2022 年高考全国乙卷理科数学 (12)
作者&投稿：肇洪 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
12. 设 [公式] 是定义在 [公式] 上的函数，且 [公式] [公式] [公式] 图像 [公式] 关于直线 [公式] 对称，则 [公式]
我们首先理解问题，本题涉及抽象函数的对称性与周期性。对称性包括轴对称与中心对称，奇偶函数是其中的特例。设 [公式] 是定义在 [公式] 上的函数，若 [公式] [公式] 则 [公式] 是奇函数，图像关于点 [公式] 对称；若 [公式] 则 [公式] 是偶函数，图像关于直线 [公式] 对称。
考虑一般情况，设 [公式] 则 [公式] 表示图像关于点 [公式] 对称，[公式] 表示图像关于直线 [公式] 对称。由此，一个轴对称与另一个轴对称或中心对称，会带来周期性。具体地，设 [公式] 图像关于直线 [公式] 和直线 [公式] 对称，则 [公式] 有周期 [公式] 。同样，图像关于直线 [公式] 和点 [公式] 对称，则 [公式] 有周期 [公式] 。这些推导揭示了周期性来源于对称性。
以正弦函数和余弦函数为例，直观理解对称性与周期性。进一步，两个中心对称可以产生新的周期性，读者可自行探索。
结论的细节并非重点，关键在于理解推导背后的思想。读者应通过直观认识掌握结论，以便随时应用。
回到问题，将 [公式] 替换成 [公式] 得到 [公式] 。在 [公式] [公式] 中消去 [公式] 得到 [公式] 。因此， [公式] 的图像关于点 [公式] 对称，以及 [公式] 。由于 [公式] 的图像关于直线 [公式] 对称，得到 [公式] 的一个周期是 [公式] 。由此，可以通过周期性求得 [公式] 在一切整数处的值。
对 [公式] 移项可得 [公式] ，从而 [公式] [公式] [公式] [公式] 。因此，[公式] 的一个周期是 [公式] 。故 [公式] [公式] 。
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