下面的数论定理的证明

请帮我证明一个简单的初等数论定理~

素毕达哥拉斯数是指这三个数之间没有大于1的公因子 即最大公约数是1
下面证明你的问题
（1）首先 证明按照你说的方法产生的A B C 是素毕达哥拉斯三元数 很简单的 明显有A^2+B^2=C^2
（2）其次 证明所有的素毕达哥拉斯三元数 A B C （为方便计不妨设A^2+B^2=C^2） 均存在
互质的正整数v u(v>u 切 v u不同奇偶) 使得A=v^2-u^2 B=2vu C=v^2+u^2
或者 A=2vu B=v^2-u^2 C=v^2+u^2
1）由于 A B C的最大公约数是1 从而 ABC三个数不可能都是偶数 从而A B C三个中最多只有一个偶数
2）下证 A B C中恰好只有一个偶数 并且这个偶数不是C
若C为偶数 则A B为奇数 那么A^2=1(mod 4) B^2=1(mod 4) C^2=0(mod 4)
从而 A^2+B^2=C^2得 1+1=2=0(mod 4) 显然不成立 矛盾 所以C是奇数
3）若A为奇数 B^2=C^2-A^2=(C+A)(C-A) 由于C为奇数 所以C+A C-A均为偶数 故B为偶数
若B为奇数 A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B) 由于C为奇数 所以C+B C-B均为偶数 故A为奇数
4） 由上面分析可得 C是奇数 A B一奇一偶 不妨设A是奇数 B是偶数
那么由3）的第一条知道 C+A为偶 C-A为偶 从而 (C+A)/2 (C-A)/2 B/2均为正整数
故由B^2=(C+A)(C-A)可知 (B/2)^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
下证 (C+A)/2 (C-A)/2 互质 否则存在质数p>1 使得 p|(C+A)/2 p|(C-A)/2
则有p|[(C+A)/2+(C-A)/2]=C p|[(C+A)/2-(C-A)/2]=A 所以p|C p|A 从而p|B 这与
A B C互质矛盾 故(C+A)/2 (C-A)/2互质
由于(C+A)/2 (C-A)/2互质 而B^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
从而必存在正整数 v u使得(C+A)/2=v^2 (C-A)/2=u^2 从而 C=v^2+u^2 A=v^2-u^2
B=2vu

1. 先证明没有重复.
易见x, y > 1, 故数列{[nx]}与{[ny]}分别严格递增.
只需再证明二者没有公共项.
假设二者有公共元素k, 即存在正整数m, n使[nx] = k = [my].
则k ≤ nx < k+1, k ≤ my < k+1.
由x, y是无理数, 上面两式的等号都不能成立, 即有k < nx < k+1, k < my < k+1.
再由1/x+1/y = 1可得k = k/x+k/y < n+m < (k+1)/x+(k+1)/y = k+1.
这与k, m, n均为整数矛盾, 故两数列没有公共元素.

再证明没有遗漏.
假设正整数k在两数列中均不出现.
取n为使[nx] > k的最小正整数, 则有k > [(n-1)x].
可改写为[nx] ≥ k+1, k-1 ≥ [(n+1)x], 进而有nx ≥ k+1, k > (n-1)x.
由x为无理数, 前者的等号不能成立, 有nx-1 > k > (n-1)x.
同理, 取m为使[my] > k的最小正整数, 则有my-1 > k > (m-1)y.
由1/x+1/y = 1可得n+m-1 = n-1/x+m-1/y > k/x+k/y = k > n-1+m-1 = n+m-2.
同样与k, m, n均为正整数矛盾.

综上, {[nx]}与{[ny]}不重不漏的取遍全体正整数. 证毕.

2. 设x < p/q, 其中p, q为正整数.
则[x] < [2x] <...< [qx] < p, 即在1, 2,..., p-1这p-1个正整数中至少有q个出现在{[nx]}中.
由条件知, 至多有p-1-q个出现在{[ny]}中, 故(p-q)y ≥ [(p-q)y] ≥ p, 得y ≥ p/(p-q).
当p/q趋近x时, p/(p-q) = (p/q)/((p/q)-1)趋近于x/(x-1).
因此取一列大于x的有理数逼近x, 可得不等式y ≥ x/(x-1).

设p/q < x, 则[qx] ≥ p, 即在1, 2,..., p-1中至多有q-1个出现在{[nx]}中.
由条件知, 至少有p-q个出现在{[ny]}中, 故[(p-q)y] ≤ p-1, 有(p-q)y < p, 即y < p/(p-q).
同上取一列小于x的有理数逼近x, 可得y ≤ x/(x-1).
因此y = x/(x-1), 整理得1/x+1/y = 1.

只需再证明x, y都是无理数.
假设x = p/q, 可得y = p/(p-q), 则[qx] = p = [(p-q)y], 两数列有公共项, 矛盾.
于是x为无理数, 进而y也是无理数.
综上, x, y都是无理数并满足1/x+1/y = 1. 证毕.

3. 原命题是Beatty定理(貌似也叫Rayleigh定理), 逆命题不清楚.

数学归纳法
n=1 显然，
假设对于n-1 是对的，要证对n也成立
反证法，假设对对于n次，有n+1个互不同余的根，设为c0,c1,c2,...,cn
那么f(x)-f(c0)=an(x^n-c0^n) + an-1(x^(n-1)-c0^(n-1)) +...+a1(x-c0)
=(x-c0)g(x)
g(x)最高n-1次，最高次系数依然是an，（不被p整除的）
而由反设，0<k<=n,则f(ck)-f(c0)=(ck-c0)g(ck)=0-0=0 mod p
ck-c0不模0 mod p, 所以，g(ck)=0
所以 c1,c2,...,cn都是g(x)模p的根。
与归纳假设矛盾。
所证成立，
归纳完成，得证。

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