求证明如下二重积分
证明过程如图所示，只要交换一下二重积分的次序就容易化简了。
用曲线积分表示面积，D = ∫∫dxdy = ∫xdy = ∫x(t)y'(t)dt = ∫x(ξ(t),η(t)) (y/dξ * ξ'(t) + dy/dη * η'(t)) dt，其中x(t) = x(ξ(t),η(t))，ξ,η是新坐标，而上式又等于曲线积分∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
再用格林公式∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη)
= ∫∫( d(xdy/dη)/dξ - d(xdy/dξ)/dη )dξdη
= ∫∫(dx/dξ * dy/dη - dx/dη * dy/dξ) dξdη
= ∫∫|J| dξdη
如果J<0，曲线积分换元时闭路方向相反，前面会多个负号，正好与J的负号抵消，所以加绝对值。
用 [复数路径积分] 可解：
－－－－－－－－－
( 有问题欢迎追问 @_@ )
二重积分证明题
1）由于x^2+y^2对于x,y是偶函数，因此可将两者的积分区域都扩展到全平面，此时新得到的两个积分分别是原来的四倍。（这一步没有也没关系，在第一象限可一样考虑）2）此时第一个积分的积分区域是一个边长为2a,面积为4a^2的正方形，第二个积分的积分区域是面积为4a^2的圆。积分区域面积相等。
二重积分的证明题
分享一种解法。设D={(x,y)丨x²+y²≤r²}。由积分中值定理，有∫∫Df(x,y)dxdy=(SD)*f(ξ,ζ)，其中，(ξ,ζ)∈D；SD是积分区域D的面积，SD=πr²。而，r→0时，x²+y²→0，∴(x,y)→(0,0)。∴(ξ,ζ)→(0,0)。又，f(x,y)在(...
二重积分怎么求?
二重积分为黎曼和当积分区域无限细分时的极限，可用二重积分的定义证明。二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行...
二重积分的格林公式是怎样的?
注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.格林公式沟通了二重积分与对坐标的曲线积分之间的联系,因此其应用十分地广泛.
证明一道双重积分的问题,各位帮帮忙啊!
（1）化为极坐标去做 (2)很自然
二重积分中值定理怎么证明?
∬f（x，y）=D*f（ξ，η），D为积分面积。二重积分的中值定理：设f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D内至少存在一点，使得定理证明设（x）在上连续，且最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。由估值定理可得同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，即：命题...
二重积分怎样计算?
二、利用极坐标计算二重积分 1、变换公式 按照二重积分的定义有 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算 其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。(数学上可以证明: 包含...
利用二重积分求解
证明：∫（0到1）f(x)g(x)dx=∫（0到1）dy*∫（0到1）f(x)g(x)dx=∫∫f(x)g(x)dxdy,积分区域是0<=x<=1,0<=y<=1;∫（0到1）f(x)dx*∫（0到1）g(x)dx=∫∫f(x)g(y)dxdy 所以，∫（0到1）f(x)g(x)dx-∫（0到1）f(x)dx*∫（0到1）g(x)dx=∫∫f(x)...
二重积分怎么计算?
二重积分的计算方法
利用二重积分证明:【ʃ(a到b)f(x)dx】²<=(b-a)ʃ(a到b)f²...
在正方形【a b】*【a b】上，有[f(x)--f(y)]^2>=0，做二重积分得 f^2(x)+f^2(y)--2f(x)*f(y)的二重积分>=0。容易计算得出f^2(x)和f^2(y)的二重积分都是(b--a)*积分（从a到b）f^2(x)dx。f(x)*f(y)的二重积分等于(积分（从a到b）f(x)dx)^2，化简得不等式...
龙富心安： 4、先交换积分次序 再利用变上限积分求导凑微分 解出二重积分,得到等式成立 详解如下:
祁连县18382152700： 高数二重积分证明 - ？
龙富心安： 设I=∫∫D [sin(x^2)+cos(y^2)]dxdy 原式=∫(0,1)[sinx2+∫(0,1)cosy2dy]dx=∫(0,1)sin(x^2)dx+∫(0,1)cos(y^2)dy=∫(0,1)[sin(x^2)+cos(x^2)]dx=∫(0,1)2^(1/2)*sin(x^2+pi/4)dx ∵pi/4≤x^2+pi/4≤1+pi/4<3pi/4 ∴1/2^(1/2)sin(x^2+pi/4)<1 ∴∫(0,1)dx<I<∫(0,1)2^(1/2)dx 即1<I<2^(1/2)
祁连县18382152700： 求二重积分换元公式的证明 - ？
龙富心安： 用曲线积分表示面积,D = ∫∫dxdy = ∫xdy = ∫x(t)y'(t)dt = ∫x(ξ(t),η(t)) (y/dξ * ξ'(t) + dy/dη * η'(t)) dt,其中x(t) = x(ξ(t),η(t)),ξ,η是新坐标,而上式又等于曲线积分∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη) 再用格林公式∫x(ξ,η) (dy/dξ * dξ + dy/dη * dη) = ∫∫( d(xdy/dη)/dξ...
祁连县18382152700： 请问这道二重积分的证明怎么写?答案的思路和方法我不懂啊.找不到切入口 - ？
龙富心安： 由边界曲线可知,1≤xy≤21≤y/x≤4 所以,换元 u=xy v=y/x 可以把区域变成一个矩形区域,【被积函数也可以变成一个一元函数】方便后面积分的计算
祁连县18382152700： 利用二重积分性质证明 - ？
龙富心安： 因为当(x,y)属于0时,有0
祁连县18382152700： 二重积分证明题,求高手给予解答. - ？
龙富心安： 这题应该用积分中值定理.
祁连县18382152700： 求做二重积分证明题,朱来义微积分课本原题求证:∫∫Df(x+y)dxdy=∫ - 2a2a(2a - |t|)f(t)dt其中D是区域{(x,y)| |x|≤a,|y|≤a}提示:1将给定二重积分化为累次积分2... - ？
龙富心安：[答案] 令t=x+y,u=x-y,则x=(t+u)/2,y=(t-u)/2,区域D变为tu平面上的D1:|t+u|≤2a,|t-u|≤2a.dxdy=1/2dtdu. 所以,∫∫(D) f(x+y)dxdy=∫∫(D1) f(t)*1/2dtdu=1/2*∫(0到2a)dt∫(t-2a到2a-t) f(t)du+1/2*∫(-2a到0)dt∫(-2a-t到2a+t) f(t)du=∫(0到2a) (2a-t)f(t)dt+∫(-2a到0) (2a+t)f(t)dt=∫...
祁连县18382152700： 求证二重积分的性质二?∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,,其中左边的积分区域为D,右边的分别为D1+D2.其中D为D1与D2的并集 - ？
龙富心安：[答案] 将二重积分都转化为环路积分.其中用∮表示积分区域为D的边界,∮1表示积分区域为D1的边界,∮2表示积分区域为D2的边界.用∮11和∮22分别表示∮1和∮2在D内部的部分,用∮10和∮20分别表示∮1和∮2的其余部分则∮=∮10 +...
祁连县18382152700： 二重积分,椭圆面积x^2/a^2+y^2/b^2=1.已知椭圆面积为abpi.现在要求用二重积分求证.x=acosty=bsint二重积分rdrdθ请问应该怎么取2个积分的上下限,列式... - ？
龙富心安：[答案] 这是一重积分,不是二重. 我记得求椭圆面积使用格林公式非常简单.
