两道初二数学题（因式分解）要有详细解答过程

八年级数学因式分解（求详细解答过程，两道题）~

a-b=3/5
b-c=3/5
相加：
a-c=6/5
(a-b)^2 = 9/25 = a^2+b^2-2ab
(b-c)^2 = 9/25 = b^2+c^2-2bc
(a-c)^2 = 36/25=a^2+c^2-2ac
上述三式相加：
54/25=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca=-2/25




因为2^48-1=(2^3-1)(2^3+1)(2^6+1)(2^12+1)(2^24+1)=7*9*65*(2^12+1)(2^24+1)
所以这两个数为63和65

解:原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2

x y 等于1 2 可互换

⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
其余公式请参看上边的图片。
例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(参看右图)．
[编辑本段]竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
a b
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．

⑺应用因式定理

对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图。

⑼求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6时，可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图。

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
[编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”
几道例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的过程也可以参看右图。）
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
[编辑本段]因式分解四个注意：
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误
例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。

(1)a(1+2a+a^2)=a(1+a)^2
(2)x^2-4x-5 =x^2-4x+4-9=(x-2)^2-9

(1)a(1+2a+a^2)=a(1+a)^2
(2)x^2-4x-5 =x^2-4x+4-9=(x-2)^2-9

(1)a(1+2a+a^2)=a(1+a)^2
(2)x^2-4x-5 =x^2-4x+4-9=(x-2)^2-9

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麦盖提县13148578756： 两道初二分解因式数学题:利用因式分解计算:1 - 2^2+3^2 - 4^2+5^2 - 6^2……99^2 - 100^2+101^2 注:^2表示平方第二题:X的2004次方减1的值? - ？
布萧养阴：[答案] 原式=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+…+(99-100)(99+100)+101^2 =(-1)(1+2+3+…+99+100)+10201 =5151 第二题我竟然不会,挫败啊!

麦盖提县13148578756： 初二数学题2道(因式分解)因式分解:(1)12ab的平方*(y - x)+9b的3次方*(x - y)+4*a的平方*b*(x - y)(2)(3x的平方—y的平方)的平方 - (x的平方 - 3y的平方)的平... - ？
布萧养阴：[答案] 1.b(x-y)(2a-3b)^2 2.8(x-y)(x+y)(x^2+y^2)

麦盖提县13148578756： 求解下面两道初中因式分解 要详细过程谢谢了.!第一题m立方—2m²—4m+8m X ²—2xy +y ²—9由于没找到立方符号 所以用中文代替了 谢谢各位了忘打... - ？
布萧养阴：[答案] 解:如果是 m³-2m²-4m+8m 则 =m³-2m²+4m =m(m²-2m+4) 如果是m³-2m²-4m+8 则=m²(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m²-4) =(m-2)²(m+2) X ²-2xy +y ²-9 =(x-y)²-9 =(x-y+3)(x-y-3) 祝你学习进步,如有不明可以追问.同意我的答案请采纳,O(∩_∩)...

麦盖提县13148578756： 初二数学因式分解题两道因式分解:1.(x+y+z)的和的平方2.(a+b)和的平方 - 4(a+b - 1)需要正确的过程和答案.请不要说什么太简单之类的话.我讨厌这种不回答问... - ？
布萧养阴：[答案] 则原式=[(x+y)+z]² =(x+y)²+2(x+y)z+z² =x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx 2.(a+b)²-4(a+b-1) =(a+b)²-4(a+b)+4 =[(a+b)-2]² =(a+b-2)²

麦盖提县13148578756： 两道初二数学题,因式分解的!这个:1/4+a^2+a^4-----还有一题:(x^2 - 2xy+y^2)+( - 2x+2y)+1就这两道,谢谢了! - ？
布萧养阴：[答案] 1.a^4+a^2+1/4 =a^4+2*1/2*a^2+1/4=(a^2+1/2)^2 2.(x^2-2xy+y^2)+(-2x+2y)+1 =(x-y)^2-2*(x-y)+1 =(x-y-1)^2

麦盖提县13148578756： 几道初二关于因式分解的数学题.1、若a+b+c=1,那么多项式a^3+a^2b+bc^2 - abc+c^3的结果应是.2、已知x,y都是正整数,且xy+2x+y=4,则x,y的值是?3、已... - ？
布萧养阴：[答案] 1. b=1-a-c,原式即 a^3+a^2-a^3-a^2c+c^2-ac^2-c^3-ac+a^2c+ac^2+c^3, 即a^2+c^2-ac 2. x(y+2)+(y+2)=6,即(x+1)(y+2)=6=(1+... 故右边取1*121,则x+y=121,x-y=1,故x=61,y=60 5. 即 x^2(x+k)+(x-1) ,当k=-1时可 分解; 6. 即 (a- 5/2)^2 - (25/4-m) ,要...

麦盖提县13148578756： 八年级数学分解因式题(过程要详细)⑴5x(a - b)^2 - 3y(b - a)⑵(y+1)(y^2 - 1) - (y+1)^3⑶2(1 - x^2)+6a(x - 1)^3⑷(x - m)^3(x - n)+(x - m)^2(n - x)⑸ - a(b - a)^2 - ab(a - b)^2+ac(b - a)... - ？
布萧养阴：[答案] ⑴5x(a-b)^2-3y(b-a) =5x(a-b)^2+3y(a-b) =(a-b)(5xa-5xb+3y) ⑵(y+1)(y^2-1)-(y+1)^3 =(y+1)^2(y-1)-(y+1)^3 =(y+1)^2(y-1-y-1) =-2(y+1)^2 ⑶2(1-x^2)+6a(x-1)^3 =-2(x+1)(x-1)+6a(x-1)^3 =(x-1)(-2x-2+6ax^2-12ax+6a) ⑷(x-m)^3(x-n)+(x-m)^2(n-x) =(x-m)^3(x-n)-(x-...

麦盖提县13148578756： 两道初二的数学题1.因式分解:n(n+1)(n+2)(n+3)+12.已知x、y是整数,且5x - y的值能被3整除,二次三项式10x²+23xy - 5y²的值能被9整除吗?为什么?PS.... - ？
布萧养阴：[答案] 1.原式=n(n+3)*(n+1)(n+2)+1=(n²+3n)(n²+3n+2)+1设n²+3n=a 则原式=a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²=(n²+3n+1)²∴原式为(n²+3n+1)的...

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布萧养阴： 则原式=[(x+y)+z]² =(x+y)²+2(x+y)z+z² =x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx 2.(a+b)²-4(a+b-1) =(a+b)²-4(a+b)+4 =[(a+b)-2]² =(a+b-2)²

麦盖提县13148578756： 初二10道因式分解的数学题,要过程 - ？
布萧养阴：[答案] (1) 6x4y2-12x3y+27x2y3=3x2y·2x2y-3x2y·4x+3x2y·9y2=3x2y(2x2y-4x+9y2)(2)-x4y+x3y2-x2y3=-(x4y-x3y2+x2y3)=-(x2y·x2-x2y·xy+x2y·y2)=-x2y(x2-xy+y2)(3)xn+3xn-1+xn-2=xn-2·x2+xn-...