三角函数在生活中的应用
例子多了:
1)你家的大钟上那指针就是以固定的角度在作周期性运动,以秒针为例,每走一格(逆时针)转6°,针尖上那一点的垂直投影就是正弦曲线(正弦函数线),它的水平投影就是余弦曲线(余弦函数线)。
2)航海上船只的运行方位测量等都是要依赖于三角函数的计算的。
3)再举一个复杂些的例子,你听的MP3音乐,用音乐软件显示出来的波形其实是许多(不同的振幅,基频,基频倍数等)正弦曲线叠加而成的。这个题目够你写的了,网上去找素材吧。
。。。
高度概括就是 那知识用来考试的 多我们现在来说 已经没什么实际意义
川 要给我5星的满意答案哟!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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4.10 三角函数的应用
●知识梳理
1.三角函数的性质和图象变换.
2.三角函数的恒等变形.
三角函数的化简,求值,证明多为综合题,突出对数学思想方法的考查.
3.三角函数与其他数学知识的联系.
特别要注意三角与几何,三角与平面向量的联系.
●点击双基
1.已知sinx+cosx=,0≤x≤π,则tanx等于
A.-或- B.-
C.- D.或
解析:原式两边平方得2sinxcosx=-
-2sinxcosx=1-2sinxcosx=
sinx-cosx=,
可得sinx=,cosx=-.
∴tanx=-.
答案:B
2.(2001年春季北京)若A,B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵△ABC为锐角三角形,
∴A+B>.∴A>-B,B>-A.
∴sinA>cosB,sinB>cosA.
∴P在第二象限.
答案:B
3.(2004年北京西城区一模题)设0<|α|sinα B.cos2αtanα D.cot2α解析:由0<|α|<,知0<2|α||α|,
∴cos2|α|答案:B
4.(2003年上海)若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α=_________.
解析:∵x=是方程2cos(x+α)=1的解,
∴2cos(+α)=1,即cos(+α)=.
又α∈(0,2π),∴+α∈(,).
∴+α=.∴α=.
答案:
5.(2004年北京西城区二模题,理)函数y=sinx·(sinx+cosx)(x∈R)的最大值是____________.
解析:原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,其最大值为1+=.
答案:
●典例剖析
【例1】 化简cos(π+α)+cos(π-α)(k∈Z).
剖析:原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)].
解:原式=cos[kπ+(+α)]+cos[kπ-(+α)]=2coskπcos(+α)=
2(-1)k(coscosα-sinsinα)=(-1)k(cosα-sinα),k∈Z.
【例2】 已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.
解:由已知得
所以sinαcosβ=,cosαsinβ=.
从而==.
思考讨论
由①②不解sinαcosβ,cosαsinβ,能求吗
提示:①÷②,弦化切即可,读者不妨一试.
【例3】 求函数y=,x∈(0,)的值域.
剖析:将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数,再换元将其转化为一元函数求解.
解:y==.
设t=sinx,则由x∈(0,)t∈(0,1).
对于y==
=-1+-,
令=m,m∈(,1),
则y=-2m2+3m-1=-2(m-)2+.
当m=∈(,1)时,ymax=,
当m=或m=1时,y=0.
∴0评述:本题的解法较多,但此方法主要体现了换元转化的思想,在换元时要注意变量的范围.
●闯关训练
夯实基础
1.(2002年春季北京)若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:∵sin2α<0,∴2α在第三,四象限.
∴α在第二,四象限.又∵cosα-sinα<0,
∴α在第二象限.
答案:B
2.(2002年春季上海)在△ABC中,若2cosB·sinA=sinC,则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
解析:∵2cosB·sinA=sinC=sin(A+B)sin(A-B)=0,
又A,B,C为三角形的内角,∴A=B.
答案:C
3.(2005年启东市高三年级第二次调研考试题)在斜△ABC中,sinA=-cosBcosC且tanBtanC=1-,则∠A的值为
A. B. C. D.
解析:由A=π-(B+C),sinA=-cosBcosC得sin(B+C)=-cosBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=-cosBcosC.
∴tanB+tanC=-1.
又tan(B+C)====-,
∴-tanA=-,tanA=.
又∵0答案:A
4.函数y=sinx-cosx的图象可由y=sinx+cosx的图象向右平移_______个单位得到.
解析:由y1=sinx+cosx=sin(x+),
得x1=-(周期起点).
由y2=sinx-cosx=sin(x-),得x2=(周期起点).
答案:
5.函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间分别是__________.
解析:y=sin(-)=-sin(-).
故由2kπ-≤-≤2kπ+
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间.
答案:[3kπ-,3kπ+](k∈Z);[3kπ+,3kπ+](k∈Z)
6.已知0≤x≤,则函数y=4sinxcosx+cos2x的值域是________.
解析:可化为y=3sin(2x+),其中cos=,sin=,且有≤2x+≤π+.
∴ymax=3sin=3,
ymin=3sin(π+)=-3sin=-1.
∴值域是[-1,3].
答案:[-1,3]
培养能力
7.设a=(sinx-1,cosx-1),b=(,).
(1)若a为单位向量,求x的值;
(2)设f(x)=a·b,则函数y=f(x)的图象是由y=sinx的图象按c平移而得,求c.
解:(1)∵|a|=1,∴(sinx-1)2+(cosx-1)2=1,
即sinx+cosx=1,sin(x+)=1,
sin(x+)=,
∴x=2kπ或x=2kπ+,k∈Z.
(2)∵a·b=sin(x+)-.
∴f(x)=sin(x+)-,
由题意得c=(-,-).
8.求半径为R的圆的内接矩形周长的最大值.
解:设∠BAC=θ,周长为P,
则P=2AB+2BC=2(2Rcosθ+2Rsinθ)=4Rsin(θ+)≤4R,
当且仅当θ=时,取等号.
∴周长的最大值为4R.
探究创新
9.(2004年北京东城区高三第一次模拟考试)在△ABC中,若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB.
(1)求∠C的度数;
(2)在△ABC中,若角C所对的边c=1,试求内切圆半径r的取值范围.
解:(1)∵sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,
∴2sinCcos·cos=2sin·cos.
在△ABC中,-<<.
∴cos≠0.∴2sin2cos=cos,
(1-2sin2)cos=0.
∴(1-2sin2)=0或cos=0(舍).
∵0(2)设Rt△ABC中,角A和角B的对边分别是a,b,则有a=sinA,b=cosA.
∴△ABC的内切圆半径
r=(a+b-c)=(sinA+cosA-1)
=sin(A+)-≤.
∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0●思悟小结
三角函数是中学教材中一种重要的函数,它的定义和性质有许多独特的表现,是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一,同时,由于三角函数和代数,几何知识联系密切,它又是研究其他各类知识的重要工具,因此应重视对知识理解的准确性,加强对三角知识工具性的认识.
●教师下载中心
教学点睛
1.因本节是三角函数的应用,建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用,使知识能条理化并形成一个网络.
2.总结本章涉及的数学思想方法,以及与三角相关联的一些知识点.
拓展题例
【例1】 已知cosB=cosθ·sinA,cosC=sinθsinA.
求证:sin2A+sin2B+sin2C=2.
分析:本题为条件恒等式的证明,要从条件与要证的结论之间的联系入手,将结论中的sin2B,sin2C都统一成角A的三角函数.
证法一:sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+[1-(cosθsinA)2]+[1-(sinθsinA)2]
=sin2A+1-cos2θsin2A+1-sin2θsin2A
=sin2A(1-sin2θ)+1-cos2θsin2A+1
=sin2Acos2θ-sin2Acos2θ+2=2.
∴原式成立.
证法二:由已知式可得cosθ=,sinθ=.
平方相加得cos2B+cos2C=sin2A
+=sin2A
cos2B+cos2C=2sin2A-2.
1-2sin2B+1-2sin2C=2sin2A-2,
∴sin2A+sin2B+sin2C=2.
【例2】 函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a),a∈R,
(1)求g(a);
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
解:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)
=2cos2x-2acosx-1-2a
=2(cosx-)2--2a-1.
若<-1,即a1,即a>2,则当cosx=1时,f(x)有最小值g(a)=2(1-)2--2a-1=1-4a.
∴g(a)=
(2)若g(a)=,由所求g(a)的解析式知只能是--2a-1=或1-4a=.
由a=-1或a=-3(舍).
由a=(舍).
此时f(x)=2(cosx+)2+,得f(x)max=5.
∴若g(a)=,应a=-1,此时f(x)的最大值是5.
三角函数怎么相加啊?
6、 导航和定位:三角函数可以用于导航和定位,例如在航海、航空和卫星通信等领域。通过测量角度和距离,可以确定物体的位置和方向。7、天文学:三角函数在天文学中也有广泛的应用。例如,在天文测量中,三角函数可以用于计算天体的位置和距离,天文学家可以使用三角函数来计算天体在天空中的方位角和高度角...
请问三角函数在生活中有那些应用呢?
用等式:元等式、元二等式平均值等式前两类等式应用与其应函数及程应用辙平均值等式产起容忽视作用面我主要谈均值等式均值定理应用 产建设许与优化设计相关实际问题通应用平均值等式解决平均值等式知识应用笔者虽未亲身经历电视、报纸等新闻媒体及我所做应用题难发现均值等式极值定理通几面极其重要应用:(表...
三角函数在生活中的应用
测量山高 测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性 调整电网,比如两个电网并接的时候 用于山的坡度 TAN 平面所走的距离 比上 上升的高度 ,同理还可以测量楼的高啊 塔的高 测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性
三角函数在生活中的应用有哪些 要举例说明,这是我们学校要交的调查报表...
斜齿轮传动时,标准参数为法面的,标准中心距需除以倾斜角的余弦。水泵进出口速度三角形,全是三角函数的应用。活塞式压缩机的一阶二阶往复惯性力计算都与三角函数有关。
任意角三角函数在现实生活中有何应用?
这个应用太多太多了……直接的应用比如算机械手要到某个位置各个关节应该转的角度、算三维模型在屏幕上的投影、算电力系统的电压功率分布和稳定运行极限等等,这些计算的算式或者参数中都有三角函数。算上频域法这种间接应用的就更多了,大多数的反馈控制系统和载波通讯系统的设计都和三角函数有关。
正余弦定理在生活中的应用
正余弦定理在生活中的应用如下:1、摘要:正余弦定理是三角函数的重要应用之一,其在物理学、工程学、经济学等各个领域都有广泛的应用。本文主要探讨了正余弦定理在实际生活中的一些应用。2、关键词:正余弦定理,物理,工程,经济学,应用。3、引言:正余弦定理是三角函数的重要应用之一,其在物理学、...
任意角三角函数在现实生活中有什么应用?
测量建筑或山的高度、太阳高度角、河岸宽度等一些不方便直接测量的量。另外在物理学中还用于物体的受力分析,帮助了解物体受力情况,进而做出运动学或力学上的判断与推算。。。
关于三角函数的现实应用?
运动状态呈现出正弦函数的特性。之前选择较软的弹簧和较重的小车是因为振动周期的平方与质量成正比,与刚度系数成反比,由于视频录像一般是每秒25帧,也就是说提取数据的采样间隔最密是1\/25秒,要能比较准确的画出正弦函数的图像,就要在一个周期中取到尽量多的点,这样就需要让振动周期大一些。
我们所学的锐角三角函数在生活中的作用是什么?
基本上是用作考试。不过当你工作是勘测员的时候可能会用到。如 测量山高 测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性 调整电网,比如两个电网并接的时候 用于山的坡度 TAN 平面所走的距离 比上 上升的高度 ,同理还可以测量楼的高 塔的高 测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理...
三角函数在现实生活中的应用
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大。生活中的实际问题:在这里提供这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系。(让学生探究解决)在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样三种情况:(1)是半径为10米的半圆;(2)是半径为10米,圆心角为 的扇形;(3)是...
车询德宝:[答案] 测量山高 测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性 调整电网,比如两个电网并接的时候 用于山的坡度 建筑桥梁的时候,要计算角度 测量大楼或山丘的高度不可能直接用尺子量 要用三角函数, 测量山坡上大树的高度 测量河对岸两...
象山区17777074490: 三角函数在生活中的应用 - ?
车询德宝:[答案] 您查询的关键词是:三角函数 应用 .如果打开速度慢,可以尝试快速版;如果想保存快照,可以添加到搜藏. -------------------------------------------------------------------------------- 4.10 三角函数的应用 ●知识梳理 1.三角函数的性质和图象变换. 2.三角函数的恒等变...
象山区17777074490: 任意角三角函数在现实生活中有何应用? - ?
车询德宝:[答案] 这个应用太多太多了…… 直接的应用比如算机械手要到某个位置各个关节应该转的角度、算三维模型在屏幕上的投影、算电力系统的电压功率分布和稳定运行极限等等,这些计算的算式或者参数中都有三角函数. 算上频域法这种间接应用的就更多了...
象山区17777074490: 三角函数的用途它在实际生活中有什么应用. - ?
车询德宝:[答案] 很多时候,不便直接测量角度,知道了边,就可以知道角度是一件很方便的工具.
象山区17777074490: 三角函数在现实生活中的运用我是一个初中生我们要写数学周记,本周上了三角函数,我想知道现实生活中哪些地方可以用的三角函数周一要交的,要具体一点 - ?
车询德宝:[答案] 建筑桥梁的时候,要计算角度 测量大楼或山丘的高度不可能直接用尺子量 要用三角函数, 测量山坡上大树的高度 测量河对岸两点间距离 等等啦
象山区17777074490: 三角函数在实际中的应用 - ?
车询德宝:[答案] 太多了,我就说我最熟悉的傅里叶变换吧,任意有界函数可以转换为简单三角函数的表现形式.然后在通信领域傅里叶变换的地位无可替代.简单来说,因为他可以将对一个时域信号的分析转化为在频域上的分析,从而使整个分析简单...
象山区17777074490: 三角函数在实际中的应用? - ?
车询德宝: 最基本的,就是直角三角形求各个边 稍微高级一点的,求任意倾角的长度,往边上作垂线 再然后,研究几何问题的时候辅助Descartes坐标运算——等以后会发现虽然你可以建立各种各样的坐标系但是会算的只有Descartes 然后,当你学了Eular公式以后,会发现exp(iwt)是一个很重要的微分方程的解析解 于是就有了简谐振动、简谐波、简谐电路…… 再然后,你会发现含时Shordinger方程(是这么拼么?(lll¬ω¬))的解也是这种形式的 于是如果你想要概率幅还是用得上
象山区17777074490: 任意角三角函数在现实生活中有何应用? - ?
车询德宝: 这个应用太多太多了…… 直接的应用比如算机械手要到某个位置各个关节应该转的角度、算三维模型在屏幕上的投影、算电力系统的电压功率分布和稳定运行极限等等,这些计算的算式或者参数中都有三角函数.算上频域法这种间接应用的就更多了,大多数的反馈控制系统和载波通讯系统的设计都和三角函数有关.
象山区17777074490: 三角函数在实际生活中有哪些应用 - ?
车询德宝: 测量 制造零件 等
象山区17777074490: 三角函数在现实生活中的运用 - ?
车询德宝: 建筑桥梁的时候,要计算角度 测量大楼或山丘的高度不可能直接用尺子量 要用三角函数,测量山坡上大树的高度 测量河对岸两点间距离 等等啦