加法的实现
先回顾一下那些常见的逻辑操作:
只有输入都为1时结果才为1
电器符号:
有一个输入为1时结果就为1
电器符号:
对或操作结果取反
电器符号 :
对与操作结果取反
电器符号:
利用这些非常简单的门电路我们就可以实现CPU中最关键单元 加法器 。
先来看一下只有一位的二进制数的加法是如何实现。一位的加法结果如下表所示:
我们把结果分为个位和十位两个部分来看一下。先单独看一下十位的结果:
这个看着这么眼熟,这个不就是与运算吗,十位的计算如此简单只需要一个与运算:
搞定了十位我们再来看一下个位,先看一下个位的运算结果:
我们除去右下角看其他部分,和或运算结果是完全一致的。再单独看一下右下角,输入都为1时输出为0这不就是与非的操作结果吗。那我们将输入同时给到或门和与非门看下他们的输出:
再看一下这个输出,将或门和与非门的输出看为输入将我们想要的结果看为输出,其正好符合与运算,所以我们只要将输出再合并到与门的输入,就完成了个位的运算:
这个组合就是异或门,简写XOR,当且仅当两个输入不一致时输出1。符号为:
现在个位和十位(近位)的计算都实现了,我们把这两个结合在一起就实现了一位的二进制加法:
这组合称为半加法器,但每次都画这么多也不方便所以单独设定一个符号:
对于两位以上二进制加法,例如11+11,是需要将进位也加上的,但半加器只能计算一位的加法,它的输入也并没有上一位的进位。所以要实现多位的加法需要先实现进位相加。
先来看一下带进位的加和输出是如何得到的,处理方式和我们平时计算是一样的: :
再来看一下进位输出如何计算的:
我们知道,对于A、B和C0三个输入最大就是三个都为1和为11的情况,所以最多也就产生一个为1的进位。那现在就很明了,这进位要么在计算A加B是产生(A和B都是1)要么在加进位是产生(A和B其中只有一个为1,进位输入为1),所以只要将两次加和的进位输出做一次或运算,就取得了进位输出。
最终电路图如下 :
这组合称为全加器,但个符号还是有点复杂了,所以有个特定符合:
前面已经实现了进位相加,那么多位加法就非常简单了。和我们平时计算一样,将上一位的进位给到下一位,第一位可看做进位为0。多位加法实现也是如此,将上一位的进位输出作为下一位的进位输入,第一位进位输入0。如下图:
还是一样的这个图画起来太复杂了,给个简单的:
上面实现的加法器,运算时除第一位外其他位运算都依赖上一位的进位输出,只有等上一位计算完成后给出进位值,该位的计算才是正确的,所以这又被称为波进位加法器。
其实对于上一位的进位输出是可以根据输入自己去计算得到的,即某一位An需要的进位可以利用前面几位A1、A2、...、An-1计算得到不必等待,虽然这样使计算更多了但实际的速度确是提升的。这样加法的实现称为超前进位加法。
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