已知a∈R,函数f(x)=ae^x是定义在R上的单调递增函数,fˉ1（X)是它的反函数

已知函数f(x)=ae^x-x-1,a∈r,求函数的单调区间~

若 a等于0，不符合题意。
若a大于0，x大于等于lna^-1
若a小于0，x小于等于lna^-1

分析：
（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；
（Ⅱ）由f（x）=0，得a=x/e^x，设g（x）=x/e^x，判定g（x）的单调性即得证；
（Ⅲ）由于x1=ae^x1，x2=ae^x2，则x2-x1=lnx2-lnx1=ln(x2/x1)，令x2/x1=t，整理得到x1+x2=
[(t+1)lnt/t−1]，令h（x）=[(x+1)lnx/x−1]，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-lna） -lna （-lna，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） 递增 极大值-lna-1 递减
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-lna），减区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s1∈（-∞，-lna），满足f（s1）＜0，（iii）存在s2∈（-lna，+∞），满足f（s2）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s1=0，满足s1∈（-∞，-lna），且f（s1）=-a＜0，
取s2=2/a+ln（2/a），满足s2∈（-lna，+∞），且f（s2）=（2/a-e^(2/a)）+（ln2/a-e^(2/a)）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
（Ⅱ）证明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=(x/e^x)，设g（x）=(x/e^x)，由g′（x）=((1−x)/e^x)，得g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
并且，当x∈（-∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，
x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e^-1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；
对于任意的a1、a2∈（0，e^-1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=ai，其中0＜X1＜1＜X2；
g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；
∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；
又由X、Y＞0，得X2/X1＜Y2/X1＜Y2/Y1；
∴x2/x1随着a的减小而增大；
（Ⅲ）证明：∵x1=ae^x1，x2=ae^x2，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；
∴x2-x1=lnx2-lnx1=ln(x2/x1)，设x2/x1=t，则t＞1，
∴
{x2−x1＝lnt
{x2＝x1t ，
解得x1=lnt/(t−1)，x2=tlnt/(t−1)，
∴x1+x2=(t+1)lnt/(x−1)…①；
令h（x）=(x+1)lnx/(x−1)，x∈（1，+∞），则h′（x）=−2lnx+x−(1/x)/[(x−1)^2]；
令u（x）=-2lnx+x-(1/x)，得u′（x）=((x−1)/x)^2，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．
由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，
∴x1+x2随着a的减小而增大．

f'(x) = ae^x = 1
x = -lna, y = 1
曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程 y=x+lna+1

f-1(x) = lnx - lna
[f-1(x)]'= 1/x = 1
x=1, y = -lna
曲线y=f-1(x)的斜率为1的切线方程 y=x-lna-1

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兰州市19154627994： 函数f(x)=ae^x - x,a∈R 讨论y=f(x)的单调性 - ？
枞迫帕朱： f'(x)=ae^x-1=0 求极值点:得:e^x=1/a如果a<=0, 则f'(x)<=-1, 函数单调减如果a>0, 由e^x=1/a得:极值点即为:x=ln(1/a)=-lna, 当x<-lna时,单调减;当x>-lna时,单调增

兰州市19154627994： 已知a∈R,函数f(x)=( - x^2+ax)e^x - ？
枞迫帕朱： e^x肯定是单调增的,所以要使得f(x)的单调增区间就是g(x)=-x²+ax的单调增区间.1.g(x) = -x² + 2x,它的单调增区间是(-∞,1].2.g(x)的对称轴是x = a/2. 要使得g(x)在(-1,1)上单调增,对称轴必须在1的右侧,即a/2 ≥ 1,a ∈ [2,+∞).

兰州市19154627994： 已知函数f(x)=e^x(ax^2 - 2x - 2),a∈R且a≠0 - ？
枞迫帕朱： f'(x)=e^x*(ax^2-2x-2+2ax-2)=e^x*[ax^2+2(a-1)x-4]=e^x*(ax-2)(x+2) 由f'(x)=0得:x=2/a, -2 当x>2/a时,函数单调增 当-2<x<2/a时,函数单调减 因此有: 当0<a<=2时,在[0, 1]上单调减,故最小值为f(1)=e(a-4) 当a>2时,在[0,1]上有极小值x=2/a,故最小值为f(2/a)=-2e^(2/a)

兰州市19154627994： 已知a∈R,函数f(x)=e^x+a|x - 2|. - ？
枞迫帕朱： (1)解:当x∈[1,2)时,f(x)=e^x+a(2-x), 则f'(x)=e^x-a ∵ 0 ∴ f'(x)≥f'(1)=e-a≥0 ∴ f(x)在x∈[1,2)上递增,f(x)最小值=f(1)=e+a 当x∈[2,+∞)时,f(x)=e^x+a(x-2),则f'(x)=e^x+a ∵ 0 ∴ f'(x)≥f'(2)=e²+a>0∴ f(x)在x∈[2,+∞)上递增,f(x)最小值= f(2)=e²+a(...

兰州市19154627994： 已知函数f(x)=e^(x - k) - x - ？
枞迫帕朱： 1)k=0, f(x)=e^x-x f'(x)=e^x-1=0--> x=0 f(0)=1为极小值点,因此有值域为f(x)>=12). k>1, f'(x)=e^(x-k)-1=0-->x=k f(k)=1-k f(2k)=e^k-2k>0, (这可从e^x-2x 在当x>ln2时为增函数得出) 因此在[k,2k]必有1个零点

兰州市19154627994： 已知函数f(x)=xe^x. - ？
枞迫帕朱： 1、求导f(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x 令它为0,解得x=-1,又e^x在x属于R上>0恒成立 故f(x)在﹙-∞,-1]上单减,在﹙-1,+∞﹚上单增 极小值=f(-1)=-e^(-1)2、令g(x)=f(x)-f(a)/(x-a) 由题意可知,只要证明g(x)在(a,正无限)上单调递增即可 g(x)=xe^x-ae^a/x-a ...

兰州市19154627994： 已知函数f(x)=(x+a)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R,求f(x)的单调区间 - ？
枞迫帕朱： 由f'(x)=(x+a+1)e^x=0得x=-a-1 当x当x>-a-1时,f'(x)>0,函数单调增.

兰州市19154627994： 已知a∈R,函数f(x)=e^x+a|x - 2|.(1)当0？
枞迫帕朱：[答案] (1)当x∈[1,2)时,f(x)=e^x+a(2-x), 则f'(x)=e^x-a ∵ 00 ∴ f(x)在x∈[2,+∞)上递增,f(x)最小值= f(2)=e²...

兰州市19154627994： 已知a∈R,讨论函数f(x)=e的x次方(x²+ax+a+1)的极值点个数大致上都明白了,但是有一句是'当判别式>0时,即a<0或a>4时,方程有两实根x1x2,所以f(x... - ？
枞迫帕朱：[答案] f'(x)=e^x(x²+ax+a+1)+e^x(2x+a)=e^x[x²+(a+2)x+2a+1]令g(x)=x²+(a+2)x+2a+1, 则f'(x)=e^x g(x)g(x)为二次函数,如果g(x)有2个零点x1,x2,则g(x)=(x-x1)(x-x2), f'(x)=e^x(x-x1)(x-x2), 则x1,x2就是f(x...

兰州市19154627994： 已知x∈R,求函数f(x)=(e^x - a)^2+(e^( - x) - a)^2的最小值(0 - ？
枞迫帕朱：[答案] f(x)=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2=e^(2x)-2ae^x+a^2+e^(-2x)-2ae^(-x)+a^2 =(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2 令t=e^x+e^(-x),t∈[2,inf) 则f(t)=t^2-2at+2a^2-2=(t-a)^2+a^2-2 对称轴是t=a,因为0