一道2009年全国初中数学竞赛试题求解

求解09年一道初中数学竞赛题~

简单，即求函数y=x^2与y=2[x]+3的交点问题，画出函数图象易得。第二个函数图象通过分段讨论易得。

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 ，则 等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A） （B） （C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以 ，即
，
所以， ．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖DC， . 动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32




【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由 ≥ ，
解得 ≤ ．于是

0 1 4 9 16

116 109 88 53 4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以 .
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为 ．
【答】 10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF‖AC，所以
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立 与 ，消去y得二次方程
①
有实数根 ， ，则 ．所以

= ＝ ． ②
………………5分
把②式代入方程①得
． ③
………………10分
t的取值应满足
≥0， ④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0， ⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得 ≤ ≤ .
所以，t的取值范围为
≤ ≤ . ⑥
………………15分
(2) 由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
………………10分
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
所以， ，于是DE‖FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数 满足如下条件： ；
且 中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设 中去掉 后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数 ， ．即 ．
于是，对于任意的1≤ ≤n，都有
，
从而 ． ………………5分
由于 是正整数，故
． ………………10分
由于
≥ ，
所以， ≤2008，于是n ≤45.
结合 ，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令 ，…， ，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分



抱歉，图弄不上来，你可以去参考网址自己下

结论是:DF=EG
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90°
∴A、B、D、E四点共圆
故∠CED=∠ABC
又L是⊙O的过点C的切线
∴∠ACG=∠ABC
∴∠CED=∠ACG
于是DE‖FG
故DF=EG
这样才对 我错了

结论是:DF=EG
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90°
∴A、B、D、E四点共圆
故∠CED=∠ABC
又L是⊙O的过点C的切线
∴∠ACG=∠ABC
∴∠CED=∠ACG
于是DE‖FG
故DF=EG

连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90°
∴A、B、D、E四点共圆
故∠CED=∠ABC
又L是⊙O的过点C的切线
∴∠ACG=∠ABC
∴∠CED=∠ACG
于是DE‖FG
故DF=EG
原题得证

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