在四边形ADBC中 已知：AC^2+BD^2=AD^2+BC^2 求证：对角线AB垂直CD

在四边形ADBC中 AC^2+BD^2=AD^2+BC^2 求证AB垂直CD~

证明：
设A在面BCD内的射影为P,连结PB、PD，
则PA²+PB²=AB²，PA²+PD²=AD²，
代入已知条件式，化简，得
PB²+CD²=PD²+BC²，
即BC²-PB²=CD²-PD²，
根据射影定理知CP⊥BD,
P是A在面BCD的射影，根据三垂线定理，
得AC⊥BD

已知 AB⊥CD，所以对角线构成的四个三角形均为直角三角形；
根据勾股定理：AC^2=OA^2+0C^2;BD^2=OB^2+OD^2; 推出AC^2+BD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2 ;
AD^2=OA^2+OD^2;BC^2=OC^2+OB^2;推出AD^2+BC^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2 ;
可知AD^2+BC^2=AC^2+BD^2

此题用反证法：
过A作AE⊥CD于D，过B作BF⊥CD于F。E、F与O应当是同一点。如果E、F不是同一点，则有
假设E在O左侧，则F在O右侧。
因为AC^2=AE^2+EC^2
AD^2=AE^2+DE^2
DB^2=BF^2+DF^2
BC^2=BF^2+CF^2 分别代入
AC^2+BD^2=AD^2+BC^2，得
EC^2+DF^2=DE^2+CF^2
而DF>DE,EC>CF，所以上式不成立。故与假设矛盾。所以AB⊥CD。

AC²+BD²=AD²+BC²
∴AC²+BD²-AD²-BC²=0
∴(AC-AD)(AC+AD)+(BD+BC)(BD-BC)=0
∴DC(AC+AD)+CD(BD+BC)=0
∴DC(AC+AD-BD-BC)=0
即：DC(AC+CB+AD+DB)=0
即：DC*2AB=0
∴AB*DC=0
∴AB⊥DC

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乾县15841967025： 在四边形ADBC中 已知:AC^2+BD^2=AD^2+BC^2 求证:对角线AB垂直CD - ？
钦凤六味： 此题用反证法:过A作AE⊥CD于D,过B作BF⊥CD于F.E、F与O应当是同一点.如果E、F不是同一点,则有 假设E在O左侧,则F在O右侧.因为AC^2=AE^2+EC^2 AD^2=AE^2+DE^2 DB^2=BF^2+DF^2 BC^2=BF^2+CF^2 分别代入 AC^2+BD^2=AD^2+BC^2,得 EC^2+DF^2=DE^2+CF^2 而DF>DE,EC>CF,所以上式不成立.故与假设矛盾.所以AB⊥CD.

乾县15841967025： 在四边形ADBC中,对角线AB垂直CD 求证AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.它的逆定理是否 - ？
钦凤六味： 因为在四边形ADBC中,对角线相互垂直,则该四边形为菱形,由菱形性质得,AC=BD=AD=BC,所以,AC+BD=AD+BC.原式可证.逆定理不成立,设有一不规则四边形,则不能得到对角线互相垂直.

乾县15841967025： 如图,已知,在四边形ABCD中,AC平分角DAB,角ACD=角ABC.求证:AC^2=AB*AD - ？
钦凤六味： 1.在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ACD=∠ABC.求证:AC^2=AB*AD Proof:∵∠DAC=∠CAB,,∠ACD=∠ABC ∴△ACD∽△ABC ∴AC:AB=AD:AC ∴AC*AC:AB=AD*AB ∴AC^2=AB*AD

乾县15841967025： 已知平行四边形ABCD求证AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2) - ？
钦凤六味： 这里画不了图,你自己画图.证明::ABCD是平行四边形. 过A作AE垂直BC,过D作DF垂直BC于F. 那么, BE=CF,所以EF=BC AC^2=AE^2+(BC-BE)^2BD^2=DF^2+(BC+CF)^2 因为 AE=DF,BE=CF,所以AC^2+BD^2=2AE^2+2BC^2+2BE^2=2(AE^2+BE^2)+2BC^2=2AB^2+2BC^2

乾县15841967025： 在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长 ****用向量解决****** 详细过程知道里面有一个,但是是用余弦定理做的,我要的... - ？
钦凤六味：[答案] (以下均为向量) 由题意可知,AB-AD=DB,AB+AD=AC 又AD=1,AB=2,BD=2,故有(AB-AD)^2=DB^2,即 AB^2-2AB*AD+AD^2=DB^2,即4-2AB*AD+1=4,即2AB*AD=1 故AC^2=(AB+AD)^2=AB^2+2AB*AD+AD^2=4+1+1=6 所以AC=√6

乾县15841967025： 如图所示,,已知:在四边形ABCD中,AB=BC=2,角B=90度,CD=3,AD=1,求角DAB的度数和四边形ABCD的面积 - ？
钦凤六味： 很高兴为您解答: 解: AB=BC=2,角B=90度 所以AC=根号下AB方+BC方=根号8 又因为AD方+AC方=CD方 所以ACD为直角三角形且角DAC=90 所以角DAB=135 四边形ABCD的面积=Sabc+Sacd=0.5x2x2+0.5x1x2根号2=2+根号2 谢谢.祝你开心 有帮助记得采纳哦

乾县15841967025： 高一数学 已知在平行四边形ABCD中,|AC|^2点乘|BD|^2=|AB|^4+|AD|^4,求角DAB的大小. - ？
钦凤六味： AC^2=(向量AB +向量AD)^2=AB^2+AD^2+2向量AB*向量ADBD^2=(向量AB - 向量AD)^2=AB^2+AD^2-2向量AB*向量AD所以 |AC|^2点乘|BD|^...

乾县15841967025： 四边形已知对角线向量求面积在四边形ABCD中,向量AC=(1,2)向量BD=( - 4,2)则该四边形面积为? - ？
钦凤六味：[答案] 因为向量AC=(1,2)向量BD=(-4,2) 而向量AC*向量BD=0 所以AC⊥BD 即四边形的对角线垂直 而|AC|=√5 |BD|=2√5 所以面积S=1/2*AC*BD=1/2*√5*2√5=5

乾县15841967025： 已知四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,且角AOD=90度. 求证(1)AD^2+BC^2=AB^2+CD^2 (2)若BC=2AD,AB=12,CD= - ？
钦凤六味： 证明:∵∠AOD=90° ∴AC⊥BD ∴AD²=AO²+DO²BC²=BO²+CO²AB²=AO²+BO²CD²=CO²+DO² ∴AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+CO²=AB²+CD²2)∵AD²+BC²=AB²+CD²=144+81=225 又BC=2AD ∴AD²+4AD²=225 ∴AD²=45 ∴AD=3√5 ∴BC=6√5 ∴四边形ABCD的周长=12+9+3√5+6√5=21+9√5

乾县15841967025： 在四边形ABCD中,对角线AB垂直CD,求证:AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.它的逆定理是否成立?证明结论 - ？
钦凤六味： 已知 AB⊥CD,所以对角线构成的四个三角形均为直角三角形;根据勾股定理:AC^2=OA^2+0C^2;BD^2=OB^2+OD^2; 推出AC^2+BD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2 ; AD^2=OA^2+OD^2;BC^2=OC^2+OB^2;推出AD^2+BC^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2 ; 可知AD^2+BC^2=AC^2+BD^2