设向量组a1 a2 …as为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,Aβ不等于0,证明线
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证明: 设 kβ+k1(β+α1)+...+kn(β+αt) = 0
则 (k+k1+...+kt)β+k1α1+...+knαt = 0 (1)
等式两边左乘A, 由 Aαi=0 得
(k+k1+...+kt)Aβ = 0.
由Aβ≠0
所以 k+k1+...+kt = 0
所以k1α1+...+ktαt = 0.
假设存在一组常数k，k1，…，kt，使得：kβ+ti＝1ki(β+αi)=0，即：(k+ti＝1ki)β=ti＝1(?ki)αi．①，①上式两边同时乘以矩阵A，则有(k+ti＝1ki)Aβ=ti＝1(?ki)Aαi．因为：α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以：Aαi=0，故有(k+ti＝1ki)Aβ=0，又因为：Aβ≠0，所以：k+ti＝1ki=0，②，将②代入①式左端，得：ti＝1(?ki)αi=0．因为：α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，所以：α1，α2，…，αt是线性无关，从而：k1=…=kt=0，将上式又代入②式得：k=?ti＝1ki=0，所以：k=k1=…=kt=0，因此，向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关，证毕．
a1,a2,.....,as构成AX=0的基础解系，故所有满足方程的X都可以被其线性表示，则：
в与a1,a2,....,as线性无关。故B中所有列向量皆线性无关，只有零解。
齐次线性方程组
1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
要证明By＝0只有零解，只要证明B的列向量组线性无关，也就是向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
证明：设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0，整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)＝0。 （1）
若x0+x1+x2+...+xs≠0，则β＝-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs)，是Ax=0的解，即Aβ=0，与已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs＝0。 （2）
此时，（1）式变成x1α1+x2α2+...+xsαs＝0。
因为α1，α2，...，αs是Ax=0的基础解系，是线性无关的，所以x1=x2=...=xs=0。
代入（2），x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0得出x0=x1=x2=...=xs=0。
所以向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
所以方程组By=0只有零解。
a1,a2,.....,as构成AX=0的基础解系，故所有满足方程的X都可以被其线性表示，则
в与a1,a2,....,as线性无关。故B中所有列向量皆线性无关，古只有零解。
应路塞必： 要证明By=0只有零解,只要证明B的列向量组线性无关,也就是向量组β,β+α1,β+α2,...,β+αs线性无关.证明:设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)=0,整理下是 (x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)=0. (1) 若x0+x1+x2+...+xs≠0,则β=-(x1...
资溪县18785364223： 线性代数问题:设向量组a1,a2,....,as线性无关,向量b1可由它线性表示,而向量b2不能由它线性表示,证明 - ？
应路塞必： 假设线性相关,那么存在不全为0的c1、c2、……cs、d使得: c1a1+c2a2+.……+csas+d(b1+b2)=0 显然d不等于0,因为等于0,那么a......就线性相关了. 那么 b2=(-c1a1-c2a2-……-csas-db1)/d 而b1又可以表示成a的线性组合.所以b2也可以表示为a的线性组合,与原命题矛盾.
资溪县18785364223： 设向量组α1,α2,……,αs线性无关 - ？
应路塞必： 设k1β1+k2β2+...+ksβs=0 则(k1+k2+...+ks)α1+(k2+...ks)α2+...+ksαs=0 因为α1,α2,……,αs线性无关所以(k1+k2+...+ks)=(k2+...ks)=...=0 这是一个齐次线性方程组,系数矩阵行列式=1 所以方程组只有零解 k1=k2=...=ks=0 所以β1,β2,...,βs线性无关
资溪县18785364223： 设a1,a2是齐次线性方程组Ax=(1,2,3)T的基础解系,则A(5a1 - 3a2)=?很急,在线等待 - ？
应路塞必： 题目不对, 齐次线性方程组Ax=(1,2,3)^T 的基础解系?这不是齐次线性方程组. a1,a2 是非齐次线性方程组的解吧 A(5a1-3a2)= 5Aa1 - 3Aa2= 5(1,2,3)T - 3(1,2,3)T= 2(1,2,3)T= (2,4,6)^T
资溪县18785364223： 如果向量组a1,a2…as可以由向量组β1,β2…βt线性表示.证明:r(a1,a2,…,as)≤r - ？
应路塞必： 设α1,α2,...,αs1; β1,β2,...,βt1 分别是两个向量组的极大无关组 则r(α1,α2,...,αs)=s1, r(β1,β2,...,βt)=t1 且由已知 α1,α2,...,αs1 可由 β1,β2,...,βt1 线性表示.所以存在矩阵K满足 (α1,α2,...,αs1)=(β1,β2,...,βt1)K K为t1行s1列矩阵.假如 t1<s1 则齐次线性方程组...
资溪县18785364223： 设向量组a1,a2,...,as的秩为r,证明其中任意选取m个向量构成向量组的秩>=r+m - s - ？
应路塞必： 向量组a1,a2,...,as的秩为r,所以其中存在一个含r个向量ai的线性无关的向量组. 不妨设 a1,...,ar, 线性无关.共r个向量.在此之外共s-r个向量.其中任意取 m个向量,如果 m=0 如果 m>s-r, 这m个向量中,最多有 s-r个不是 a1,...,ar之一. 所以至少有 m-(s-r)个向量都在a1,..,ar之中. 而这m-(s-r)个向量线性无关.所以 这m个向量的秩 >= 其中的落在 a1,...,ar中的向量的秩 >= m-(s-r)=r+m-s
资溪县18785364223： 设n维向量组S:a1,a2,...as线性无关,证明存在齐次线性方程Ax=0,使向量组 - ？
应路塞必： A 不对! 例如: a1=(1,0,0), a2 =(0,1,0) b1=(0,2,0),b2=(0,0,1) 两向量组都线性无关, 但不等价, 谁也不能表示谁 B正确.因为A,B等价, 即A可经初等变换化成B 初等变换不改变矩阵的秩, 列秩也不变 所以A,B等价, 相当于说 A,B 的列秩相等, 即两个向量组的秩相同 故 r(B)=r(A)=s, 所以b1,b2,,,bs线性无关 反之, 两个向量组都线性无关, 且含向量组个数相同 所以 r(A)=r(B)=s 故A,B 等价.
资溪县18785364223： 线代题:向量b可由向量组a1,a2…as线性表示且表示法唯一,证a1,a2…as线性无关 - ？
应路塞必： 此题可用反证法 假设a1,a2…as线性相关,那么存在不全为零的数使得k1*a1+k2*a2……+ks*as=0 而且b,a1,a2…as也是线性相关的,故向量b可由向量组a1,a2…as线性表示 又k1*a1+k2*a2……+ks*as=0可将第一个表达式中的某项代换 故存在了两种表示法,与之矛盾 所以a1,a2…as线性无关
资溪县18785364223： 向量组线性相关问题 - ？
应路塞必： 你看下线性相关和线性无关的定义就知道了 定义是这样的:设A1,A2,……,An是一个向量组,如果存在不全为零的常数K1,K2,……,Kn,使得式子(一)K1A1+K2A2+……+KnAn=0,则称A1,A2,……,An这个向量组线性相关,如果要K1,K2,……,Kn全为零式子(一)才成立的话,那他就线性无关了.你A,B,D三个选项中都可以满足线性相关的定义呀,那肯定是线性相关啦
资溪县18785364223： 有一线性无关向量组:a1,a2,a3……as(1,2,3…s均为下标),A是m*n矩阵 - ？
应路塞必： 设k1Aa1+k2Aa2+…ksAas=0(ki为数) 即A(k1a1+k2a2+…ksas)=0 也即n维列向量k1a1+k2a2+…ksas是齐次线性方程AX=0的解,因为R(A)=n,所以齐次线性方程AX=0只有一组解,即为0解,所以k1a1+k2a2+…ksas=0,又因为a1,a2,a3,……as是线性无关,所以k1=k2=…=ks=0 Aa1,Aa2…Aas是线性无关的.
