求常微分方程 王高雄第三版的书和答案,谢谢。
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常微分方程第三版第六章的答案
高等教育出版社出版的。王高雄主编的,麻烦了,一般百度查到的答案都是没有6.2的答案,只有6.3的答案。6.2是关于V函数方法的。...
发给你了,王高雄的《常微分方程》第二版的书和第三版答案的电子版!没有第三版的,不过第二版和第三版的习题是一样的。
常微分方程习题答案2.1
1. ,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.
解:对原式进行变量分离得
并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.
解:对原式进行变量分离得:
3
解:原式可化为:
12.
解
15.
16.
解:
,这是齐次方程,令
17.
解:原方程化为
令
方程组
则有
令
当 当
另外
19. 已知f(x) .
解:设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得
20.求具有性质 x(t+s)= 的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:令t=s=0 x(0)= = 若x(0) 0 得x =-1矛盾。
所以x(0)=0. x’(t)= )
两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1. =
解: y=e ( e )
=e [- e ( )+c]
=c e - ( )是原方程的解。
2. +3x=e
解:原方程可化为: =-3x+e
所以:x=e ( e e )
=e ( e +c)
=c e + e 是原方程的解。
3. =-s +
解:s=e ( e )
=e ( )
= e ( )
= 是原方程的解。
4. , n为常数.
解:原方程可化为:
是原方程的解.
5. + =
解:原方程可化为: =-
( )
= 是原方程的解.
6.
解:
= +
令 则 =u
因此: =
(*)
将 带入 (*)中 得: 是原方程的解.
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以 ,
令
P(x)= Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以 令
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16 y= +
P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
设函数 (t)于 ∞<t< ∞上连续, (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)
试求此函数。
令t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故 或
(1) 当 时 即
∞, ∞)
(2) 当 时 =
= =
=
于是 变量分离得 积分
由于 ,即t=0时 1= c=1
故
20.试证:
(1)一阶非齐线性方程(2 .28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;
(2)若 是(2.3)的非零解,而 是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为 ,其中 为任意常数.
(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.
证明: (2.28)
(2.3)
设 , 是(2.28)的任意两个解
则 (1)
(2)
(1)-(2)得
即 是满足方程(2.3)
所以,命题成立。
由题意得:
(3)
(4)
1)先证 是(2.28)的一个解。
于是 得
故 是(2.28)的一个解。
2)现证方程(4)的任一解都可写成 的形式
设 是(2.28)的一个解
则 (4’)
于是 (4’)-(4)得
从而
即
所以,命题成立。
设 , 是(2.3)的任意两个解
则 (5)
(6)
于是(5) 得
即 其中 为任意常数
也就是 满足方程(2.3)
(5) (6)得
即
也就是 满足方程(2.3)
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方;
曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项;
解:设 为曲线上的任一点,则过 点曲线的切线方程为
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为
即 横截距为 ,
纵截距为 。
由题意得:
(5)
方程变形为
于是
所以,方程的通解为 。
(6)
方程变形为
于是
所以,方程的通解为 。
22.求解下列方程。
(1)
解:
=
=
=
(2)
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
=
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程,并求出方程的解。
1.
解: , =1 .
则
所以此方程是恰当方程。
凑微分,
得 :
2.
解: , .
则 .
所以此方程为恰当方程。
凑微分,
得
3.
解:
则 .
因此此方程是恰当方程。
(1)
(2)
对(1)做 的积分,则
= (3)
对(3)做 的积分,则
=
=
则
故此方程的通解为
4、
解: , .
.
则此方程为恰当方程。
凑微分,
得 :
5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0
解: M= sin - cos +1 N= cos - sin +
=- sin - cos - cos + sin
=- sin - cos - cos + sin
所以, = ,故原方程为恰当方程
因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0
d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0
所以,d(sin -cos +x - )=0
故所求的解为sin -cos +x - =C
求下列方程的解:
6.2x(y -1)dx+ dy=0
解: = 2x , =2x
所以, = ,故原方程为恰当方程
又2xy dx-2xdx+ dy=0
所以,d(y -x )=0
故所求的解为y -x =C
7.(e +3y )dx+2xydy=0
解:e dx+3y dx+2xydy=0
e x dx+3x y dx+2x ydy=0
所以,d e ( x -2x+2)+d( x y )=0
即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0
故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C
8. 2xydx+( x +1)dy=0
解:2xydx+ x dy+dy=0
d( x y)+dy=0
即d(x y+y)=0
故方程的解为x y+y=C
9、
解:两边同除以 得
即,
故方程的通解为
10、
解:方程可化为:
即,
故方程的通解为: 即:
同时,y=0也是方程的解。
11、
解:方程可化为:
即:
故方程的通解为:
12、
解:方程可化为:
故方程的通解为 : 即:
13、
解:这里 ,
方程有积分因子
两边乘以 得:方程 是恰当方程
故方程的通解为:
即:
14、
解:这里
因为
故方程的通解为:
即:
15、
解:这里
方程有积分因子: 两边乘以 得:
方程 为恰当方程
故通解为 :
即:
16、
解:两边同乘以 得:
故方程的通解为:
17、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。
解:若方程具有 为积分因子,
( 是连续可导)
令
, .
,
,
,
方程有积分因子 的充要条件是: 是 的函数,
此时,积分因子为 .
令
,
此时的积分因子为
18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,
此方程有积分因子 , 只与 有关 .
充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 .
则 为恰当方程 ,
从而 , ,
.
其中 .于是方程可化为
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u),g(u)连续、可微且f(u) g(u),\,试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])
证:在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得:
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则 =uf+uy +yf = + -yf
= =
=
而 =ug+ux +xg = + - xg
= =
故 = ,所以u是方程得一个积分因子
21.假设方程(2.43)中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系 =
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,试证方程(2.43)
有积分因子u=exp( + )
证明:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证 u +M =u +N
u( - )=N - M u( - )=Ne f(x)
-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立,故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子.
解:已知伯努利方程为:
两边同乘以 ,令 ,
线性方程有积分因子:
,故原方程的积分因子为:
,证毕!
23、设 是方程 的积分因子,从而求得可微函数 ,
使得 试证 也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。
证明:若 ,则
又
即 为 的一个积分因子。
24、设 是方程 的两个积分因子,且 常数,求证 (任意常数)是方程 的通解。
证明:因为 是方程 的积分因子
所以 为恰当方程
即 ,
下面只需证 的全微分沿方程恒为零
事实上:
即当 时, 是方程的解。证毕!
习题 2.4
求解下列方程
1、
解:令 ,则 ,
从而 ,
于是求得方程参数形式得通解为 .
2、
解:令 ,则 ,即 ,
从而
,
于是求得方程参数形式得通解为 .
3、
解:令 ,则 ,
从而
=
,
于是求得方程参数形式的通解为 ,
另外,y=0也是方程的解.
4、 , 为常数
解:令 ,则 ,
从而
,
于是求得方程参数形式的通解为 .
5、 1
解:令 ,则 ,
从而
,
于是求得方程参数形式的通解为 .
6、
解:令 ,则 ,得 ,
所以 ,
从而 ,
于是求得方程参数形式的通解为 ,
因此方程的通解为 .
习题2.5
2.
解:两边同除以 ,得:
即
4.
解:两边同除以 ,得
令
则
即
得到 ,
即
另外 也是方程的解。
6.
解:
得到
即
另外 也是方程的解。
8.
解:令
则:
即
得到
故
即
另外 也是方程的解。
10.
解:令
即
而 故两边积分得到
因此原方程的解为 , 。
12.
解:
令
则
即
故方程的解为
14.
解: 令
则
那么
求得:
故方程的解为
或可写 为
16.
解:令 则
即方程的解为
18.
解: 将方程变形后得
同除以 得:
令 则
即原方程的解为
19.X(
解:方程可化为2y(
令
27.
解: 令 , ,则
, ,
,
两边积分得
即为方程的通解。
另外, ,即 也是方程的解。
28.
解: 两边同除以 ,方程可化为:
令 ,则
即 ,
两边积分得
即
为方程的解。
29.
解: 令 ,则 ,
,
那么
即
两边积分得
即为方程的解。
30.
解: 方程可化为
两边积分得
即
为方程的解。
31.
解: 方程可化为
两边同除以 ,得
即
令 , ,则
即
两边积分得
将 代入得,
即
故
32.
解: 方程可化为
两边同加上 ,得 (*)
再由 ,可知
(**)
将(*)/(**)得
即
整理得
两边积分得
即
另外, 也是方程的解。
求一曲线,使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解: 设 为所求曲线上的任一点,则在 点的切线 在 轴上的截距为:
由题意得
即
也即
两边同除以 ,得
即
即
为方程的解。
摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解: ,又 ,由此
即
其中 ,解之得
又 时, ; 时, 。
故得 ,
从而方程可化为
当 时,有 米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。
解:由物理知识得:
根据题意:
故:
即:
(*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有
又当t=0时,V=0,故c=
因此,此质点的速度与时间的关系为:
36. 解下列的黎卡提方程
(1)
解:原方程可转化为:
观察得到它的一个特解为: ,设它的任意一个解为 ,
代入(*)式得到:
由(**)-(*)得:
变量分离得:
两边同时积分:
即:
故原方程的解为
(2)
解:原方程可化为:
由观察得,它的一个特解为 ,设它的任意一个解为 ,故
变量分离再两边同时积分得: 即
故原方程的解为
(3)
解:原方程可化为:
由观察得到,它的一个特解为 ,设它的任一个解为 ,故
,该式是一个 的伯努利方程
两边同除以 得到:
即: ,令 ,
则: ,根据一阶非齐线性方程的求解公式得:
故:
因此:原方程的解为:
(4)
解:原方程可化为:
由观察得到,它的一个特解为 ,设它的任一个解为 ,于是
,这是 的伯努利方程
两边同除以 得到:
即:
则:
即:
故:原方程的解为:
(5)
解:原方程可化为:
由观察得,它的一个特解为 ,故设它的任一个解为 ,于是
,这是 的伯努利方程
两边同除以 得到:
即:
则:
故:原方程的解为: ,即 .
(6)
解:原方程可化为:
由观察得到它的一个特解为 ,设它的任一个解为 ,于是
,这是 的伯努利方程
两边同除以 得到:
即:
则:
从而:
故原方程的解为:
即:
(7)
解:由观察得到它的一个特解为 ,故设它的任一个解为 ,于是
,这是n=2的佰努利方程,
两边同除以 得:
即:
从而:
故原方程的解为:
习题3.1
1 求方程 =x+y 通过点(0,0)的第三次近似解;
解: 取
=
2 求方程 =x-y 通过点(1,0)的第三次近似解;
解: 令
则
=
3 题 求初值问题:
R: 1, 1
的解的存在区间,并求解第二次近似解,给出在解的存在空间的误差估计;
解: 因为 M=max{ }=4 则h=min(a, )=
则解的存在区间为 = =
令 =0 ;
=y + dx= x + ;
=y + dx= x - - - +
又 =L
则:误差估计为: =
4 题 讨论方程: 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,
并求通过点(0,0)的一切解;
解:因为 = 在y 上存在且连续;
而 在 上连续
由 有: =(x+c)
又 因为y(0)=0 所以: =x
另外 y=0也是方程的解;
故 方程的解为: =
或 y=0;
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