f(x)=ln(x+1),f(x)的反函数是h(x)
记函数f(x)=ln(1+x),g(x)=x.
(1)若函数F(x)=af(x)+g2(x)在x=1处取得极值,试求a的值;
(2)若函数G(x)=af(x)+g2(x)-b•g(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈[-
45,-
35],x2∈[0,1],试求a的取值范围;
(3)若函数H(x)=1f(x)-
1g(x)对任意x1,x2∈[1,3]恒有|H(x1)-H(x2)|≤a成立,试求a的取值范围.
(参考:ln2≈0.7)考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值;简单线性规划.专题:综合题.分析:(1)先根据F(x)=aln(x+1)+x2,求得F′(x)=a1+x+2x,根据F′(1)=0,可以求出a的值;
(2)通过对G(x)求导,再研究导数的分子对应的二次函数根的分布,在aob坐标系中作出符合题意的不等式组对应的平面区域,通过求界点的方法,可找出a的取值范围;
(3)对H(x)求导,得到一个分式函数,再研究此函数的分子对应的函数,发现此函数的最大值为零,从而得出函数H(x)在区间[0,+∞)上单调递减,再结合题意得a≥|H(x)max-H(x)min|,从而得出a的取值范围.解答:解:(1)由F(x)=aln(x+1)+x2,可得F′(x)=a1+x+2x,根
由题意得F′(1)=0,即a2+2=0,故a=-4;
(2)G(x)=aln(x+1)+x2-bx (x>-1),
求得 G′(x)=2x 2 +(2-b)x+(a-b)1+x
令分子为h(x)=2x2+(2-b)x+(a-b),由题意得:h(1)=a-2b+4≥0h(0)=a-b≤0h(-35) =a-2b5-1225≤0h(-45) =a-15b-825≥ 0
化简得:a-2b+4≥0a-b≤025a-10b-12≤025a-5b-8≥0,
由图可得A(25,85) ,B(85,145),由此可得a∈[25,85]
(3)由H(x)=1ln(1+x)-1x得:H/(x)=(1+x)ln 2(1+x)-x 2x 2(1+x) 2ln 2(1+x)
记分子为m(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,(x>-1),可得m′(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x,
根据m′(x)的零点不难得出m(x)在区间(-1,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数,
故m(x)≤m(0)=0,因此可得H′(x)≤0在区间[0,+∞)上恒成立,
所以H(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
故H(x)在[1,3]上单调递减,
再由题意,可知:a≥|H(x)max-H(x)min|=|H(1)-H(3)|=12ln2-23
所以a的取值范围是[12ln2-23,+∞)点评:本题考查了利用导数工具研究函数的单调性与极值,求函数在闭区间上的最值问题,同时考查了含有二次和对数函数的零点的分布问题,综合性较强,属于难题.利用数形结合与分类讨论思想是解决本题的关键.
:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(-1,+∞),
设g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,则g'(x)=2ln(1+x)-2x.
令h(x)=2ln(1+x)-2x,则
当-1<x<0时,h'(x)>0,h(x)在(-1,0)上为增函数,
当x>0时,h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上为减函数.
所以h(x)在x=0处取得极大值,而h(0)=0,所以g'(x)<0(x≠0),
函数g(x)在(-1,+∞)上为减函数.
于是当-1<x<0时,g(x)>g(0)=0,
当x>0时,g(x)<g(0)=0.
所以,当-1<x<0时,f'(x)>0,f(x)在(-1,0)上为增函数.
当x>0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数.
故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞).
当-1<x<0时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增;当x>=0时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减。
(2)原不等式恒成立等价于不等式a<(4/3)x-ln(e^x-1)+ln(e^x+1)恒成立。
令p(x)=(4/3)x-ln(e^x-1)+ln(e^x+1),则p'(x)=4/3-e^x/(e^x-1)+e^x/(e^x+1).令p'(x)=o,解得x=ln2.
当0<x<ln2,p'(x)<0;当x>ln2时,p'(x)>0.所以当x=ln2时,p(x)取得最小值(4/3)ln2-ln3.
所以要使得原不等式恒成立,只需a<(4/3)ln2-ln3.
x=ln(1+x)可以有几种解法?
如图所示,可以画图或者直接解 望采纳
fx=ln[x(x-1)],gx=lnx ln(x–1)求函数fx与gx是否相同
不同,两者的定义域不一样:f(x)=ln[x(x-1)] x<0∪x>1 g(x)=lnx+ln(x-1) x>1 (f(x)左右两枝,g(x)只有右侧一枝)
求limx→0ln(x的绝对值)为什么等于无穷
应该是趋于负无穷,从 y = ln|x| 图像可得。刚刚看了原题:lim{x->0} ln|x|\/(x^2-1) ->oo, 因为分母趋于-1
y=ln(x)\/x怎么求解
1、由ln(x)的性质可知x>0,即可确定函数的定义域为x>0;2、对函数求一阶导数,确定其单调递增及递减区间,并尽可能确定其极大值或极小值;3、对函数求二阶导数,确定其斜率的变化规律,即确定其凹凸性;4、y=ln(x)\/x的图像如下:
将函数f(X)=ln(a+x)展开成x的幂级数,并求其收敛区间
将函数f(X)=ln(a+x)展开成x的幂级数,并求其收敛区间:收敛区间计算事项:一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。对于任意给定的正数tol,可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小),使得这个区间内任意三个点组成的...
将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数.
[ln(1+x)] ''' = 2 \/ (1+x)^3, g''(0) = 2 一般有:[ln(1+x)] ^(k)= (-1)^(k-1) * (k-1)! \/ (1+x)^k, g^(k)(0)= (-1)^(k-1) * (k-1)几何含义 函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像...
Y=x y=ln(x+1)的图像有几个交点
网上的是对的,只有这一个交点 y=lnx的渐近线是y=0,不是y=x,如图:渐近线的定义:【当曲线上一点m沿曲线无限远离原点时】,如果m到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线 不能忽视【】内的话 再者,y=x和y=lnx不是无限接近,它们隔得远着呢(如上图)希望我的回答...
lnx\/x=ln(lnxy)\/lny运算法则是什么?
运算法则公式如下:1、lnx+ lny=lnxy 2、lnx-lny=ln(x\/y)3、lnxⁿ=nlnx 4、ln(ⁿ√x)=lnx\/n 5、lne=1 对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底,N叫做真数。
等价于x的ln(x+1)是不是等价于x?
1、设有两个命题p和q,如果由p作为条件能使得结论q成立,则称p是q的充分条件;若由q能使p成立则称p是q的必要条件;如果p与q能互推(即无论是由q推出p还是p推出q都成立),则称p是q的充分必要条件,简称充要条件,也称p与q等价。2、无穷小就是以数零为极限的变量,x趋于0, ln(x+1)\/x...
x>0,f(x)=ln(1+x),为什么f(x)在[0,x]上是满足拉格朗日中值定理...
x就是个大于0的常数,别想复杂了 (1)f(t)在闭区间[0,x]上是连续的 (2)f(t)在开区间(0,x)内是可导的 所以f(t)在[0,x]上是满足拉格朗日中值定理 基本的定义,就这么简单
店榕舒林:[答案] f'(x)=1/(x+1)=(x+1)^(-1) f''(x)=-1*(x+1)^(-2)=-1/(x+1)²
古浪县17862754428: 本人愚钝,设f(X)=ln(X+1),求f(X)在定义域上为增函数 - ?
店榕舒林:[答案] 设x1>x2>-1 f(x1)-f(x2)=ln(x1+1)-ln(x2+1) =ln(x1+1)/(x2+1) =ln[(x2+1)+(x1-x2)]/(x2+1) =ln[1+(x1-x2)/(x2+1)] >ln1=0 即 f(x1)>f(x2) 所以由增函数的定义,知 f(X)在定义域上为增函数.
古浪县17862754428: 设f(x)=ln(x+1),求f[f(x)]的定义域 - ?
店榕舒林:[答案] f[f(x)]=ln(ln(x+1)+1) ∴㏑(x+1)+1>0, ∴㏑(x+1)>-1 ∴(x+1)>e^(-1), ∴x>e^(-1)-1 即x>1/e-1
古浪县17862754428: 已知函数f(x)=ln(x+1),若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是 - ----- - ?
店榕舒林: ∵f(x)=,令g(x)=ax,画出函数f(x)和g(x)的图象,如图示:,①a=0,可以确定;②a>0是不可能的,f(x)=ln(x+1)迟早会被g(x)=ax追上;③a∴a≥-1,综上:-1≤a≤0,故答案为:[-1,0].
古浪县17862754428: f(x)=ln(x+1),f(x)的反函数是h(x)函数题:已知f(x)=ln(x+1),设f(x)的反函数为h(x).求:1.求g(x)=f(x) - h(x)的单调区间.2.若对任意x>0,不等式Lnh(x) - f(e的x次方) - ?
店榕舒林:[答案] (1)定义域是x>-1.h(x)=e^x-1,则g(x)=ln(x+1)-e^x+1.g'(x)=1/(x+1)-e^x 当-1
古浪县17862754428: f(x)=ln(x+1),f(x)的反函数是h(x) - ?
店榕舒林: (1)定义域是x>-1.h(x)=e^x-1,则g(x)=ln(x+1)-e^x+1.g'(x)=1/(x+1)-e^x 当-1<0时,g'(x)>0,此时g(x)单调递增;当x>=0时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减. (2)原不等式恒成立等价于不等式a<(4/3)x-ln(e^x-1)+ln(e^x+1)恒成立. 令p(x)=(4/3)x-ln(e^x-1)+ln(e^...
古浪县17862754428: 已知函数f(x)=ln x +(1/x) 求函数f(x)的最小值 - ?
店榕舒林:[答案] 解析 求导 f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x² 当 f'(x)>0 x-1>0 x>1 所以在(1 +无穷)单调递增 在(-无穷 1)单调递减 所以 在x=1处取得最小值 f(1)=1 最小值1
古浪县17862754428: 函数题:已知f(x)=ln(x+1),设f(x)的反函数为f'(x).求: - ?
店榕舒林: 显然x>-1 g(x)=f(x)-f`(x)=ln(x+1)-1/(x+1) g`(x)=1/(x+1)+1/(x+1)^2 故g`(x)>0 g(x)在定义域上为单调递增函数2 lnf`(x)-f(e^x)=ln[1/(x+1)]-ln(e^x+1)<4/3x-a 令h(x)=ln[1/(x+1)]-ln(e^x+1)-4/3x=-ln(x+1)-ln(e^x+1)-4/3x h`(x)=-1/(x+1)-e^x/(e^x+1)-4/3<0 我需要知道不等式得清晰表达式
古浪县17862754428: 函数f(x)=ln| x+1|和f(x)=| ln(x+1)|的单调区间 - ?
店榕舒林: y=ln|x+1| x>-1时 y=ln(x+1) y'=1/(x+1)>0 x+1>0 x>-1 y'-1时,f(x)在(-1,+无穷)上单调递增 当x0 x+1>0,x>-1 y'0, x+1>1,x>0时 y=ln(x+1) y'=1/(x+1)>0 x+1>0 x>-1 y'0时,f(x)在(0,+无穷)上单调递增 当ln(x+1)0 综上当-1
古浪县17862754428: 设f(x)=ln(x+1),求f"(x) - ?
店榕舒林: f'(x)=1/(x+1) 所以f''(x)=-1/{(x+1)的平方}