数列的通项与求和的方法

~ ［例2］设An为数列{a n }的前n项和,An= (an－1),数列{b n }的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{a n }的通项公式；(2)把数列{a n }与{b n }的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明：数列{d n }的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{d n }的第n项是数列{b n }中的第r项,Br为数列{b n }的前r项的和；Dn为数列{d n }的前n项和,Tn=Br－Dn,求 .命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{a n }与{b n }的相通之处,须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系,使Tn中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为4－1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.(1)由An= (an－1),可知An+1= (an+1－1),∴an+1－an= (an+1－an),即 =3,而a1=A1= (a1－1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{a n }的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C ·42n－1(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n］=4n+3,∴32n+1∈{b n }.而数32n=(4－1)2n=42n+C ·42n－1·(－1)+…+C ·4·(－1)+(－1)2n=(4k+1),∴32n {b n },而数列{a n }={a 2n+1 }∪{a 2n },∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3,可知r= ,∴Br= ,●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.2.数列{a n }前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 3.求通项常用方法①作新数列法.作等差数列与等比数列.②累差叠加法.最基本形式是：an=(an－an－1+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1.③归纳、猜想法.4.数列前n项和常用求法①重要公式1+2+…+n= n(n+1)12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：④错项相消法⑤并项求和法数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法.●歼灭难点训练一、填空题1.(★★★★★)设zn=( )n,(n∈N*),记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+…+｜zn+1－zn｜,则 Sn=_________.2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆,如此继续下去,所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_________.二、解答题3.(★★★★)数列{a n }满足a1=2,对于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0,又知数列{b n }的通项为bn=2n－1+1.(1)求数列{a n }的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列{b n }的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系,并说明理由.4.(★★★★)数列{a n }中,a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;(3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*均有Tn＞ 成立?若存在,求出m的值；若不存在,说明理由.5.(★★★★★)设数列{a n }的前n项和为Sn,且Sn=(m+1)－man.对任意正整数n都成立,其中m为常数,且m＜－1.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q=f(m),数列{b n }满足：b1= a1,bn=f(bn－1)(n≥2,n∈N*).试问当m为何值时,成立?6.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{b n }的通项bn；(2)设数列{a n }的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1),记Sn是数列{a n }的前n项和,试比较Sn与 logabn+1的大小,并证明你的结论.7.(★★★★★)设数列{a n }的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…).(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f(t),作数列{b n },使b1=1,bn=f( )(n=2,3,4…),求数列{b n }的通项bn；(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.

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兴安县18352818761： 数列的通项与求和的方法 - ？
司马纪小儿：[答案] [例2]设An为数列{an}的前n项和,An= (an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列{an}的通项公式;(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}...

兴安县18352818761： 知道数列通项公式,求和有几种方法. - ？
司马纪小儿：[答案] 一般数列的求和方法 (1)直接求和法,如等差数列和等比数列均可直接求和. (2)分组求和:部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列,而后可求出数列的前n项的和. (3)合并求和法:并项求和法将数列某些项先合并,合并后可形成直...

兴安县18352818761： 数列求和有哪五种方法? - ？
司马纪小儿：[答案] 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、 等比数列求和公式: 自然数方幂和公式: 3、 4、 5、 [例] 求和1+x2+x4+x6+…x2n+4(x≠0) ∴该数列是首项为1,公比为x2的等比...

兴安县18352818761： 高中数学数列求和和求通项公式的方法? - ？
司马纪小儿： 你用百度搜:数列求和的基本方法和技巧 第2项就是了,你下载下来就可以看到详细的 一,利用常用求和公式求和 二,错位相减法求和 三,反序相加法求和 四,分组法求和 五,裂项法求和 六,合并法求和

兴安县18352818761： 知道数列通项公式,求和有几种方法. - ？
司马纪小儿： 一般数列的求和方法 (1)直接求和法,如等差数列和等比数列均可直接求和. (2)分组求和:部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列,而后可求出数列的前n项的和. (3)合并求和法:并项求和法将数列某些项先合并,合并后可形成直接求和的数列. (4)裂项求和:裂项求和法将数列各项分裂成两项,然后求和. (5)错位相减求和法:用Sn乘以q,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则求数列{anbn}的前n项的和均可以采用此方法. (6)拟等差,写成一堆式子再相加.(叠加) (7)倒序相加,如等差数列

兴安县18352818761： 数列的通项和求和的知识点需要注意的有: - ？
司马纪小儿： 数列的通项公式与求和的常用方法高考要求数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和...

兴安县18352818761： 高中数列的求和方法 - ？
司马纪小儿： 1、这个自然是观察 2、用来求通项,一般不是求和 3、一般求高阶数列和等比数列对应相乘的数列.这个高阶对于现在的你是等差数列,对于高三的你则可能是任何多项式.比如an=n * 2^n,即可运用错位相减,具体算法不懂问我,看资料是最好的,提高自学能力,我高中的数学知识九成以上都是自己学的,除了高二之后连上数学课都不听,自己做 4、这个一般是求等差数列 5、一般使用于分母是一个等差数列的连续两项或者三项之积的形式,比如1/n(n+1)可以裂为1/n-1/(n+1),然后相加,前后就抵消了.这是最简单的,还有比如分母是2的多少次方减去1的形式,现在不是你能接触到的

兴安县18352818761： 求数列求通式的方法 - ？
司马纪小儿： 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例1.等差数列 是递增数列,前n项和为 ,且 成等比数列, .求数列 的通项公式 解:设数列 公差为 ∵... 成等比数列,∴... ,即... ,得......

兴安县18352818761： 数列求和及求通项公式的几种常用方法 - ？
司马纪小儿： LZ您好.数列求和通项在选择填空请直接不完全归纳特殊值代入,永远比认真算要快.如果实在想认真算或者大题需要1. 等差等比数列直接套用公式,不需要花招.2. a[n]=S[n]-S[n-1]是通用公式[但需验证a[1],凡是出现n与n-1递推关系都要验第一项...

兴安县18352818761： 数列的前n项和的计算方法 - ？
司马纪小儿：[答案] 通项公式: 等差数列an = a1+(n-1)d 等比数列an = a1*q^(n-1) 求和公式: 等差数列前n项和Sn = n*a1 + n(n-1)/2 *d 等比数列前n项和Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) (q不等于1时) 当q=1时,等比数列前n项和Sn = n*a1