成矿元素统计分形

微量元素分形统计特征~

元素在地壳中的分布具有不均匀性和区域随机性特征。从具有随机性的地球化学数据中了解元素分布规律是地球化学研究者所面临的难点之一。统计方法在这方面起着不可替代的作用。然而人们早已注意到普通的统计方法并不考虑样品的空间分布和统计特征随空间度量尺度的变化性。此外，由于一般的统计方法是建立在统计大数定量基础之上的，因而这些统计方法（一、二阶矩有关的统计方法）往往对度量元素的一般值效果较好，严格地说它们并不具备刻画异常值的功能，分形理论则是研究这类复杂系统时空结构特征的有效途径，可以通过多重分形理论清楚地反映出统计方法的这些局限，而且能有效地克服统计方法的不足，它是一种研究具有自相似或统计自相似场的分布规律和描述场值的奇异性的有效方法，可以用于研究与矿化有关的微量元素在岩石、水系沉积物和土壤等介质中的空间分布和富集规律。成秋明等指出，与矿化有关的微量元素地球化学场具有多重分形结构特征，微量元素的背景值往往服从正态或对数正态分布，而高低异常值则服从多重分形分布。本次应用多重分形的面积校正累计频率法，对云南老君山矿田的17个微量元素进行了研究，初步探讨了主成矿元素、伴生元素和非成矿元素的空间变化和富集规律。
2.3.4.1 计算方法
地球化学采样点往往不是网格化的，局部区域可能采样较密或较稀甚或缺失。若直接应用原始样品分析数据进行元素含量频率分布研究，则可能过分强调采样较密的局部区域而相对忽视采样较稀的局部区域，不能真实地反映区域内元素含量值的分布特征。浓度-面积法计算大于含量值ci（i＝1，2，…，n；n为含量值分组数cmin≤ci≤cmax）的面积S（C≥ci），然后在双对数坐标下考察ci-S（C≥ci）间是否存在幂率关系（即分形）。对于S（C≥ci），采用两种途径来确定：①在对原始数据加权移动平均（Weighted moving average method）插值后制作的地球化学等值线图上，S（C≥ci）为含量值C大于ci的等值线圈闭的区域面积；②统计原始含量数值的盒子，即用边长确定的正方形网格覆盖研究区，S（C≥ci）等于具有含量值大于ci的正方形网格数，如果在正方形中不止一个样品，则取平均值作为该网格的含量值。众所周知，等值线的计算意味着网格结点的估值运算，运用移动平均、距离系数加权移动平均、克里格法和泛克里格法等网格估值方法可能产生不同的效果，局部特高值点（outlier）可能使邻近网格点的估值普遍偏高，导致孤立高值点拉高一大片，内部的采样空白区也可能以很不准确的估计值来代替。由此看来，本方法存在着固有的不足。
本书采用第二种方法，即面积校正累计频率法研究元素含量频率分布，其计算步骤如下。
以一网格覆盖采样区域，记采样空间坐标（x，y）的最小、最大值分别为xmin、xmax和ymin、ymax，则x和y方向的网格数nx和ny应满足：
（xmax-xmin）/nx＝（ymax-ymin）/ny（2.1）
d·nx·ny＝n （2.2）
式（2.1）表明x，y方向应具有相同的网格间距，式（2.2）说明总网格数乘以平均网格密度d应为总样品数n。由式（2.1）、式（2.2）可解出nx和ny，从而确定所需的覆盖网格。平均网格密度d值可取1～2，使得采样较密区域的网格内有2个或2个以上样品，采样较稀区域的网格内有1个样品，部分网格内没有样品，即为采样空白区。过大的d值会产生数据的“平滑”。本例中d取值为1.5。
计算各个网格元素含量平均值C，并对C值进行累计频率计算，即选定一组c＝｛ci｝（i＝1，2，…，n）为非空网格数cmin≤ci≤cmax，统计所有网格平均值C大于c的网格数N（C＞c），最后在双对数坐标下绘制C-N（C＞c）曲线。因C值反映了采样面积校正后的含量分布，称其为面积校正累计频率（Area⁃calibrated accumulative⁃frequency，ACAF）法，其结果与浓度-面积模型方法只相差一个常系数，即单位网格的面积，不影响双对数坐标下曲线的形态。可见，ACAF既消除了由于样品点分布不均一的影响，又不会因孤立高值点导致其邻近等值线畸变，解决了难以剔除采样空白区的问题，且算法简单。ci值按下式确定：
ci＝cmin·exp［（i-1）δ］，i＝1，2，…，ns（2.3）
δ＝（1/ns）ln（cmax/cmin）（2.4）
式中：cmin为最小平均含量；cmax最大平均含量；δ为校正系数。使得ci在对数坐标下为等距，否则容易导致数据点在低含量区过稀而在高含量区过密，影响对其分布模式的总体认识。ns为计算累计频率的分组数，因元素不同而取值不一。
2.3.4.2 讨论
1）在C-N图（图2.15）中，元素含量与个数的投影点呈现出连续的曲线分布趋势，而不是单一的直线分布所表示的简单分形，显示出一种连续分布趋势的多重分形特征。
2）双对数坐标下各元素含量的曲线有两近似线性段。第一近似线性段大致反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动；另一近似线性段跨越了主要的含量区间，反映了地球化学场的内部分形特征。参数b1、b2（表2.7）为这两个近似线性段经最小二乘法拟合的直线斜率的负值，即累计频率分布的幂率。

表2.7 老君山矿田微量元素多重分维值

3）元素含量频率分布曲线上的两近似线性段之间为非连续过渡，并有截然的转折点，且第一直线段只反映了介于检出限到测定下限之间或测定下限附近的低值波动，与一些研究者根据两线性段的转折点作为异常下限区分污染区或者部分元素相对集中的地区中一些元素的地球化学背景和异常的结论一致。
4）在部分图像中出现了星点状拖尾现象，均为高值点，这可以解释为局部成矿异常明显。
5）根据有些学者利用分维数（b）表示元素的分布偏离正态分布的程度。多分维数值反映了多次矿化事件的叠加，一个分维值代表了一次矿化（成矿阶段或成矿期），本区成矿亦可分为多期多阶段。从分形曲线的拐点和间断性也可以判断矿区存在多期次成矿活动，因此多分形研究对确定不同成矿期次及同一成矿期次的不同成矿阶段是有意义的，但对成矿期次的判别除根据拐点的明显间断外，还应结合矿床地质方面的专门性研究做出判断。
6）元素中b值的大小变化可以解释为：b值越小，即直线越平缓，元素的低含量点到高含量点的变化频率下降得越慢，元素含量在空间上的丛集程度越高，就存在着较多的高含量点，有富集成矿的趋势；b值越大，则高含量点分布较少，主要含量点集中在低含量区，也就不存在大规模富集成矿的可能。
因此，结合以上结论及表中数据，我们可以做出如下推断：首先，图中所有元素含量与个数的投影点呈现出连续的曲线分布趋势，而不是单一的直线分布所表示的简单分形，这显示出一种连续分布趋势的多重分形特征，拟合的线段由两条直线组成，即维度为2，从分形曲线的拐点和间断性也可以判断矿区存在至少两期次成矿活动，这对于两条直线相交交角较小的Mn、Cr、Ni、V、Ti、Hg几种元素表现得较为明显。其次，元素中b值的大小体现了元素含量在空间上的丛集程度和不均匀程度，尤其对于b2这组值，值越小，表示高含量点分布越集中，加之如果其平均含量也较高的话，则可视为成矿元素，因此Sn、Ag、Zn、Pb、Cu、W这几种元素从微量元素分形角度看，可以认为是主要成矿元素（表2.8）。

图2.15 老君山矿田微量元素含量的ACAF曲线


表2.8 老君山矿田微量元素分维值取值范围及分类

1.分形矿床模型对储量进行预测的前提
利用分形矿床模型对储量进行预测的前提是：在一定的区域范围内，在各种地质作用的综合影响下，成矿元素由区域丰度值逐步富集并达到或超过工业品位过程（对于一个相对的封闭体系，这很有可能）。如果这一过程始终受某一机制（综合的、非线性的）所制约（标度不变），则成矿作用具有分形性质，成矿作用造成矿床的空间展布同样具有分形性质（Turcottle＆Huang,1986,1995）。
2.分形矿床模型
假设初始原岩的质量为M0，其中的成矿元素含量为C0，第一次富集后分为相等的两部分，每一部分的质量为M1,M1=Mo/2。设成矿元素在前一部分中浓集，浓度为：
C11=φC0
C11的下标分别表示发生富集的部分和发生富集后的富集或贫化部分，相应的对于贫化部分的浓度有：
C12=（2－φ）C0
如果上面的过程在不变的标度下进行，当达到第n级时有：
Cn1=φnC0
相应地，存在：

粤桂云开地区庞西垌—金山银金矿床地球化学特征与资源评价

由于岩石质量同岩石线性尺度间存在关系：M∝r3，所以最终有下列关系存在：

粤桂云开地区庞西垌—金山银金矿床地球化学特征与资源评价

上式表明，矿石量的分布符合幂函数关系，其分维值为：

粤桂云开地区庞西垌—金山银金矿床地球化学特征与资源评价

通过对矿体的空间分布特征和银品位的分析，表明研究区成矿作用具有分形性质，可以利用分形矿床模型对研究区的银金矿床进行储量预测。

（一）分形模型的建立

设样本个数为N，用r作为随机变量R的度量尺度，设随机变量R的分布密度函数为f（r），储量大于r的概率记为P（r）=P（R≥r），则P（R≥r）=

f（r）dr

若分布具有自相似性，即标度不变性，故满足

P（λr）∝P（r）G（λ） （4-4）

式中：λ是变换常系数；G（λ）与r无关，只是与λ有关的函数，可以证明，满足上式的只可能是幂函数，考虑到

P（r）≤1，所以幂指数取负号，即

P（r）∝r^-D，D＞0 （4-5）

实际问题中，通常用频率近似代替概率。

设已知区域总数为n，≥r的累积数是N（≥r）=N（r），则累积数的频率是：

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

由此有

∝r^-D，从而得出随机变量分布的统计分形模型：

N（r）=N（≥r）=Cr^-D （4-7）

式中：r＞0，D＞0，C为常数，D称为分维数。

分形理论的研究对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体。分形最早的定义是由Mandelbrot（1982）提出：“Hausdorff维数严格大于拓扑维数的集合称为分形”，但这个定义由于不够严格，也无操作性，所以后来Mandelbrot（1986）又提出了改进的定义（Mandelbort，1977，1982）：“分形是局部与整体有某种方式相似的形”。该定义强调图形中局部与整体之间的自相似，其实这个定义也不是十分完备。Falconer从其性质与特征去认识分形思路更容易让人理解（敖力布等，1996；谢和平等，1997；文志英，2000）：分形是一些简单空间上“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质，首先分形是所在空间的紧子集，并具有以下几何性质：①分形集在任意小尺度下有精细的结构；②分形集不能用传统几何语言来描述；③分形集具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的；④分形集的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数；⑤分形集在多数情况下可递归定义。

分形可分2类（孙霞等，2003）。一类是规则分形，是按一定的数学规则人为构造出来的，如：Cantor集、Koch曲线、Sierpinski垫片等。它们具有严格自相似性，曲线的任何一个局部与整体都是完全相似的。另一类是无规则分形，自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性是随机的，其特点是不具备严格的相似性，如蜿蜒曲折的海岸线，变换无穷的布朗运动轨迹等。它们只是在统计意义上是相似，这种局部与整体的相似性不是在任何尺度上都成立，通常只存在于特定的尺度范围，这些尺度范围称为“无标度区”，即当改变尺度时，在该尺度包含的部分统计学的特征与整体是相似，这种分形也叫做统计分形。

地质体形成过程中受诸多随机过程的制约，而具有不是严格自相似、但符合统计相似性规律的特征。因而统计分形成为了刻画地质体特征的有利工具。如矿床分布、岩石裂隙、品位分布等都具有统计相似性（Deng et al.，2001；申维，2002；赵鹏大，2004），因为这些现象的频数和大小之间的分布具有尺度不变性。目前，借助分形理论分析地质数据的主要目的是讨论其统计意义的分形特征，从统计数据分析中找出稳态规律。

分形的特点是由分维数（Dimension），简称分维来描述的，常记为D。维数分析是分形理论的精华所在，由整数维几何体向分数维几何体的扩展正是分形理论的核心思想，与通常维数不同，分形维数可以是分数，甚至可以是无理数。维数的不同直观地反映了客体复杂程度的差异。分形理论中涉及的维数种类很多，由于研究的分形体不同，其分维计算的具体形式也不同，常用的分维有相似维（Similarity Dimension）D₀、信息维（Information Dimension）D₁、关联维（Cor-relation Dimension）D₂、广义维（Generalized Dimension）等。

（二）参数确定及地质含义

在统计分形模型式（4-7）中有C、D两个参数，确定它们的常用方法是线性回归的最小二乘估计法。

首先，将观测数据（N（r₁），N（r₂），…，N（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）绘在双对数坐标纸上，如果其散点大致分布在一条直线上，则说明此变量分布符合模型式（4-7），直线的斜率便是分维数D的估计值。理论上，将式（4-7）两边取对数化为一元线性回归方程，即：

lnN（r）=lnC-Dlnr （4-8）

令y_i=lnN（r_i），x_i=lnr_i

用最小二乘法求出斜率D的估计值为：

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

即分维值。

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

即

海南乐东抱伦金矿地质及矿产预测

分维D定量表征物体分布的密度变化趋势，在地质中的意义已有许多的讨论，在矿床分布模型中分维数D反映的是矿床规模分布的密集程度。D越大矿床分布越密集，反之，就稀疏。参数C一般认为是比例常数，对此参数的地质意义讨论甚少，现从直线拟合过程和D的意义分析，C反映的应是各级矿床数目的容量。

（三）模型参数动态分析

下面以成矿元素品位分布的分形模型为例进行讨论。

在线性回归方程中，lnC是直线在纵轴上的截距，-D是直线斜率。

当D=1时，lnN（r）=lnC-lnr，此时最大等级品位为C，记为lnN（r）=lnC₀-lnr，称此直线为理想状态直线。

1）当C不变时，D由小逐渐变大，直线绕着定点（0，lnC）顺时针转动。

D越大，表明元素品位规模的分布相对集中，中间储量的矿床较为发育，且最大储量变小；D越小，表明元素品位规模的分布差异较大，分布相对分散，且最大储量变大。

2）当D不变时，C由小逐渐变大，直线的斜率不变，截距改变，直线向上作平移变动。

C增大，表明各级各元素品位同幂发育，整体分布的均匀度不变；C减小，表明各级品位同幂衰减，整体分布的均匀度不变。

3）当C、D都不变时，表明各级品位处于停滞状态，品位规模结构和均匀度相对稳定，直线保持不变。

4）当D变小，且C变小时，此时直线lnN（r）=lnC-Dlnr与理想状态时的直线lnN（r）=lnC₀-lnr在第1象限呈剪刀叉状，交点为（

，

），直线绕此交点逆时针转动。此状态说明各级品位发育的速度加快，品位规模数以r=exp｛

｝为界，即r＜exp｛

｝的品位数减少；r＞exp｛

｝的品位数增加，最大储量也增大。

5）当D变大，且C变大时，此时直线lnN（r）=lnC-Dlnr与理想状态时的直线lnN（r）=lnC₀-lnr在第一象限呈剪刀叉状，与④相比两直线的交叉位置不同，直线绕此交点顺时针转动。此状态说明各级品位发育的速度减慢，品位规模数以r=exp｛

｝为界，即r＜exp｛

｝的品位数增加；r＞exp｛

｝的品位数减少。

6）当D变大，且C变小时，直线lnN（r）=lnC-Dlnr整体在直线lnN（r）=lnC₀-lnr的下方，在第1象限内2直线不相交，随着lnr的增大，直线相距越大。说明各级品位数整体衰减，较大品位数衰减的速度比较小品位数衰减的速度相对快些。

7）当D变小，且C变大时，直线lnN（r）=lnC-Dlnr整体在直线lnN（r）=lnC₀-lnr的上方，在第1象限内2直线不相交，随着lnr的增大，直线相距越大。说明各级品位数整体发育，较小品位数发育的速度比较大品位数发育的速度相对快些。

综上所述，当D不变时，回归直线随C的变化大小作上下平移变动，说明品位分布状态保持不变，即各级品位同幂增大或减小；当D变动时，无论C如何变化，回归直线均作旋转变动。其中D变大，直线作顺时针旋转，此时品位分布相对密集，较大品位数目减少，较小品位数目增多，其最大元素品位规模相对减小；相反，D变小，直线作逆时针旋转，品位分布相对分散，较小品位减少，较大品位增多，其最大品位规模相对增大。

（四）成矿元素简单分形分布

分形维的计算是统计分形的核心内容，也是刻画不规则性的参量。常使用的统计分形模型为（Mandelbrot，1982；Turcotte，1997）

lgN（r）=-Dlgr+lgC （4-9）

式中：r为统计尺度；C＞0，称为比例常数；D＞0，为分维数；N（r）表示尺度大于r的数目。分维数的求值主要采用一元线性回归方法。

原始数据为海南抱伦金矿钻孔取样的5条勘探线12种成矿元素品位数据计算，不同勘探线元素统计分维值时，尺度按固定系列（r₁，r₂，…，r_n）自小至大选取（图4-13至图4-18，表4-20）。

表4-20 抱伦金矿元素自相似分维值

7号、15号、23号、103号和113号5条勘探线分维值从大到小分别是Mo＞Ag＞Zn＞W＞Pb＞Bi＞As＞Hg＞Sn＞Sb＞Cu＞Au；Sn＞W＞Zn＞Mo＞Cu＞Hg＞Pb＞Bi＞Sb＞Ag＞As＞Au；Zn＞W＞Sn＞Mo＞Pb＞Ag＞Bi＞Cu＞Hg＞Sb＞As＞Au；Zn＞Sn＞Pb＞Mo＞Ag＞Cu＞W＞Hg＞Bi＞As＞Sb＞Au；Sn＞Zn＞Pb＞Sb＞W＞Ag＞Cu＞Bi＞Mo＞As＞Hg＞Au。5条勘探线综合数据分维值从大到小依次是Zn＞Pb＞Sn＞Ag＞W＞Cu=Mo＞Bi＞Sb＞Hg＞As＞Au。

5条勘探线元素分维值都是Au元素最小，综合数据分维值为0.604，说明金在各勘探线中的富集最为强烈。横向上比较，5条勘探线Au元素分维值范围为0.531～0.690，从大到小依次为23线＞15线＞111线＞7线＞103线，指示Au元素富集程度依上述顺序依次增强。23线发现连续矿体的可能性高于其他勘探线，103线连续矿体发育可能程度最低，但是矿石品位更高。因为分维值越低说明元素越趋向于集中，导致矿石品位高而连续性较差。对金品位分维值较高的勘探线可以考虑降低钻孔密度，而对金品位分维值低的勘探线适当增加钻孔密度，以利于工程资金投入的有效利用。

由上述元素相关性分析和聚类分析得到，与金矿化密切相关的元素有Ag、Bi、Pb、Sb、As。5条勘探线Ag元素综合数据分维值为1.402，说明银元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Ag元素分维值范围为1.188～1.873，从大到小依次为7线＞23线＞113线＞111线＞15线，暗示本区不大可能存在独立的银矿（化）体。Bi元素综合数据分维值为1.134，说明Bi元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Bi元素分维值范围为1.034～1.363，从大到小依次为7线＞15线＞111线＞23线＞103线。Pb元素综合数据分维值为1.652，说明Pb元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Pb元素分维值范围为1.400～1.786，从大到小依次为7线＞111线＞23线＞103＞线＞15线。Sb元素综合数据分维值为1.128，说明Sb元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线Sb元素分维值范围为0.866～1.636，从大到小依次为111线＞15线＞103线＞7线＞23线。As元素综合数据分维值为0.910，说明As元素在各勘探线中的富集程度较差。横向上比较，5条勘探线As元素分维值范围为0.714～1.199，从大到小依次为23线＞15线＞103线＞111线＞7线。

图4-13 7线元素自相似分形

图4-14 15线元素自相似分形

图4-15 23线元素自相似分形

图4-16 103线元素自相似分形

图4-17 111线元素自相似分形

图4-18 5条勘探线综合数据自相似分形

可见，虽然元素Ag、Bi、Pb、Sb、As通过聚类分析和相关系数计算，显示与金矿化密切相关，但是这些元素分维值普遍高于金元素分维值，指示这些元素相对金元素富集程度明显要小。相关系数越大，聚类图谱越近，元素分维值大小在各个勘探线的排序也存在不同程度的靠近。

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