200分求动态规划详解！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

高分求动态规划题目！！！~

这是我们计算机系算法设计课的实验课程，下面是动态规划内容：


实验四：动态规划
实验目的：理解动态规划的基本思想，理解动态规划算法的两个基本要素最优子结构性质和子问题的重叠性质。熟练掌握典型的动态规划问题。掌握动态规划思想分析问题的一般方法，对较简单的问题能正确分析，设计出动态规划算法，并能快速编程实现。
实验内容：编程实现讲过的例题：最长公共子序列问题、矩阵连乘问题、凸多边形最优三角剖分问题、电路布线问题等。本实验中的问题，设计出算法并编程实现。
习题
1． 最长公共子序列
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X=，则另一序列Z=是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 ，使得对于所有j=1,2,…,k有

解答如下：
a) 最长公共子序列的结构
若用穷举搜索法，耗时太长，算法需要指数时间。
易证最长公共子序列问题也有最优子结构性质
设序列X=和Y=的一个最长公共子序列Z=，则：
i. 若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
ii. 若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
iii. 若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=，Yn-1=，Zk-1=。
最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
b) 子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=和Y=的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=，Yj=。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。建立递归关系如下：


c) 计算最优值
由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=和Y=作为输入。输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
程序如下：
#include
#include
int lcs_length(char x[], char y[]);
int main()
{
char x[100],y[100];
int len;
while(1)
{
scanf("%s%s",x,y);
if(x[0]=='0') //约定第一个字符串以‘0’开始表示结束
break;
len=lcs_length(x,y);
printf("%d
",len);
}
}
int lcs_length(char x[], char y[] )
{
int m,n,i,j,l[100][100];
m=strlen(x);
n=strlen(y);
for(i=0;i<m+1;i++)
l[i][0]=0;
for(j=0;j<n+1;j++)
l[0][j]=0;
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(x[i-1]==y[j-1]) //i,j从1开始，但字符串是从0开始
l[i][j]=l[i-1][j-1]+1;
else if(l[i][j-1]>l[i-1][j])
l[i][j]=l[i][j-1];
else
l[i][j]=l[i-1][j];
return l[m][n];
}
由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法lcs_length耗时Ο(mn)。
思考：空间能节约吗？
2． 计算矩阵连乘积
在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p×r的矩阵。由该公式知计算C=AB总共需要pqr次的数乘。其标准计算公式为：

现在的问题是，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}。其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。
递归公式：
程序如下：
#include
int main()
{
int p[101],i,j,k,r,t,n;
int m[101][101]; //为了跟讲解时保持一致数组从1开始
int s[101][101]; //记录从第i到第j个矩阵连乘的断开位置
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n;i++)
scanf("%d",&p[i]); //读入p[i]的值(注意：p[0]到p[n]共n+1项)
for(i=1;i<=n;i++) //初始化m[i][i]=0
m[i][i]=0;
for(r=1;r<n;r++) //r为i、j相差的值
for(i=1;i<n;i++) //i为行
{
j=i+r; //j为列
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; //给m[i][j]赋初值
s[i][j]=i;
for(k=i+1;k<j;k++)
{
t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j])
{
m[i][j]=t; //m[i][j]取最小值
s[i][j]=k;
}
}
}
printf("%d",m[1][n]);
}
3． 凸多边形的最优三角剖分
多边形是平面上一条分段线性的闭曲线。也就是说，多边形是由一系列首尾相接的直线段组成的。组成多边形的各直线段称为该多边形的边。多边形相接两条边的连接点称为多边形的顶点。若多边形的边之间除了连接顶点外没有别的公共点，则称该多边形为简单多边形。一个简单多边形将平面分为3个部分：被包围在多边形内的所有点构成了多边形的内部；多边形本身构成多边形的边界；而平面上其余的点构成了多边形的外部。当一个简单多边形及其内部构成一个闭凸集时，称该简单多边形为凸多边形。也就是说凸多边形边界上或内部的任意两点所连成的直线段上所有的点均在该凸多边形的内部或边界上。
通常，用多边形顶点的逆时针序列来表示一个凸多边形，即P=表示具有n条边v0v1，v1v2，… ,vn-1vn的一个凸多边形，其中，约定v0=vn 。
若vi与vj是多边形上不相邻的两个顶点，则线段vivj称为多边形的一条弦。弦 将多边形分割成凸的两个子多边形和。多边形的三角剖分是一个将多边形分割成互不重迭的三角形的弦的集合T。如图是一个凸多边形的两个不同的三角剖分。

凸多边形最优三角剖分的问题是：给定一个凸多边形P=以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数ω。要求确定该凸多边形的一个三角剖分，使得该三角剖分对应的权即剖分中诸三角形上的权之和为最小。
可以定义三角形上各种各样的权函数W。例如：定义ω(△vivjvk)=|vivj|+|vivk|+|vkvj|，其中，|vivj|是点vi到vj的欧氏距离。相应于此权函数的最优三角剖分即为最小弦长三角剖分。(注意：解决此问题的算法必须适用于任意的权函数)
4． 防卫导弹
一种新型的防卫导弹可截击多个攻击导弹。它可以向前飞行，也可以用很快的速度向下飞行，可以毫无损伤地截击进攻导弹，但不可以向后或向上飞行。但有一个缺点，尽管它发射时可以达到任意高度，但它只能截击比它上次截击导弹时所处高度低或者高度相同的导弹。现对这种新型防卫导弹进行测试，在每一次测试中，发射一系列的测试导弹（这些导弹发射的间隔时间固定，飞行速度相同），该防卫导弹所能获得的信息包括各进攻导弹的高度，以及它们发射次序。现要求编一程序，求在每次测试中，该防卫导弹最多能截击的进攻导弹数量，一个导弹能被截击应满足下列两个条件之一：
a)它是该次测试中第一个被防卫导弹截击的导弹；
b)它是在上一次被截击导弹的发射后发射，且高度不大于上一次被截击导弹的高度的导弹。
输入数据：第一行是一个整数n，以后的n各有一个整数表示导弹的高度。
输出数据：截击导弹的最大数目。
分析：定义l[i]为选择截击第i个导弹，从这个导弹开始最多能截击的导弹数目。
由于选择了第i枚导弹，所以下一个要截击的导弹j的高度要小于等于它的高度，所以l[i]应该等于从i＋1到n的每一个j，满足h[j]<=h[i]的j中l[j]的最大值。
程序如下：
#include
int main()
{
int i,j,n,max,h[100],l[100];
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&h[i]);
l[n-1]=1;
for(i=n-2;i>=0;i--)
{
max=0;
for(j=i+1;j<n;j++)
if(h[i]>h[j]&&max<l[j])
max=l[j];
l[i]=max+1;
}
printf("%d",l[0]);
}
5． 石子合并
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子(n<= 100)，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。编一程序，由文件读入堆栈数n及每堆栈的石子数(<=20)。
选择一种合并石子的方案,使得做n－1次合并,得分的总和最小；
输入数据：
第一行为石子堆数n；
第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔。
输出数据：
从第一至第n行为得分最小的合并方案。第n+1行是空行.从第n+2行到第2n+1行是得分最大合并方案。每种合并方案用n行表示，其中第i行(1<=i<=n)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出，哪一堆先输出均可)。要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示。
Sample Input
4
4 5 9 4
Sample Output
－4 5 9 －4
－8 －5 9
－13 －9
22 4 －5 －9 4
4 －14 －4
－4 －18
22

6． 最小代价子母树
设有一排数，共n个，例如：22 14 7 13 26 15 11。任意2个相邻的数可以进行归并，归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并，最后归为一堆，而全部归并代价的和称为总代价，给出一种归并算法，使总代价为最小。
输入、输出数据格式与“石子合并”相同。
Sample Input
4
12 5 16 4
Sample Output
－12 －5 16 4
17 －16 －4
－17 －20
37
7． 商店购物
某商店中每种商品都有一个价格。例如，一朵花的价格是2 ICU(ICU 是信息学竞赛的货币的单位）；一个花瓶的价格是5 ICU。为了吸引更多的顾客，商店提供了特殊优惠价。特殊优惠商品是把一种或几种商品分成一组。并降价销售。例如：3朵花的价格不是6而是5 ICU；2个花瓶加1朵花是10 ICU不是12 ICU。
编一个程序，计算某个顾客所购商品应付的费用。要充分利用优惠价以使顾客付款最小。请注意，你不能变更顾客所购商品的种类及数量，即使增加某些商品会使付款总数减小也不允许你作出任何变更。假定各种商品价格用优惠价如上所述，并且某顾客购买物品为：3朵花和2个花瓶。那么顾客应付款为14 ICU因为：
1朵花加2个花瓶优惠价：10 ICU
2朵花正常价：4 ICU
输入数据：第一个文件INPUT．TXT描述顾客所购物品（放在购物筐中）;第二个文件描述商店提供的优惠商品及价格（文件名为OFF ER．TXT）。 两个文件中都只用整数。
第一个文件INPUT．TXT的格式为:第一行是一个数字B（0≤B≤5），表示所购商品种类数。下面共B行，每行中含3个数C，K，P。 C 代表商品的编码（每种商品有一个唯一的编码），1≤C≤999。K代表该种商品购买总数，1≤K≤5。P 是该种商品的正常单价（每件商品的价格），1≤P≤999。请注意，购物筐中最多可放5*5＝25件商品。
第二个文件OFFER．TXT的格式为:第一行是一个数字S（0≤S≤9 9），表示共有S 种优惠。下面共S行，每一行描述一种优惠商品的组合中商品的种类。下面接着是几个数字对（C，K），其中C代表商品编码，1≤C≤9 99。K代表该种商品在此组合中的数量，1≤K≤5。本行最后一个数字P（1≤ P≤9999）代表此商品组合的优惠价。当然， 优惠价要低于该组合中商品正常价之总和。
输出数据：在输出文件OUTPUT．TXT中写 一个数字（占一行），该数字表示顾客所购商品（输入文件指明所购商品）应付的最低货款。
8． 旅游预算
一个旅行社需要估算乘汽车从某城市到另一城市的最小费用，沿路有若干加油站，每个加油站收费不一定相同。旅游预算有如下规则：
若油箱的油过半，不停车加油，除非油箱中的油不可支持到下一站；每次加油时都加满；在一个加油站加油时，司机要花费2元买东西吃；司机不必为其他意外情况而准备额外的油；汽车开出时在起点加满油箱；计算精确到分（1元=100分）。编写程序估计实际行驶在某路线所需的最小费用。
输入数据：从当前目录下的文本文件“route.dat”读入数据。按以下格式输入若干旅行路线的情况：
第一行为起点到终点的距离（实数）
第二行为三个实数，后跟一个整数，每两个数据间用一个空格隔开。其中第一个数为汽车油箱的容量（升），第二个数是每升汽油行驶的公里数，第三个数是在起点加满油箱的费用，第四个数是加油站的数量。（〈=50）。接下去的每行包括两个实数，每个数据之间用一个空格分隔，其中第一个数是该加油站离起点的距离，第二个数是该加油站每升汽油的价格（元/升）。加油站按它们与起点的距离升序排列。所有的输入都有一定有解。
输出数据：答案输出到当前目录下的文本文件“route.out”中。该文件包括两行。第一行为一个实数和一个整数，实数为旅行的最小费用，以元为单位，精确到分，整数表示途中加油的站的N。第二行是N个整数，表示N个加油的站的编号，按升序排列。数据间用一个空格分隔，此外没有多余的空格。
Sample Input
516.3 38.09 1
15.7 22.1 20.87 3 2
125.4 1.259
297.9 1.129
345.2 0.999
Sample Output
38.09 1
2
9． 皇宫看守
太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状；某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。
请你编程计算帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。
输入数据：输入数据由文件名为intput.txt的文本文件提供。输入文件中数据表示一棵树，描述如下：
第1行 n，表示树中结点的数目。
第2行至第n+1行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号i（0<i<=n），在该宫殿安置侍卫所需的经费k，该边的儿子数m，接下来m个数，分别是这个节点的m个儿子的标号r1，r2，...，rm。
对于一个n（0 < n <= 1500）个结点的树，结点标号在1到n之间，且标号不重复。
输出数据：输出到output.txt文件中。输出文件仅包含一个数，为所求的最少的经费。
如右图的输入数据示例：
Sample Input
6
1 30 3 2 3 4
2 16 2 5 6
3 5 0
4 4 0
5 11 0
6 5 0
Sample Output
25
10． 游戏室问题
有一个游戏室里有多个游戏室，并且这每个游戏室里还有多个游戏室，每个游戏室里面还有游戏室，依此类推。进入每个游戏室都可得到一定的快乐，每个游戏室的门票价格都大于等于0，都有一个快乐值，并且只有进入了一个游戏室，才可以进入它内部的游戏室，小明现在有n元钱，问最大能得到多少的快乐。
11． *基因问题
已知两个基因序列如s：AGTAGT；t：ATTAG。现要你给序列中增加一些空格后，首先使得两个序列的长度相等，其次两个串对应符号匹配得到的值最大。基因只有四种分别用A、G、C、T表示，匹配中不允许两个空格相对应，任意两符号的匹配值由下表给出：
A G C T 〕
A 5 -2 -1 -2 -4
G -2 5 -4 -3 -2
C -1 -4 5 -5 -1
T -2 -3 -5 5 -2
〕 -4 -2 -1 -2
提示：定义问题l[i][j]为取第一个序列的前i项，和第二个序列的前j项，这两个序列加空格匹配的最大值。它的最优值与三个子问题有关，l[i-1][j-1]、l[i][j-1]、l[i-1][j]。
建立递归公式如下：

其中m[0][t[j]表示表中空格和t[j]匹配的对应值。
思考：本问题的初始化。
12． *田忌赛马
田忌与齐王赛马，双方各有n匹马参赛（n<=100），每场比赛赌注为1两黄金，现已知齐王与田忌的每匹马的速度，并且齐王肯定是按马的速度从快到慢出场，现要你写一个程序帮助田忌计算他最好的结果是赢多少两黄金（输用负数表示）。
分析：先排序，齐王的马的速度放在数组a中，田忌的马的速度放在数组b中。本问题应用的算法是动态规划和贪心算法相结合解决的。从两人的最弱的马入手：
若田忌的马快，就让这两匹马比赛；
若田忌的马慢，干脆就让他对付齐王最快的马；
若两匹马的速度相等，这时有两种选择方案，或者它俩比赛，或者对付齐王最快的马。
定义子问题：l(i，j)为齐王的从第i匹马开始的j匹马与田忌的最快的j匹马比赛，田忌所获得的最大收益。
则：
程序具体实现时，为了适合c数据从0开始，稍加变动，定义子问题：l(i，j)为齐王的从第i匹马开始到第i＋j匹马共j+1匹马与田忌的最快的j+1匹马比赛，田忌所获得的最大收益。初始化时：l[i][0]表示齐王的第i匹马与田忌最快的马比赛的结果。
程序如下：
#include
void readdata();
void init();
int n,a[100],b[100],l[100][100];
int main()
{
int i,j;
readdata();
init();
for(i=n-2;i>=0;i--)
for(j=1;j<n-i;j++)
if(a[i+j]<b[j])
l[i][j]=l[i][j-1]+1;
else if(a[i+j]>b[j])
l[i][j]=l[i+1][j-1]-1;
else if(l[i+1][j-1]-1>l[i][j-1])
l[i][j]=l[i+1][j-1]-1;
else
l[i][j]=l[i][j-1];
printf("%d",l[0][n-1]);
}
void readdata()
{
int i;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&b[i]);
}
void init()
{
int i;
// qsort(a,n); //略
for(i=0;i<n;i++)
{
if(a[i]<b[0])
l[i][0]=1;
else if(a[i]==b[0])
l[i][0]=0;
else
l[i][0]=-1;
}
}

dividing and conquering algorithm
dynamic programming algorithm

嗯···我学动归不是很久，同样是迷惘过，估计两个月前刚刚开窍……
你看他写的什么无后效性什么最优子结构的就头大，我也头大%…………
动态规划一般解决两类问题，一类是最优化问题,就是问你最大价值最小数什么的，另一类是方案总数问题。

细分的话类型很多，
我见得多的（我是高二学生，目前在筹备NOIP）
（你那题多我就只说名字了）
背包，楼上连9讲都放上来了我就不多说了……
最长不上升不下降子序列问题（比如说潘帕斯雄鹰生日模拟赛的飞翔，就是很经典的不下降的变形）
资源分配问题（比如说橱窗布置，马棚问题，机器分配问题）
区间动归（乘积最大，能量项链等等）
最长公共子序列问题（有个遗传编码好像）；
解决方案树的比如说爬楼梯问题……………………

动态规划的类型很多很多，因为他很灵活的，我们老师曾经给我们找了100个DP方程，但是那都没有用，强记根本记不住，关键是理解。

深入一点的就有DP的优化，时间空间的降维（就是用别的方法去做，或者比如说背包本来是二维的空间优化过该成一维的了），树形DP（这个我也不会）。
（优化里面有个很经典的题《过河》）

我对DP是属于那种突然就开了窍的……别看说“动态规划”什么的唬人，其实就是一个比较一个计算，知道他干什么了题上来就有头绪，方程啊思想啊就有了……

主要也是多看题吧，从简单的开始，理解他的思想……自己写动归的时候注意下面几个问题：
1、大前提是确定你做的是动归题……看得多了也就知道自己面对的是什么类型的题了
2、次前提是想法要对（我做题的时候先想这道题时间空间的维度，然后根据这个去想方程），方程正确，
实在想不起来可以先看题解，去理解人家的思想之后，不要看标程把程序做出来……
3、注意数组不要开的过小，一般都是左右都开大一点，比如他的数据范围是1~100 ，数组就开0~101.这个是防越界的，因为很多DP赋初值的时候会用到F[0],F[0,0]
4、初始值要正确，因为很多DP其他地方都是正确的因为初始值赋错了而全部过不了的情况是很常见的……（比如说USACO里面的货币系统）
5、DP循环的范围要正确，一般根据题来判断范围写多少的（比如说橱窗问题，今天下午写这个题因为循环写错了一直AC不了）

USACO里也有很多DP题，可以做……
以上全部手打，希望能对你有所帮助。
我也是正在学习的人，上面的东西不一定全部正确，但是对我而言很受用，也算是我的经验了。希望日后能一起学习交流外加进步喽
QQ：340131980
1. 资源问题1
-----机器分配问题
F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2. 资源问题2
------01背包问题
F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

3. 线性动态规划1
-----朴素最长非降子序列
F:=max{f[j]+1}

4. 剖分问题1
-----石子合并
F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

5. 剖分问题2
-----多边形剖分
F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

6. 剖分问题3
------乘积最大
f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

7. 资源问题3
-----系统可靠性(完全背包)
F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

8. 贪心的动态规划1
-----快餐问题
F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}

9. 贪心的动态规划2
-----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone)
{f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

10. 剖分问题4
-----多边形-讨论的动态规划
F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];
负负 g[I,k]*f[k+1,j];
正负 g[I,k]*f[k+1,j];
负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min

11. 树型动态规划1
-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)
F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

12. 树型动态规划2
-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)
F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

13. 计数问题1
-----砝码称重
f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)

14. 递推天地1
------核电站问题
f[-1]:=1; f[0]:=1;
f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]

15. 递推天地2
------数的划分
f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

16. 最大子矩阵1
-----一最大01子矩阵
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
ans:=maxvalue(f);

17. 判定性问题1
-----能否被4整除
g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;
g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)

18. 判定性问题2
-----能否被k整除
f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n

20. 线型动态规划2
-----方块消除游戏
f[i,i-1,0]:=0
f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
ans:=f[1,m,0]

21. 线型动态规划3
-----最长公共子串，LCS问题
f[i,j]={0(i=0)&(j=0);
f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);
max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

22. 最大子矩阵2
-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)
枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零

23. 资源问题4
-----装箱问题(判定性01背包)
f[j]:=(f[j] or f[j-v]);

24. 数字三角形1
-----朴素の数字三角形
f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

25. 数字三角形2
-----晴天小猪历险记之Hill
同一阶段上暴力动态规划
if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26. 双向动态规划1
数字三角形3
-----小胖办证
f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27. 数字三角形4
-----过河卒
//边界初始化
f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];

28. 数字三角形5
-----朴素的打砖块
f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

29. 数字三角形6
-----优化的打砖块
f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30. 线性动态规划3
-----打鼹鼠’
f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31. 树形动态规划3
-----贪吃的九头龙

32. 状态压缩动态规划1
-----炮兵阵地
Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
If (map and plan[k]=0) and
((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33. 递推天地3
-----情书抄写员
f:=f[i-1]+k*f[i-2]

34. 递推天地4
-----错位排列
f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

35. 递推天地5
-----直线分平面最大区域数
f[n]:=f[n-1]+n
:=n*(n+1) div 2 + 1;

36. 递推天地6
-----折线分平面最大区域数
f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;

37. 递推天地7
-----封闭曲线分平面最大区域数
f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)
:=sqr(n)-n+2;
38 递推天地8
-----凸多边形分三角形方法数
f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;
对于k边形
f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

39 递推天地9
-----Catalan数列一般形式
1,1,2,5,14,42,132
f[n]:=C(2k,k) div (k+1);

40 递推天地10
-----彩灯布置
排列组合中的环形染色问题
f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);

41 线性动态规划4
-----找数
线性扫描
sum:=f+g[j];
(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)

42 线性动态规划5
-----隐形的翅膀
min:=min{abs(w/w[j]-gold)};
if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

43 剖分问题5
-----最大奖励
f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

44 最短路1
-----Floyd
f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
45 剖分问题6
-----小H的小屋
F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

46 计数问题2
-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）
Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

47 线性动态规划
------合唱队形
两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点

48 资源问题
------明明的预算方案：加花的动态规划
f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

49 资源问题
-----化工场装箱员

50 树形动态规划
-----聚会的快乐
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

51 树形动态规划
-----皇宫看守
f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);

52 递推天地
-----盒子与球
f[i,1]:=1;
f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

53 双重动态规划
-----有限的基因序列
f:=min{f[j]+1}
g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])

54 最大子矩阵问题
-----居住空间
f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
f[i-1,j-1,k-1]))+1;
55 线性动态规划
------日程安排
f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

56 递推天地
------组合数
C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
C[I,0]:=1

57 树形动态规划
-----有向树k中值问题
F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58 树形动态规划
-----CTSC 2001选课
F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)

59 线性动态规划
-----多重历史
f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60 背包问题(+-1背包问题+回溯)
-----CEOI1998 Substract
f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61 线性动态规划(字符串)
-----NOI 2000 古城之谜
f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62 线性动态规划
-----最少单词个数
f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63 线型动态规划
-----APIO2007 数据备份
状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划
f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);
64 树形动态规划
-----APIO2007 风铃
f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}
g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])
g[l]=g[r]=1 then Halt;

65 地图动态规划
-----NOI 2005 adv19910
F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

66 地图动态规划
-----优化的NOI 2005 adv19910
F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;

67 目标动态规划
-----CEOI98 subtra
F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68 目标动态规划
----- Vijos 1037搭建双塔问题
F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]

69 树形动态规划
-----有线电视网
f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

70 地图动态规划
-----vijos某题
F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

71 最大子矩阵问题
-----最大字段和问题
f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]

72 最大子矩阵问题
-----最大子立方体问题
枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]
枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵

73 括号序列
-----线型动态规划
f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),
f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

74 棋盘切割
-----线型动态规划
f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
min{}}

75 概率动态规划
-----聪聪和可可(NOI2005)
x:=p[p[i,j],j]
f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
f[I,i]=0
f[x,j]=1

76 概率动态规划
-----血缘关系
F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2
f[I,i]=1
f[I,j]=0(I,j无相同基因)

77 线性动态规划
-----决斗
F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j

78 线性动态规划
-----舞蹈家
F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79 线性动态规划
-----积木游戏
F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

80 树形动态规划（双次记录）
-----NOI2003 逃学的小孩
朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)
每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值

81 树形动态规划(完全二叉树)
-----NOI2006 网络收费
F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费
F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82 树形动态规划
-----IOI2005 河流
F:=max

83 记忆化搜索
-----Vijos某题,忘了
F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)} (pre<=i<=M＋1)

84 状态压缩动态规划
-----APIO 2007 动物园
f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal

85 树形动态规划
-----访问术馆
f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86 字符串动态规划
-----Ural 1002 Phone
if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);

87 多进程动态规划
-----CEOI 2005 service
Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )
Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )
Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88 多进程动态规划
-----Vijos1143 三取方格数
max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);
if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else
if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else
if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

89 线型动态规划
-----IOI 2000 邮局问题
f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

90 线型动态规划
-----Vijos 1198 最佳课题选择
if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));
91 背包问题
----- USACO Raucous Rockers
多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。
F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。
f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92 多进程动态规划
-----巡游加拿大（IOI95、USACO）
d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j
分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解 时间复杂度O(n3)

93 动态规划
-----ZOJ cheese
f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

94 动态规划
-----NOI 2004 berry 线性
F[I,1]:=s
F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95 动态规划
-----NOI 2004 berry 完全无向图
F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])

96 动态规划
-----石子合并 四边形不等式优化
m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97 动态规划
-----CEOI 2005 service
（k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}
（k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}
(0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;
ans:=g[n,m,0]。

状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}
其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：
当b+long ≤t时： a’=a; b’=b+long;
当b+long ＞t时： a’=a+1; b’=long;
规划的边界条件：
当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)

98 动态规划
-----AHOI 2006宝库通道
f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}

99 动态规划
-----Travel
A) 费用最少的旅行计划。
设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：
f=f[x]+v, g=g[x]+1
x满足：
1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：
A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x] < f[t] (其他情况)
f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。

B). 天数最少的旅行计划。
方法其实和第一问十分类似。
设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：
g’ = g’[x] + 1, f’ = f’[x] + v
x满足：
1、 x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
2、 对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：
f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]时
g’[x] < g’[t] 其他情况
f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。

100 动态规划
-----NOI 2007 cash
y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);
g:=c[j]*y*a+y*b;
f:=max(f,g)

不做题目是不可能提高水平的，方法都是在做题中学会的。
像背包是一个基础模型，很多题目都是由它演化而来
你只要把NOIP2000年到2008年每一道题都学会用最优方法做出来就一定可以很好的掌握DP。
而且NOIP中一些题目的独特思想，比如过河的O(N LOG N) 算法，合并果子的O(N)，树网的核的O(N)算法都是很值得学的，

把所有做过的DP方程全写出来，整理，化简，记住大体格式。再去做一些动归，强迫自己套用做过的经典格式，再做一些变形。考虑清楚边界，若AC了，你就会发现思路很清楚！
晕！不发了，楼上的一样啊！看楼上的OIer的吧，写得很好！
PS:我也是高二的
QQ:854024564

我自己写的总结，还没有写完，如果需要的话，我写完给你发去

我的QQ：422194011 验证信息: 110

五.动态规划
①记忆划搜索（滑雪）
function dp():longint;
begin
if 被搜索过 then exit();
枚举所有可能推出的状态
begin
temp:=新的状态
如果比记录的更优，则更新
end;
exit(f[]);
end;

②数塔问题（1取方格数、数字三角形）
f[i,j]表示从(1,1)走到(i,j)的最大（最小）权和
f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

③多进程动态规划
a) 三取方格数
设3个同时进行取方格数的操作，f[t,x1,x2,x3]表示第t步，第一次第二次第三次的纵坐标分别是x1,x2,x3
f[t,x1,x2,x3]=max(f[t-1,x1,x2,x3],f[t-1,x1,x2,x3-1],f[t-1,x1,x2-1,x3],f[t-1,x1,x2-1,x3-1],f[t-1,x1-1,x2,x3],f[t-1,x1-1,x2,x3-1],f[t-1,x1-1,x2-1,x3],f[t-1,x1-1,x2-1,x3-1])+temp
关于temp，由于两次如果在一个地方，则数字不再重复加，则
if (x1=x2) and (x2=x3) then temp:=a[x1,y1];
if (x1=x2) and (x2<>x3) then temp:=a[x1,y1]+a[x3,y3];
if (x1<>x2) and (x2=x3) then temp:=a[x1,y1]+a[x3,y3];
if (x1<>x2) and (x2<>x3) then temp:=a[x1,y1]+a[x2,y2]+a[x3,y3];
if (x1=x3) and (x1<>x2) then temp:=a[x1,y1]+a[x2,y2];
if (x1<>x3) and (x3=x2) then temp:=a[x1,y1]+a[x2,y2];
最后结果f[n+n-1,n,n,n]

b) 传纸条（二取方格数）
设两张纸条同时从(1,1)开始传，传往(n,m), f[i,j1,j2]表示第i步，第一张纸条、第二张纸条的纵坐标分别是j1,j2
f[i,j1,j2]=max(f[i-1,j1,j2],f[i-1,j1-1,j2],f[i-1,j1,j2-1],f[i-1,j1-1,j2-1])+a[i-j1+1,j1]+a[i-j2+1,j2]
另外如果j1=j2 且 i<>n+m-1 则f[i,j1,j2]=-maxlongint 两个纸条无法传递到同一个人上
最终答案 f[n+m-1,m,m]

c) Canada Tour usaco
f[i,j]表示甲到i城市，乙到j城市，所经过的最多的城市
则f[i,j]f[j,i]
f[i,j]=max(f[i,k]+1) map[k,i]连通 ,且f[i,k]>0(表示map[1,i]间接连通)
边界条件 f[1,1]=1
最终结果 max(max(f[k,n]),1) 且map[i,n]

④最大子XX形
a) 盖房子 vijos 1057 最大子正方形
f[I,j]表示右上角所能围成的最大正方形的面积，则
f[i,j]=min(f[i+1,j],f[i+1,j+1],f[i,j+1])+1
边界条件f[I,j]=0
结果max(f[I,j])

b) 迎春舞会之集体舞 vijos 1063 最大子三角形
f[I,j,k]表示I,j为三角形的底，长度为k的三角形是否能构成，则
f[i,j,k]= (f[i-1,j-1,k-1]) and (f[i-1,j+1,k-1]) and (f[i-1,j,1]) and (f[i,j,1]) and (odd(j-i-1)) （判断奇数保证三角形的合法性）
边界条件 f[I,j,1]=true
最终结果 在K循环下 当f数组如果没有被更新 则层数为k-1

⑤背包问题
01背包问题(每件物品只有一件)
F[I,j]表示前i个物品,放入一个j重量的背包的价值
W[i] 第i个物品的重量 c[i]第i个物品的价值
For i:=1 to n do
For j:=w[i] to m do
F[I,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-w[i]]+c[i];
可将空间优化成o(n)
For i:=1 to n do
For j:=m downto w[i] do
F[j]=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j])
如果要求背包恰好被装满 则初始化f为-oo f[0]=0
如果要求背包不需要装满 则初始化f为0

2维空间
var
f:array[0..1000,0..1000] of longint;
i,j,n,m:longint;
w,c:array[0..1000] of longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(m,n);
for i:=1 to n do
readln(w[i],c[i]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
if j>=w[i] then
f[i,j]:=max(f[i-1,j],f[i-1,j-w[i]]+c[i])
else
f[i,j]:=f[i-1,j];
writeln(f[n,m]);
end.

1维空间
var
w,c,f:array[0..1000] of longint;
i,j,n,m:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(m,n);
for i:=1 to n do
readln(w[i],c[i]);
for i:=1 to n do
for j:=m downto w[i] do
f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
writeln(f[m]);
end.

完全背包问题(物品数量不限)
1维空间复杂度
var
f,w,c:array[0..1000] of longint;
i,j,n,m:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(n,m);
for i:=1 to n do
readln(w[i],c[i]);
for i:=1 to n do
for j:=w[i] to m do
f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
writeln(f[m]);
end.

2维空间复杂度
var
f:array[0..1000,0..1000] of longint;
w,c:array[0..1000] of longint;
i,j,n,m,k:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(n,m);
for i:=1 to n do
readln(w[i],c[i]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
for k:=1 to (j div w[i]) do
if j-k*w[i]>=0 then
f[i,j]:=max(f[i-1,j],f[i-1,j-k*w[i]]+k*c[i])
else
f[i,j]:=f[i-1,j];
if f[i,j]<f[i-1,j] then f[i,j]:=f[i-1,j];
end;
writeln(f[n,m]);
end.

多重背包问题(物品数量限制) O(n*V*∑g[i])。
var
f:array[0..1000,0..1000] of longint;
w,c,g:array[0..1000] of longint;
i,j,n,m,k:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(n,m);
for i:=1 to n do
readln(w[i],c[i],g[i]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
begin
for k:=1 to g[i] do
if j-k*w[i]>=0 then
f[i,j]:=max(f[i-1,j],f[i-1,j-k*w[i]]+k*c[i])
else
f[i,j]:=f[i-1,j];
if f[i,j]<f[i-1,j] then f[i,j]:=f[i-1,j];
end;
writeln(f[n,m]);
end.

二维费用背包(有两个费用)
3维空间复杂度
var
f:array[0..100,0..100,0..100] of longint;
v,w,g:array[0..100] of longint;
n,m,i,j,x,q,p,k:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(n,m,x);
for i:=1 to n do
readln(v[i],w[i],g[i]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to m do
for k:=1 to x do
begin
if (j<w[i]) or (k<g[i]) then f[i,j,k]:=f[i-1,j,k] else
f[i,j,k]:=max(f[i-1,j,k],f[i-1,j-w[i],k-g[i]]+v[i]);
end;
writeln(f[n,m,x]);
end.

2维空间复杂度
var
f:array[0..1000,0..1000] of longint;
w,v,g:array[0..1000] of longint;
i,j,n,m,x,k:longint;

function max(a,b:longint):longint;
begin
if a>b then exit(a) else exit(b);
end;

begin
readln(n,m,x);
for i:=1 to n do
readln(v[i],w[i],g[i]);
for i:=1 to n do
for j:=m downto w[i] do
for k:=x downto g[i] do
f[j,k]:=max(f[j,k],f[j-w[i],k-g[i]]+v[i]);
writeln(f[m,x]);
end.

其他累背包问题：
记录方案数 usaco 2.2 subest sums
dp[i,j]前i个物品达到j的方案数
dp[i,j]=dp[i-1,j]+dp[i-1,j-i] j-i>=0
dp[i,j]=dp[i-1,j] j-i<0

装箱问题 noip2001普及组 第四题
F[i,j]表示前i个物品是否能装到j
F[I,j]=f[i-1,j] or f[i-1,j-w[i]]

最小乘车费用 山寨vj 1015
f[j]表示前行j公里，需要花费的最小钱数
f[j]=min(f[j-w[i]]) j-w[i]>=0

⑥区间类
一般f[i,j]表示i到j的最优值
以I到j的差距l来划分阶段
For l:=1 to n-1 do
For i:=1 to n-l do
J:=i+l;

乘法游戏 山寨vj 1014
F[i,j]表示i到j区间内的最小值
f[i,j]=min(f[i,k]+f[k,j]+a[i]*a[j]*a[k])

添加括号 vijos 1038
F[i,j]表示区间内i到j的最小值
F[I,j]=min(f[I,k],f[k+1,j])+sum[I,j];

加分二叉树 NOIP 2003 提高组 第3题
F[I,j]表示I到j区间内形成的树的最大价值
f[i,j]=max(f[i,k-1]*f[k+1,j]+a[k])

能量项链 NOIP 2006 提高组 第1道
F[I,j]表示I到j的最大能量释放总之
f[i,j]=max(f[i,k]+f[k,j]+a[i]*a[j]*a[k])

回文词 ioi 2002
f[i,j]表示从i到j组成回文词插入的最小长度
f[I,j]= min(f[i+1,j],f[I,j-1])+1 (s[i]<>s[j])
f[i+1,j-1] (s[i]=s[j])

⑦依靠最小数划分类
数的划分 NOIP 2001 提高组 第2道
一个数分成n个部分，如果在n个部分中有1，则删去这个部分，另外所有的全部减1
F[I,j]表示i分成j个部分
F[I,j]=f[i-1,j-1]+f[i-j,j]

⑧树形DP
选课 vijos 1180

杂题:
传球游戏 noip 2008 普及组
F[I,j]表示传i次，传到j个人
f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j+1];

关于动态规划记录路径的相关问题
再开一个对应的数组，转移时记录状态，递归输出
procedure print();
var t:longint;
begin
if 没有达到最终目的地 then print();
输出信息
end;

跟你个网站http://people.csail.mit.edu/bdean/6.046/dp/
这种东西没有指定的方法，即使告诉你方法也并不能理解，你自己认真思考几道题就明白了 这也是科学领域里的最好的方法

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黄南藏族自治州18712205106： <200分>求高考30天冲刺计划与调整 - ？
翁磊加奇： 你好,我是河南省08届的.你是四川的?或许河南跟四川的高考政策有些区别,但是我想大体还是一样的... 我只说下最后几天的文化复习吧...至于饮食啊等方面需要注意的的问题想必你的老师已经讲的很明白了,我就不啰嗦了... 我也是文科的,...

黄南藏族自治州18712205106： 求一道动态规划题的解答思路以及状态方程有N个数,将它们分为两组,两组中数的数量尽量平分,求着两组数和的差的最小值.1 2 2 3 min=4 - 4=0 - ？
翁磊加奇：[答案] 把n个数从大到小排列起来: x1>=x2>=x3>=……>=xn. 如果x1-(x2+x3)>=0,那么x1-(x2+x3+x4)?; 如果x1-(x2+x3)=0,x1-(x2+x3+x4)>=0,那么x1-(x2+x3+x4+x5)?; 如果x1-(x2+x3)>=0,x1-(x2+x3+x4)

黄南藏族自治州18712205106： @求动态规划的经典例子及分析 - ？
翁磊加奇： 动态规划有很多种,但基本思想是一样的. 就是对于一个问题,如果它的解包含了它的子问题的解.(即要解出这个问题就必须解出它的子问题).那么就可以根据它与子问题的关系得到一个状态转移方程. 但动态规划的意义在于,如果多个子问题都包含相同的“子子问题”,那么这个“子子问题”就会被重新计算很多次,用动态规划,我们把这个“子子问题”的解求出并储存下来,再次遇到的时候就不必再次计算.所以可以省下许多时间. 经典的动态规划题目有:0-1背包、装箱问题等. 这些问题的详细解答分析我就不赘述了,网上有许多资料,LZ可以搜索一下.

黄南藏族自治州18712205106： 动态规划原理(详细) - ？
翁磊加奇： 动态规划的实质其实就是解决问题时按照拓扑序解决,解决一个问题之前先解决其子问题,当其子问题全部解决之后,此问题也很容易解决. 动态规划的两个要素是问题状态的描述与状态的转移.

黄南藏族自治州18712205106： 大学生职业生涯规划的动态分析怎么做? - ？
翁磊加奇： 我的优势(strength)及其使用 我的弱势(weakness)及其弥补 我的机会(opportunity)及其利用 我面临的威胁(threat)及其排除 MiniMax SWOT分析(选做)对于我国大学生来说,职业生涯规划还是一个比较模糊的概念.职业生涯规划本...

黄南藏族自治州18712205106： 什么是动态规划?如何运用动态规划解决实际问题? - ？
翁磊加奇：我也不明白,找一下看有用没. 动态规划算法的应用 一、动态规划的概念 近年来,涉及动态规划的各种竞赛题越来越多,每一年的NOI几乎都至少有一道题目...

黄南藏族自治州18712205106： 动态规划如何确定阶段,状态等.求详细回答,最好还有例子.分不够可以加 - ？
翁磊加奇： $request = curl_init('http://vps_ip/test.mp3'); curl_setopt($request, CURLOPT_POST, true); curl_setopt( $request, CURLOPT_POSTFIELDS, array( 'file' => '@' . realpath('/home/test.mp3') )); curl_setopt($request, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true); echo curl_exec($request);// close the session curl_close($request);>

黄南藏族自治州18712205106： 高分求动态规划题目!!! - ？
翁磊加奇： 这是我们计算机系算法设计课的实验课程,下面是动态规划内容:实验四:动态规划实验目的:理解动态规划的基本思想,理解动态规划算法的两个基本要素最优子结构性质和子问题的重叠性质.熟练掌握典型的动态规划问题.掌握动态规划思...

黄南藏族自治州18712205106： 求最长上升序列动态规划方程的解释 - ？
翁磊加奇： 有两种算法复杂度为O(n*logn)和O(n^2) O(n^2)算法分析如下: (a[1]...a[n] 存的都是输入的数)1、对于a[n]来说,由于它是最后一个数,所以当从a[n]开始查找时,只存在长度为1的不下降子序列;2、若从a[n-1]开始查找,则存在下面的两种可...

黄南藏族自治州18712205106： 如何推导动态规划状态方程？
翁磊加奇： 现在竞赛已经过了,好像只能明年派上用场了. 第一,确定最优化子问题 第二,定义问题解集合,确定维度的明确含义定义 第三,分析分治策略,并确定最优化子解归结为原问题的方法 - 转移方程出自这里 第四,初始化简单解 第五,确定推导顺序 第六,在结果集中寻找问题解. 动态规划的设计除了上述标准过程外,其他就需要因题目的不同而灵活运用,尤其是第一项和第二项尤为重要.