萌芽时期数学的特点

作者&投稿:姬姚 (若有异议请与网页底部的电邮联系)
早期萌芽数学对中小学数学教育有哪些启示~

早期萌芽数学教育可以使学生建立起对数的认识,了解数的起源及相关历史,认识到数学就在我们的生活中,与我们的生活息息相关,我们学习数学,不仅要学习数学知识,更重要的是要运用这些数学解决实际问题,培养学生探索数学奥秘的兴趣。如从自然数的数数,人民币的认识,奇形怪状的图形,物品的多与少,增与减,从时间、平面、空间的转换,到具体到抽象的变化等,需要我们从小就培养孩子们喜欢数学。

随着人类社会生产力的发展及人类社会生产实践活动的频繁发生,大约在公元前3000年左右,在四大文明古国—巴比伦、埃及、中国、印度出现了数学的萌芽。这是人类建立最基本的数学概念的时期,人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念、简单的计算法,并认识了最简单的几何形式,逐步地形成了理论与证明之间的逻辑关系“纯粹”数学。算术与几何还没有分开,彼此紧密地交错着。在这个时期四大文明古国各自取得了如下成就:
中国有了十进制记数,有了圆、方、平、直等形的概念。
古巴比伦有了乘法表,其中使用着六十进位制的算法;知道勾股定理。
古埃及使用十进制的记数法;会计算三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积;有一些几何计算问题,涉及到田地的面积、谷仓的容积的计算。
古印度使用十进制,引入了零的概念;知道勾股定理;能解决几何和建筑中的代数计算问题;知道勾股定理,矩形对角线性质及一些作图法。

根据目前考古学的成果,数学的萌芽可以追溯到几十万年以前,这一时期可以分为两个阶段,一是史前时期,从几十万年前到公元前约五千年;二是从公元前约五千年到公元前约600年。数学萌芽时期的特点是人类在长期的生产实践中积累了丰富的有关数和形的感性知识。人们逐步形成了数的概念,并初步掌握了数的运算方法,积累了一些数学知识。由于丈量土地和观测天文的需要,几何知识初步兴起,但是这些知识只是零碎的片段,缺乏逻辑关系,人类对数学只是感性的认识,还不存在理性的认识。
在史前,人类就已尝试用自然的法则来衡量物质的多少、时间的长短等抽象的数量关系,第5章人类智力能力的模拟及方法论如时间——年、月、日、时等。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时人类已经掌握了一定的几何知识。已知最古老的数学工具是发现于斯威士兰列朋波山的列朋波骨,它大约是公元前35000年的遗物。它是一支狒狒的腓骨,上面被刻意切割出29个不同的缺口,使用其计数妇女数量及妇女的月经周期。相似的文物也在非洲和法国被发现,大约有35000至20000年之久,都与量化时间有关。伊香苟骨发现于尼罗河源头之一的爱德华湖西北岸伊香苟地区(位于刚果共和国东北部),距今大约有20000年,上面刻了三组一系列的条纹符号。对此符号常见的解释是已知最早的质数序列,亦有人认为是代表六个阴历月的记录。其他地区亦发现不同的史前计数系统,如符木或印加帝国内用来储存数据的奇普。

在几何学方面,公元前五千年的古埃及前王朝时期就已出现用图画表示的几何图案。在大约公元前三千年的英格兰和苏格兰地区的巨石文化遗址中也发现融入了几何观念的设计,包括圆形、椭圆形和毕达哥拉斯三元数。从数学萌芽的开始,数学的主要用途是做税务和贸易等相关计算,了解数字间的关系,测量土地以及预测天文事件。这些需要可以简单地概括为对数量、结构、空间及时间方面的研究。

人类进入奴隶社会以后,数学得到进一步发展,位于黄河流域的古中国、尼罗河下游的古埃及、幼发拉底河和底格里斯河的巴比伦国与恒河流域的古印度都对数学的发展起到了重要的作用。这些国家在农业发展基础上逐渐掌握了一些数学知识,很多数学问题都建立在农业测量需要之上,人类逐渐开始形成最初的数学概念,如自然数、分数;掌握了最简单的几何图形,如正方形、矩形、三角形、圆形等,一些简单的数学计算知识也开始产生,如数的符号、记数方法、计算方法等等。

古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写,我们对于古埃及数学的了解主要是依据两部纸草书——莱因德纸草书和莫斯科纸草书。古埃及采用的是十进制的记数法。在古埃及,尼罗河水定期泛滥。人们经过长期的观察发现,天狼星和太阳同时出现,就是尼罗河洪水将至的征兆,而且这种现象每365天出现一次。于是古埃及人根据这一发现制定了年历,规定365天为一年。因此数学被用到了天文学,而且远远不止如此。在尼罗河泛滥后要对土地进行重新测量,这些几何问题涉及田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法,这使得古埃及几何学得以起源和发展。[1]根据现在的测量结果发现,公元前两千多年的古埃及金字塔的计算误差都很小,这说明古埃及已具有较高的数学水平。莱因德纸草书主体由84个问题组成,莫斯科纸草书包含25个问题,这些问题大部分来自现实生活,是古埃及人在生活中必须解决的问题,因此书中并没有出现对公式、定理、证明的理论推导,数学依然处于感性层面,但这为迎接理性数学的到来奠定了基础。

对于古巴比伦数学的了解主要根据巴比伦泥板。在所有发现的泥板中,有300块是数学文献,200块是数学计算表。从这些数学泥板中可以发现,古巴比伦已经开始使用六十进制记数法,并出现了六十进制的分数。用与整数同样的法则进行计算。[1]而且古巴比伦已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表。借助于倒数表,除法常转化为乘法进行计算。巴比伦数学具有算术和代数的特征,几何只是表达代数问题的一种方法,同样还没有产生数学的理论概念。

中国历史悠久,发掘出来的大量石器、陶器、青铜器、龟甲以及兽骨上面的图形和铭文表明: 几何观念远在旧石器时代就已经在中国逐步形成。早在五六千年前,古中国就有了数学符号,到三千多年前的商朝,刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。这时,自然数记数都采用了十进位制。甲骨文中就有从一到十再到百、千、万的十三个记数单位。这说明古中国也形成了数学的基本概念。

萌芽时期是最初的数学知识积累时期,是数学发展过程中的渐变阶段。这一时期的数学知识是零散的、初步的、非系统的,但是这是数学发展史的源头,为数学后续的发展奠定了基础。

现代数学绝不是某一个民族、地区、历史时期的产物,而是多民族、地区世世代代的生产实践中逐渐发展而成的。既有缓慢的量的积累,也有质的突破,表现出渐进性和阶段性。从远古到现在,数学发展大致经历了四个重要阶段。

数学的萌芽时期
在人类原始社会和奴隶社会直至公元前6世纪是数学的萌芽时期,该时期的数学成就主要出现在巴比仑、埃及和中国。

在萌芽期内,由于实际计算的需要,人们逐渐形成了简单的自然数和分数概念,也都积累了一些计算简单几何图形的面积和体积的几何知识。由于生产水平很低,商品生产极其有限,人们对数学的要求也不多,所以这个时期的数学知识仅仅限于一些简单的、与人们切身经验有直接关系的感性知积,且是零散的而不是系统的,有的公式是近似的,个别的方法还是错的。

初等数学时期
从公元前6世纪直到17世纪初期,是数学发展的初等数学时期,又被称为常量数学时期。在初等数学时期内,西方数学中心最先出现在希腊,然后是阿拉伯和印度,最后再转移到西欧;14世纪以前,中国数学处于领先地位。在数学内容方面,西方在2世纪以前是几何学优先发展阶段,2世纪以后则是代数计算优先发展阶段。

古希腊侧重于证明,中国更重视计算。在古希腊,由于社会物质财富的积累,使得奴隶主民主派中的出现专门从事脑力劳动的人,这些希腊的学者们从长期积累的数学材料中,发现可以运用基本概念、命题作为逻辑推理前提的逻辑证明等。从此数学知识开始逐渐系统化,产生了以欧几里得的《几何原本》为代表的数学著作。随着希腊的灭亡,希腊数学逐渐衰落,数学发展的中心逐渐移到阿拉伯。此时,代数开始独立于几何,成为数学新的分支,当时的成果包括:一元二次方程的公式解法,以自然数作指数的二项定理;三角学的出现等等。

如果说古希腊时期是科学发展的第一个黄金时期,那么欧洲的文艺复兴则是科学的第二个黄金时期。在继承古希腊和阿拉伯数学成就的基础上,欧洲取得更多的重要成就。比如:

代数学开始符号化,出现三次和四次方程的公式解法;
“印度一阿拉伯数字”已经定型通用;
产生了十进小数和对数;
中国数学在独立地发展。成果主要有:

正负数运算法则
多元一次联立方程组的解法
秦九昭等的剩余定理和高次方程的数值解法
贾宪和杨辉等的二项式系数表,李冶和朱世杰的天元术和四元术,朱世杰和沈括等的高阶等差级数求和等
初等数学时期,除虚数外,初等数学基本上完备。从经验知识到理论知识,从感性认识到理性认识、从零散知识到系统知识,是初等时期区别于萌芽时期的最主要特征。初等数学时期的数学几乎全部被用于现在的中学教学。

初等时期人们的认识水平不高,只能掌握事物间的固定关系,不能从运动、变化和发展中把握事物,所以主要是以常量、有限和不变图形的研究为主,虽有极限思想及其初步运用。

近代数学时期
从17世纪到19世纪末,是西方资产阶级夺取政权、巩固政权以及资本主义的生产方式取得发展的时期,也是数学突破不断的近代数学时期,又称变量数学或高等数学时期。

17世纪的数学有如下几个特点:

在古希腊,几何学是数学的全部内容,代数除了以几何的面貌出现,也往往依赖几何方法解决和论证。直到17世纪,笛卡尔解析几何的建立,才出现了代数化的趋势,几何问题又常常依赖于代数方法解决和论证。
解析几何的建立,标志着变量开始进入数学。牛顿和莱布尼茨开启了微积分的时代,变量观点和方法得到系统运用。
费尔马、帕斯卡和惠更斯等人的概率论的产生,标志着数学开始涉猎偶然事件,开始研究非确定性现象。
在18世纪,数学家除了继续夯实微积分的基础外,还发展出无穷级数、常微分方程、偏微分方程以及变分法等学科,概率论也由起初的组合概率进入分析概率时期。

19世纪是欧洲人才辈出的时代。比如在数学的各个领域中都有建树的高斯、黎曼;敢于创新,作出重大突破的罗巴切夫斯基、伽罗瓦和康托尔;数学各个分支的杰出代表人物,比如分析学家柯西、几何学家史特纳、代数学家凯雷等。19世纪是欧洲继古希腊、文艺复兴之后,数学发展的第三个黄金时期。19世纪是数学取得一系列重大突破的世纪。

现代数学时期
从19世纪后期,数学开始发展进入“现代数学时期”。在该时期内,科学技术发生了一系列的重大事件。物理学上相对论、量子力学的产生,改变了经典物理学中的物质观、时空观和运动观。另外原子能的利用、电子计算机的发明、空间技术的兴起、分子生物学的形成、以及激光技术等领域的产生和发展,深刻地影响了人类社会的发展。

20世纪以来,数学在原有的基础上也有了巨大的发展,其速度之快、规模之大、抽象程度之高以及应用的广泛和深入等方面都远远超过了以往任何时期。现代数学也被称为结构数学或抽象数学,具有如下几个主要特征:

纯数学更加抽象,分支增多而又互相渗透。 现代大学所开设的数学基础课主要是:以微积分为中心的“高等数学”,以多项式理论和线性代数为基础的“高等代数”,和以射影几何为主体的“高等几何”,被称之为“三高”。“三高”内容大致形成于20世纪以前。现代大学数学系除“三高”基础课外,还有“新三高”:泛函分析、抽象代数和拓扑学。“新三高”始于19世纪,20世纪上半叶发展、定型和成熟。在原来抽象概念的基础上再次抽象出新溉念并加以研究,是抽象之后再抽象的结果。一方面各自研究的领域相互独立,另一方面又互相渗透。

现代数学以集合论为基础,以结构为对象。 19世纪80年代康托尔集合论的产生标志着现代数学时期的开启。在20世纪之初集合论得到很大的发展,其思想方法广泛应用于现代纯数学分支领域,因此,没有集合论的思想,很难对现代数学有一个全面、深刻的理解。

集合中的元素不同,其“结构”也就不同。法国布尔巴基学派就是用代数结构、序结构和拓扑结构将现代纯数学统一起来,把现代数学定义为研究结构的学科,犹如古代数学主要研究常量,近代数学主要研究变量一样。
重视数学基础和数学哲学向题的研究。 自古以来,哲学家就热衷于数学基础和数学哲学向题的研究。由于初期的集合论不完备,所以19世纪末,相继产生许多悖论,尤其是1902年的“罗素悖论”导致了数学的第三次危机。为解决“数学危机”,出现了推崇不同数学思想和哲学观点的学派,学派提出了不同的数学观点和改造数学的方案,并互相争论,至今尚无统一的定论。

数学起源于人类早期的生产活动,古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识,并能应用实际问题。从数学本身看,他们的数学知识也只是观察和经验所得,没有综合结论和证明,但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始,其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起,最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科,代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。

直到16世纪的文艺复兴时期,笛卡尔创立了解析几何,将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。从那以后,我们终于可以用计算证明几何学的定理;同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程。而其后更发展出更加精微的微积分。

现时数学已包括多个分支。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学,至少纯数学,是研究抽象结构的理论、结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统。他们认为,数学有三种基本的母结构:代数结构(群,环,域,格……)、序结构(偏序,全序……)、拓扑结构(邻域,极限,连通性,维数……)。

数学被应用在很多不同的领域上,包括科学、工程、医学和经济学等。数学在这些领域的应用一般被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并促成全新数学学科的发展。数学家也研究纯数学,也就是数学本身,而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端,但之后也许会发现合适的应用。

具体的,有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域:由逻辑、集合论(数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌、模糊数学)


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