cosx的变形公式

三角函数变形公式~

三角函数（trigonometric function）


亦称圆函数。是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称。在平面上直角坐标系Oxy中，与x轴正向夹角为α的动径上取点P，P的坐标是 (x，y)，OP＝r，则正弦函数sinα＝y/r，余弦函数cosα＝x/r，正切函数tanα＝y/x，余切函数cotα＝x/y，正割函数 secα＝r/x，余割函数cscα＝r/y。历史上还用过正矢函数versα＝r－x，余矢函数coversα＝r－y等等。


这8种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备。正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这 种弦表，公元2世纪托勒密又造了0°～90°每隔半度的正弦表。5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》（约400年） 中。该书还出现了正矢函数，现在已很少使用它了。约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一。正切和余切函数 是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表。10世纪的艾布�6�1瓦法又单独编制了第一个正切表。哈巴什还首先提出正割 和余割概念，艾布�6�1瓦法正式使用。到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附 有正割表。他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数。1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符 号。至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今。


基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：


函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割


正弦函数 sinθ=y/r


余弦函数 cosθ=x/r


正切函数 tanθ=y/x


余切函数 cotθ=x/y


正割函数 secθ=r/x


余割函数 cscθ=r/y


以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ


同角三角函数间的基本关系式：

�6�1平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

�6�1积的关系：

sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

�6�1倒数关系：

tanα�6�1cotα=1

sinα�6�1cscα=1

cosα�6�1secα=1


三角函数恒等变形公式：

�6�1两角和与差的三角函数：

cos(α+β)=cosα�6�1cosβ-sinα�6�1sinβ

cos(α-β)=cosα�6�1cosβ+sinα�6�1sinβ

sin(α±β)=sinα�6�1cosβ±cosα�6�1sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα�6�1tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα�6�1tanβ)


�6�1辅助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)


�6�1倍角公式：

sin(2α)=2sinα�6�1cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]


�6�1三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα


�6�1半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα


�6�1万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]


�6�1积化和差公式：

sinα�6�1cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα�6�1sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα�6�1cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα�6�1sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]


�6�1和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]


�6�1其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0


部分高等内容


�6�1高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2

cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[^(ix)+e^(-ix)]


泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。


�6�1三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。



补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

正弦函数
sinθ=y/r
余弦函数
cosθ=x/r
正切函数
tanθ=y/x
余切函数
cotθ=x/y
正割函数
secθ=r/x
余割函数
cscθ=r/y
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数
versinθ
=1-cosθ
余矢函数
vercosθ
=1-sinθ
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

利用诱导（简化）公式有cosx=cos（2kπ+x），cosx=cos（-x）；

利用基本关系及其变形公式有cosx=±√（1-（sinx）^2），cosx=1/secx，cosx=sinx/tanx。
反余弦函数（反三角函数之一）为余弦函数y=cosx（x∈[0，π]）的反函数，记作y=arccosx或cosy=x（x∈[-1，1]）。

由原函数的图像和其反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知余弦函数的图像和反余弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

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泸定县18458828756： 公式cosx= 越多越好 - ？
主父梅络欣：[答案] 1.利用诱导(简化)公式,要多少,有多少 例如:cosx=cos(2kπ+x),cosx=cos(-x),. 2.利用基本关系及其变形 cosx=±√(1-(sinx)^2) cosx=1/secx cosx=sinx/tanx . 3.二倍角公式、半角公式 还有.

泸定县18458828756： 那个一个很重要的变形公式,叫一角一函数 也叫什么合异变形的,就是大多数是sinx+cosx 的形式的 那公式是什么来的? - ？
主父梅络欣：[答案] sinx+cosx =√2(√2/2sinx+√2/2cosx) =√2(sinxcos45+cosxsin45) =√2sin(x+45)

泸定县18458828756： 三角函数的二倍角公式及其所以变形公式;急求,要最全的,谢谢 - ？
主父梅络欣： ·平方关系:sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α·积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=...

泸定县18458828756： COS平方的X的变形公式是什么啊 - ？
主父梅络欣： (cosA)^2= 1 - (sinA)^2 = 1/2(1+cos2A)

泸定县18458828756： cosx的麦克劳林公式 ？
主父梅络欣： cosx的麦克劳林公式是:cosx=1-x^2/2i+x^4/4i-x^6/6i+o(x^7),麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式,麦克劳林,Maclaurin(1698-1746),是18世纪英国最具有影响的数学家之一.1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton,从此便成为了Newton的门生.1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作.他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说,还把级数作为求积分的方法,并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法.他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式,并用待定系数法给予证明.

泸定县18458828756： 三角函数变形公式 - ？
主父梅络欣： 同角三角函数间的基本关系式: ·平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)/2 tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)/2 cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系: sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα...

泸定县18458828756： sinx cosx公式变换 - ？
主父梅络欣：[答案] sin ---- cos 解读1.倒△中 如sin----cos 中(sinx)^2+(cox)^2=1 - - - - - - tan --- 1 --- cot 1 - - - - - - - - 2.在这个六角形中对应角中的符号成倒数 3.相连的三个角中中间这个角为两边角的乘积 即 sin----cos中--tansinx=cosx乘以tanx

泸定县18458828756： RT.y=sinxcosx为什么等于1/2*sin(x+x) - ？
主父梅络欣：[答案] (1)你知道二倍角公式吗?sin2x=2sinxcosx,变形得:sinxcosx=1/2 sin2x (2)二倍角公式的来源:sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,令a=b=x, 则有sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx=sin2x.

泸定县18458828756： 三角变形公式 - ？
主父梅络欣： 因为tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB),所以tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB); 因为tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB),所以tanA-tanB=tan(A-B)(1+tanAtanB)