林北辰
翁天惠
朱茜
孟诗哲
李哲
叶博天
张可天
王玄
黄佳程
王一石
宋珊珊
咸萌萌
周天童
陆涵婧
谭昊
郭思涵
黄霏凌
侯玥
王宁悦
沈忱
陆语
王桉丽
梅瑞
凌天白
张玉婷
姜乃馨
吴锡宁
孙一叶
曾梦祺
陈实
李成蹊
王一舟
尹康涌
曲君博
叶欣
孙竞轩
尹陈
王秋实
王博
胡光
黄宇韬
田小玮
陈兴赟
蒋和敏
毛歆怡
程智超
李诚
夏雨桐
龚瑞明
夏雨
许灿
匡博斐
王依桐
黄伯宁
顾天昊
张贻南
计旭元
汤浴川
徐周燕

三等奖

刘晓璠
汪沁晨
孙婧文
钟晓宁
陆斌
朱均逸
童心怡
凌欣
金晓晗
孙天韵
赵金满
张静宜
毕书瑶
张易然
赵墨佳
张书玮
陈培炎
严昕
张鸣宇
胡玥
缪羽婷
孙紫阳
郑博艺
陆燕宁
严许
刘康
施翔宇
虞孟韵
朱运升
黄逸凡
李容舟
董宜放
李芝霖
陈冰松
吴秋怡
吕政融
江越伟
蒋雨眠
吴一南
沙含
周译
楼苏旸
徐睿
刘疏
胡悦
行晓谞
邢之
张寒露
薛灵芸
赵松林
刘京
查瀚文
钟灏玥
张奕喆
沈彦迪
彭天翊
俞亦智
丁文思
郭齐
宋理洋
王慕阳
陈慧君
钱天陆
李尘箫
樊韵恒
徐雅君
曹杏雨
陈旭东
殷海容
汪喆桢
刘华倩
王天旻
陈璇
王帅
陈潇俊
黄晨宇
谢希瑒
邢也
李新宇
梁霄
赵月瑶
徐鸣杰
喻立宽
陈希
张圣羽
刘亚辰
汪政扬
刘澍
秦臻
周明子
吴伯康
李昊
汤天佑
王其中
周思颖
窦昊天
肖宇涵
石海宁
谈笑
周思思
徐司雨
倪诚
翁馨玉
曹炀
陈思颖
殷天然
曹嘉璐
徐鑫宁
马旭东
童奕轩
赵昊
黄丹琪
王子康
濮仕鑫
袁旭升
王聪
周天平
孙欣
康桥
奚远
黄心怡
王旭鸽
杨天承
孙樾
严林
张博
许欣
张研白
陈亮
顾文倩
张越
许烨旻
陈颖章
刘天宇
翟宸宇
沈童
程嘉诚
耿功伟
施冠雄
许希夷
陈如莹
袁博融
孙业鸣
李晟
吴启帆
袁晓芸
陈志昊
陈飞
周大中
万宬彰
王中琪
徐圣宇
郭力特
任大安
何冠石
李仲谋
张玮南
智天成
阚黎
李昊然
许言文
周天尧
安琪
钱林凯
宗袁月
吴子谦
周欣睿
朱霖龄
陆友陶
周富伟
王曦
王君
蒋宁新
傅肄芃
刘超然
庆梓焜
金维佳
郭明琦
金梦萱
陈鹏鲲
刘佳琦
庄园
刘高睿
李稼成
蒋昊东
胡忻越
魏紫卉
陈蕴琦
翟彦文
金珊
马颖
张琭
邢童溪
严吟慈
朱启睿
李天响
吴越杰
张浩
郑好
邓宇驰
卞江
殷昊琛
金曜
马孟宇
夏伊云
蒋逸非
侯书勤
郭磊
郑克强
徐迟
时晗
朱汉辰
夏伟宏
王尤婕
朱雨卿
金辰光
单文倩
杜玮伦
王泽亚
颜妍
王凯文
杨逸飞
佘世奇
朱睿
唐楠
张以罡
张浩
刘智
厉麟
虞杉
潘雨阳
陈佳明
田成
于北晨
曹佳颖
魏杰程
火清羿
蔡泽洲
曹书焕
李竹颖
徐之恒
顾澄
唐程伟
吴书悦
严妍
何旋
袁浣
周睛雯
徐粲初
苏杨波
冉征

（完）

2008—2009学年九年级竞赛试题
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题（每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分）
1、设a= ，b= ，c= ，则a，b，c之间的大小关系是（ ）。
A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、a<c<b
2、已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ ）。
A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定
3、已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）。
A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、 第一、四象限
4、函数 图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b， ， ，b2—a2 等代数式的值中，正数有（ ）
A、2个 B、3个 C、 4个 D、 5个

5、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ ）。
A、 < < B、 < < C、 < < D、 < <
6、设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）。
A、 B、
C、 D、有无数个根
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2009，则a+b= 。
8、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需 元。
9、已知有理数x满足： ，若 的最小值为a，最大值为b，则ab= 。
10、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是 。
11、若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 。
12、从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是 。
三、解答题（每题15分，共60分）
13、甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离。

14、已知a、b、c都是整数，且a—2b=4，ab+c2—1=0，求a+b+c的值。

15、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE。

16、要使关于x的方程 的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。

嘉兴市实验初级中学2008—2009学年九年级竞赛试题
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题（每题只有一个正确答案，共6题。每小题5分，共30分）
1、设a= ，b= ，c= ，则a，b，c之间的大小关系是（ A ）。
A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、a<c<b
2、已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2—（c2—a2—b2）x+b2=0，则方程根的情况是（ C ）。
A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定
3、已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ B ）。
A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、 第一、四象限
4、函数 图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b， ， ，b2—a2 等代数式的值中，正数有（ A ）
A、2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个

5、如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ D ）。
A、 < < B、 < < C、 < < D、 < <
6、设m是整数,关于x的方程mx2—（m—1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ C ）。
A、 B、
C、 D、有无数个根
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2009，则a+b= 2007 。
8、有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需 6 元。
9、已知有理数x满足： ，若 的最小值为a，最大值为b，则ab= 5 。
10、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是 84 。
11、若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于 1 。
12、从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是 0.25 。
三、解答题（每题15分，共60分）
13、甲、乙两辆公共汽车分别自A、B两地同时出发，相向而行。甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进。两车到达对方的出发点等候30分钟立即依原路返回。当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求A、B两地的距离。
解：设甲车的速度为x千米/小时，设乙车的速度为y千米/小时，A、B两地的距离为s千米。则：

即 ：
有①÷②得 ：
化简得 ：
解得 ：
答：A、B两地的距离是190千米。

14、已知a、b、c都是整数，且a—2b=4，ab+c2—1=0，求a+b+c的值。
解：将 代人 得： 。
解得
∵ b,c都是整数
∴ b,c只能取 , , , 。
相对应 。
故 。
15、如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，B为切点，OC平行于弦AD，连接CD。过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE。
解：先证明CD是⊙O的切线。连结OD，OD‖AD，
∴∠1＝∠ADO，∠2＝∠DAO，
∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC。
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB。
∴∠OBC＝900，∴∠ODC＝900，∴CD⊥OD。
∴CD是⊙O的切线。
再证点P平分线段DE。
过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB。
∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴FA‖DE‖CB,
∴ 。
在△FAC中，∵DP‖FA, ∴ 。
∵FA、FD是⊙O的切线，∴FA=FD，∴ 。
在△ABC中，∵EP‖BC, ∴ 。
∵CD、CB是⊙O的切线，∴CB=CD， ，
∴ ， ∴DP=EP，
∴点P平分线段DE。

16、要使关于x的方程 的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。
解：令f（x）=ax2－(a+1)x－4，
∵ f（x）=0在（－1，0）之间有一根，
∴ f（－1）•f（0）=（2a－3）•（－4）<0, ①
∵ f（x）=0在（2，3）之间有一根，
∴ f（2）•f（3）=（2a－b）•（6a－7）<0。 ②
解不等式组
解得 。
∵a为整数
∴ a=2时，二次方程a=2时，二次方程 的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间。
选择题1．B根据不等式性质．2．D由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程的两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=l．又由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，得l2=(-p)2-4．∴p2=5， 3．C如图连ED， 又∵DE是△ABC两边中点连线． 故选C．4．B 得 2(a+b+c)=p(a+b+c)．∴有p=2或a+b+c=0．当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是 ∴y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限，故选B．5．C 在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图 ∴a=1，2，3…9，共9个． ∴b=3×8+1，3×8+2，3×8+3，…，3×8+8．共8个．∵9×8=72（个），故选C．二、填空题6．解 如图，过A作AG⊥BD于G，∵“等腰三角底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高”．∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD=13． 7．解 如图，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)，作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，∴S△OAB=S梯形AA1B1B-S△AA1O-S△BB1O 8．解 如图，当圆环为3个时，链长为3a+ 故a可取1，3或5．10．解 如图，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，于是BB1=2x． ∴A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|． 三、解答题11．解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED， 又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等． 解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE． 即EH=2h， 又∵HC=FH， 12．解(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程 (2)由(1)知，a2=a+1，反复利用此式可得a4=(a+1)2=a2+2a+1=3a+2，a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21a+13，a16=(21a+13)2=441a2+546a+169=987a+610．a18=(987a+610)(a+1)=987a2+1597a+610=2584a+1597． ∵a2-a-1=0，∴64a2-64a-65=-1，即 (8a+5)(8a-13)=-1． ∴a18+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796．13．解(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是W=200x+300x+400(18-2x)+800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)=-800x+17200． ∴5≤x≤9．∴W=-800x+17200(5≤x≤9，x是整数)由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800(10-x)+300y+700(10-y)+400(19-x-y)+500(x+y-10)=-500x-300y-17200 ∴W=-500x-300y+17200， W=-200x-300(x+y)+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300(x+y)+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．给你个地址 http://www.xkcmath.com/article.asp?articleid=7437

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霍山县17560666378： 2008初中数学竞赛29题？
隗虞罗汉： 29.由图,易知:a0,∴①正确;由-20,由此解得:b²>2ac,所以原式化为:8a>2ac,由于a 二次函数中,a与c的正负都很好判断,关键在于b.而b的判断又要看对称轴.其实很简单,知道了a的正负与对称轴(b/-2a)的正负后,若(b/-2a)>0,则说明a,b异号(即一正一负);若(b/-2a) 要说这道题难点,其实主要还不是在二次函数的系数上,而是在对④的处理上.这种小技巧平时要注重积累,考试时要充分运用所给出的条件.

霍山县17560666378： 2008年 育苗杯 数学竞赛模拟试题 - ？
隗虞罗汉： “育苗杯”数学竞赛模拟试题 1、 计算:0.5*12.5*2.5*128=( ). 2、 计算:555÷32+821÷32=( ). 3、学校买来5副乒乓球拍和8副羽毛球拍共用去210元,其中羽毛球拍的单价是乒乓球拍的2倍,乒乓球拍的单价是( );羽毛球拍的单价是( )...

霍山县17560666378： 初三数学竞赛题 - ？
隗虞罗汉： 2008年全国初中数学竞赛山东赛区 预赛暨2007年山东省初中数学竞赛试题 一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选项中,只有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题后的括号内. 1.已知函数y = x2 + 1– x ,...

霍山县17560666378： 2008年初三数学竞赛试题？
隗虞罗汉： 证明:以B为原点,BC 为x轴,垂直BC的直线为y轴.延长AE,DM分别交圆于G,N点,连接BN.设DM与BC相交于P点.A(a,b),C(c,0)→M(a/2,b/2)直线BF的方程为:y=(c-a)x/b,令x=a→H[a,a(c-a)/b]直线MO的方程为:y=(a²+b²-2ax)/2b,令...

霍山县17560666378： 2008年全国初中数学竞赛初赛试题？
隗虞罗汉： A((-b-2)/k,0),B(0,b+2),因为OA*OB/2=OA+OB+3,所以[(-b-2)/k]*(b+2)/2=(-b-2)/k+b+2+3,k=(-b²-2b)/(2b+10) S=(-b-2)/k+b+2+3=(2b+10)/b+b+5=10/b+b+7≥7+2√10(当且仅当b=√10时取等号),所以最小值为7+2√10

霍山县17560666378： 一次数学竞赛共有30道题,规定每做一题得5分,做错一题扣3分,小华做完了全部题目,最后得到了78分 - ？
隗虞罗汉： 假设全部做对,应该得: 5x30=150(分) 现在少:150-78=72(分) 每错1题比做对少: 5+3=8(分) 所以错了: 72/8=9(题)

霍山县17560666378： 08年初中数学竞赛题？
隗虞罗汉： 连接AO、BO、DA、AC ∵BC切于圆D于B ∴角ABC=角ADB/2 ∵O、D分别是圆心 ∴角ODB=角ADB/2=角ABC ∵AB是圆O的弦 ∴角ACB=角AOB/2=角DOB (同弦所对的圆周角为圆心角的一半) ∴角DBO=角CAB(两三角形有两内角相等,...

霍山县17560666378： 急找08年初三数学竞赛试题？
隗虞罗汉： 考试时间120分钟 一、选择题(每小题4分,共32分) 1. 的根是( ) (A) (B) (C) (D) 2.如图, ∥BC,若AD=1,DB=2, 则 的值为( ) (A) (B) (C) (D) 3.正三边形的外接圆的半径为R,则它的边长是( ) (A) (B) (C) (D) 4.两圆的半径R、r...

霍山县17560666378： 2008年数学竞赛题 - ？
隗虞罗汉： 位于词CYZGD与词XEFBA之间(这两个词除外)的词有K个 写出词表中第K个词 如果是所有字母组成的表 那要稍微麻烦些 把这个a当成0 , b-1, c-2, , , z-9 一带入就完了 CYZGD=28963 XEFBA=7451074510-28963=45547 这里好像还要减去 1 45546=k 因为 我的第一个词aaaaa=0 也就是当K=1时 aaaaa=0 所以还要减145545=effef 呵呵 刚发现很简单 数学如此奇妙

霍山县17560666378： 求2008年全国初中数学竞赛海南赛区决赛试卷？
隗虞罗汉： 2008年全国初中数学竞赛(海南赛区)全国通用 2008年全国初中数学竞赛(海南赛区) 初 赛 试 卷 (本试卷共6页,满分120分,考试时间:3月20日8:30——10:30) 题 号 一 二 三 总 分 (1—10) (11—17) 18 19 20 得 分 一、选择题(本大题...