初二数学勾股定理题目
假如三角形ABC为直角三角形,∠C=90度,那么AC的平方加上BC的平方等于AC的平方。简单的说就是两个直角边的平方和(先平方,再相加)等于斜边的平方。有两种特殊的直角三角形是有公式的。当一个角为45度的直角三角形(也就是等腰直角三角形),三边分别为 1 1 根号2(抱歉我打不出根号),当一个角为30度的直角三角形,三边(顺序为短直角边,长直角边、斜边)分别为1 根号3 2 、3 4 5、6 8 10 、5 12 13等
教学目标
1.了解勾股定理的证明,掌握勾股定理的内容,初步会用它进行有关的计算、作图和证明.
2.通过勾股定理的应用,培养方程的思想和逻辑推理能力.
3.对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究,对学生进行爱国主义教育.
教学重点与难点
重点是勾股定理的应用;难点是勾股定理的证明及应用.
教学过程设计
一、激发兴趣引入课题
通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系,并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的,激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感,引入课题.
二、勾股定理的探索,证明过程及命名
1.猜想结论.
勾股定理叙述的内容是什么呢?请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.
教师用计算机演示:
(1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b和 c, ∠ACB= 90°,使△ABC运动起来,但始终保持∠ACB=90°,如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等.
(2)在以上过程中,始终测算a2,b2,c2,各取以上典型运动的某一两个状态的测算值(约7~8个)列成表格,让学生观察三个数之间有何数量关系,得出猜想.
(3)对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系,因此它是直角三角形所特有的性质.让学生用语言来叙述他的猜想,画图及写出已知、求证.
2.证明猜想.
目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种,连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法(见课本第109页图(4)),而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法,下面咱们采纳其中一种(教师制作教具演示,见如图3-151)来进行证明.
3.勾股定理的命名.
我国称这个结论为“勾股定理”,西方称它为“毕达哥拉斯定理”,为什么呢?
(1)介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载;
(2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发现了勾股定理;
(3)对比以上事实对学生进行爱国主义教育,激励他们奋发向上.
三、勾股定理的应用
1.已知直角三角形任两边求第三边.
例 1在 Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c.
(1)a= 6,b=8求c及斜边上的高;(2)a=40,c=41,求 b;(3)b=15 ,=25求 a;(4)a:b=3:4,c=15,求b.
说明:对于(1),让学生总结基本图形(图3-153)中利用面积求斜边上高的基本方法;对于(4),引导学生利用方程的思想来解决问题.
教师板书(1),(4)的规范过程,让学生练习(2),(3).
例2求图3-152所示(单位mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离(精确到0.lmm).
教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件,出示投影.
练习 1投影显示: (1)在等腰 Rt△ABC中, ∠C=90°, AC:BC:AB=__________;
(2)如图 3- 153 ∠ACB =90°,∠A= 30°,则BC:AC:AB=___________;若AB=8,则AC=_____________;又若CD⊥AB,则CD=______________.
(3)等边出△ABC的边长为 a,则高AD=__________,
S △ABC=______________
说明:
(1)学会利用方程的思想来解决问题.
(2)通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论:
①等腰直角三角形三边比为1:1:;
②含30°角的直角三角形三边之比为1::2;
③边长为a的等边三角形的高为a,面积为
(板书)例 3 如图 3-154, AB=AC=20, BC=32,△DAC= 90°.求 BD的长.
分析:
(1)分解基本图形,图中有等腰△ABC和
Rt△ADC;
(2)添辅助线——等腰△ABC底边上的高
AE,同时它也是Rt△ADC斜边上的高;
(3)设BD为X.利用图3-153中的基本关系,
通过列方程来解决.教师板书详细过程.
解 作AE⊥BC于E.设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2,将上式代入,得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2,即2AC2=DC2+EC2-DE2.
∴2×202=(32-x)2+162-(16-x)2,解得x=7.
2.利用勾股定理作图.
例4 作长为的线段.
说明:按课本第101页分析作图即可,强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长.
3.利用勾股定理证明.
例5 如图3-155,△ABC中,CD⊥AB于D,AC>BC.
求证:AC2-BC2=AD2-BD2=AB(AD-BD).
分析:
(1) 分解出直角三角形使用勾股定理.
Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2;Rt△BCD中,BC2=CD2+BD2.
(2) 利用代数中的恒等变形技巧进行整理:
AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)
=AD2-BD2
=(AD+BD)(AD-BD)
=AB(AD-BD).
例6 已知:如图3-156,Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点,DE⊥AB于E,求证:AC2=AE2-BE2.
分析:添加辅助线———连结AD,构造出两个新直角三角形,选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明.
4.供选用例题.
(1) 如图3-157,在Rt△ABC中 ,∠C=90°,∠A=15°,BC=1.求△ABC的面积.
提示:添加辅助线——BA的中垂线DE交BA于D,交AC于E,连结BE,构造出含30°角的直角三角形BCE,同时利用勾股定理解决,或直接在∠ABC内作∠ABE=15°,交CA边于E.
(2) 如图3-158,△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,BC=8.求AC边的长.
分析:添加辅助线——作CD⊥AB于D,构造含45°,30°角的直角三角形列方程解决问题.
(3)如图3-159(a),在四边形ABCD中,∠B=
∠D=90°,∠C=60°,AD=1,BC=2,求AB,CD.
提示:添加辅助线——延长BA,CD交于E,构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题(见图3-159(b)).或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题.(见图3-159(c))
答案:AB=23-2,CD=4-3.
(4)已知:3-160(a),矩形ABCD.(四个角是直角)
①P为矩形内一点,求证PA2+ PC2= PB2+ PD2
②探索P运动到AD边上(图3-160(b))、矩形ABCD外(图3-160(C))时,结论是否仍然成立.
分析:
(1)添加辅助线——过P作EF⊥BC交AD干E,交BC于F.在四个直角三角形中分别
使用勾股定理.
(2)可将三个题归纳成一个命题如下:
矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等.
四、师生共同回忆小结
1.勾股定理的内容及证明方法.
2.勾股定理的作用:它能把三角形的形的特征(一角为90°)转化为数量关系,即三边满足a2+b2=c2.
3.利用勾股定理进行有关计算和证明时,要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段
长;利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理.
五、作业
1. 课本第106页第2~8题.
2.阅读课本第109页的读一读:勾股定理的证明.
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成.
1.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是直角三角形的一个重要性质.本教学设计利用计算机(几何画板软件动态显示)的优越条件,提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形,让学生观察分析,归纳概括,探索出直角三角形三边之间的关系式,并通过与锐角、钝角三角形的对比,强调直角三角形的这个特有性质,体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法.
2. 各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课.
(1)复习三角形三边的关系,总结出规律:较小两边的和大于第三边.
(2)引导学生类比联想:较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢?
(3)举出三个事例(见图3-161(a)(b)( c)).
对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方,直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方.
(4)用教具演示图3-151,验证对直角三角形所做的猜想.
教学目的:1、会阐述勾股定理的逆定理
2、会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形
3、能正确、灵活的应用勾股定理及勾股的逆定理
教学重点:勾股定理逆定理的应用
教学难点:勾股定理逆定理的证明
教学方法:讲练结合
教学过程:
一、复习提问
1、 勾股定理的文字语言
2、 勾股定理的几何符号语言
3、 勾股定理的作用
4、 填空:已知一直角三角形的两边是5和12,则第三边的长是 。
二、导入新课
勾股定理是一个命题,任何命题都有逆命题,它的逆命题是什么?
三、讲解新课
勾股定理的逆定理的文字语言:如果三角形的三边长:a、b、c有关系,a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
命题有真假之分,它是否为真命题,首先必须证明。
已知:在ΔABC中,AB=c,BC=a,CA=b,并且a2+b2=c2
求证:∠C=90º
分析:证明一个角为90º,可以证AC⊥BC
也可以利用书本上的方法证明,自学
通过证明,勾股定理的逆命题是个真命题,即勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理的几何符号语言:在ΔABC中∵ a2+b2=c2 (或c2-a2 = b2 )
∴∠C=90º(勾股定理的逆定理)
强调:只要满足上述关系,它必定是直角三角形,且较长的边是斜边,它所对的角是直角。
例如:三边长分别为3、4、5,能否组成直角三角形,5、12、13呢?9、40、41呢?
勾股数:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数)
书本102—103页,划出定义,完成作业103页1、3
例1 ΔABC的三边分别为下列各组值,能组成直角三角形的打“√”,并指出哪个是直角,否则打“×”
⑴a=1、b= 、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n>1)
⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m>n)m、n为正整数
解⑴ ∵12+12=( )2 ∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=(1.2)2
∴ ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑶⑷⑸解略。
强调:对于数字较大,可以利用平方差公式,达到简便运算。
例2 已知:如图,AD=3,AB=4,∠BAD=90º,BC=12,CD=13,
求四边形ABCD的面积.
分析:连结BD,求出BD=5,
∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90º
∴四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBD的面积
解:略
例2 已知:如图,在ΔABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD2•BD
求证:ΔABC是直角三角形
分析:要证ΔABC是直角三角形
只要证AC2+BC2=AB2
在RtΔACD中,∵∠ACD=90º
∴AC2=AD2+CD2
同理可证,BC2=CD2+BD2
∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2
=(AD+BD)2
∴ΔABC是直角三角形
请学生自己完成证明过程。
三、课堂小结
1、 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,勾股定理为性质定理,他们互为逆定理
2、 勾股定理的逆定理的作用是用来判定一个三角形是否为直角三角形?
过C点作AD⊥AB,设垂足为D
∴CD是点C到直线AB最短的距离
∵角BAC=45°
∴角DCA=45°
∴AD=CD
在直角三角形ADC中,角ADC=90°
CD=1000
1000>800
∴该拖拉机对中学C没有影响
设正方形的边长为X
在直角三角形EBC中,BC=X,EB=X/2
根据勾股定理,CE长度的平方=X^2+X^2/4=5X^2/4=20X^2/16
在直角三角形AEF中,AF=X/4,AE=X/2
根据勾股定理,FE长度的平方=5X^2/16
在直角三角形FDC中,DC=X,DF=3X/4
根据勾股定理,CF长度的平方=25X^2/16
在三角形CEF中,CF的平方=EF的平方+CE的平方
所以这是个直角三角形
无 c 点到 ab 垂直距离是 1000 影藏量 角bac 为45度
作CD垂直于AB,用勾股定理求CD,应该是1000,没有影响。(哪各学校的?在无锡吗?)回答者Alex
问2道关于勾股定理的题目,初二的
C=8 B=7 12.0厘米
请帮忙解决一下初二数学题勾股定理的 题目:已知Rt三角形ABC中,角C...
请帮忙解决一下初二数学题勾股定理的题目:已知Rt三角形ABC中,角C等于90度,AC等于3,BC等于9。DE是AB的垂直平分线,求EC长。... 请帮忙解决一下初二数学题勾股定理的 题目:已知Rt三角形ABC中,角C等于90度,AC等于3,BC等于9。DE是AB的垂直平分线,求EC长。 展开 2...
求这两道勾股定理题目的解题过程~
斜边叫2R3 所以,4(R1*R1)+4(R2*R2)=4(R3*R3)所以R1平方加R2平方等于R3平方 因为,一个半圆面积叫S,等于二分之一R平方乘π 所以变式可得S1+S2=S3 也就是两个小半圆面积之和等于大半圆。12题:与上题一样的设法,得S1+S2=S3 S阴影=S1+S2+S三角形—S3=S三角形=20 ...
初二数学勾股定理求小汽车超速的题目怎么做
解:依题意得AB=50mAC=30m由勾股定理得BC=40m40\/2=20m\/s=72km\/h∵小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km\/h。∴这辆小汽车超速了。
一道勾股定理的数学题
画好图形后,分析题目:A市会受到台风影响,因为从图上看,BA长300km,而三角形BCA是直角三角形,且角B=30度,所以根据勾股定理可以求得AC长150km,因为AC是A点到BF最近的一点(点到直线距离最短的一点是这点到直线的垂线段),而台风可以影响的范围是200km,所以断定台风会影响到A点 求A点遭受...
几道数学题!勾股定理!急!
第三题 根据你的提问可以看出,这些题目出自第一章的内容,这个时候第二章实数没有学习,不会出开方开不尽的数,本题目是可解,怀疑是数据给错了,你看一下。第四题 设一只猴子从十米处向上爬了x米,那么它到跳下池塘路程是30米,斜边长就是(30-x)米 根据勾股定理可得 20²+(10+x)...
关于初二勾股定理的两道题目
设斜边为x另一直角边为a 根号(x+a)(x-a)=121 由于11为质数,且x、a为自然数 ①x+a=11 x-a=11 解得x=11 a=0(舍去)②x+a=121 x-a=1 解得x=61 a=60(符合题意)∴周长=11+61+60=132 2:设两边为x和(根号2-x)x^2+(根号2-x)^2=4 2x^2-(2根号2)x=0 x^2-(根号...
初中数学勾股定理应用题
即△ABC为直角△ ∴1\/2BP*AC=1\/2BC*AB 即BP=4.8 设最早Xh进入领海,根据勾股定理得 (12.8X)²+4.8²=8²解得X=0.5小时 第三张图:解:设Xs能到达山顶,根据勾股定理得 800²+1500²=(50X)²X=170\/5=34min 第四张图:由题目可知:(1) 半...
数学初二题目,勾股定理。
DE是AB中垂线 ∴AE=BE 那么CE=BC-BE ∵<C=90度,那么△ACE是Rt△ ∴AE平方=AC平方+CE平方 即BE平方=AC平方+(BC-BE)平方 BE平方=3平方+(4-BE)平方 BE=25\/8
初二数学: 勾股定理画图怎么画
初二数学,关于勾股定理,请画图解释 选C 解析 设BD长为x ,则AD 为2x。因为CD垂直于AB ,CD为公共边,所以又AC^2-(2x)^2=BC^2-x^2 带入 16-4 * x^2=4- x^2 算出 x=2 初二数学勾股定理题目初二数学勾股定理题目 已知直角三角形ABC的面积为30㎝²,两直角边的和为17㎝...
贲堂盐酸: 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,三边长分别为a、b、c,则下列结论中恒成立的是 ( ) A、2ab<c2 B、2ab≥c2 C、2ab>c2 D、2ab≤c22、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三...
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二上册数学第一章有关勾股定理的10道题不准超界 - ?
贲堂盐酸:[答案] 1如图.在三角形ABC中,∠C=90°,AD为∠CAB的平分线,交BC于D,BC=4,CD=1.5,求AC的长. 2已知△ABC的三边满足关... 6 ∵AC=16 BC=12 ∴三角形 ABC面积为192 又∵角ACB=90度 可用勾股定理求得AB长为20 由面积公式可得AB*CD=AC*...
保亭黎族苗族自治县13434392145: 一道关于勾股定理的初二数学题有一个水池,水面是一个边长为十尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面一尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的... - ?
贲堂盐酸:[答案] 设水深为x 因为芦苇比水面高一尺.则为x+1 因为芦苇在水中央 且面是一个边长为十尺的正方形 得三角形的一条直角边为5 得方程 (x+1)的平方=x的平方+5的平方 得 x=12 得苇长13
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二数学(勾股定理)在三角形ABC中,角C=90度,AC=2.1cm,BC=2.8cm,求高CD. - ?
贲堂盐酸:[答案] 角C=90度,AC=2.1cm,BC=2.8cm AB^2=2.1^2+2.8^2=12.25 AB=3.5 用面积法 1/2*3.5CD=AC*BC*1/2 CD=1.68
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二数学勾股定理试题及答案 - ?
贲堂盐酸: 勾股定理这个东西真的是非常简单的,你以后会学到函数,你就会发现的.关键是你要活用a^2+b^2=c^2这个定理.难题并不是它出的难,而是它考点多,如果你能将它逐个击破,那么难度就会破解了.我相信你会发现,解题的时候直接套公式...
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二数学勾股定理题若△ABC的三边a,b,c满足a^2+b^2+c^2+50=6a+8b+10c,求△ABC的面积.解对的再给50分,如果有图,把图也画好!1小时以内!快! - ?
贲堂盐酸:[答案] 方法一:a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0 (a²-6a+9)+(b²-8b+16)+(c²-10c+25)=0 (a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0 所以a-3=0,b-4=0,c-5=0 a=3,b=4,c=5 因为3²+4²=5² 即a²+b²=c² 由勾股定理的逆定理得 以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,a,b是...
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二数学,勾股定理部分题,在直角三角形A B C 中角A 等于90度 (1)已知角B 等于30度,b 等于1求a 和c (2)已知角C 等于45度,c 等于1,求b 和a 请写... - ?
贲堂盐酸:[答案] (1)已知角B 等于30度,b 等于1求a 和c a=b÷sin30°=1÷(1/2)=2; c=√(a²-b²)=√(4-1)=√3; (2)已知角C 等于45度,c 等于1,求b 和a b=c=1; a=√(1²+1²)=√2; 新问题请重新发帖提问,追问的新问题不会作答,……
保亭黎族苗族自治县13434392145: 八年级勾股定理题目求解!急!!! - ?
贲堂盐酸: 由于AC=13,AB=5,BC=12,可以知道三角形ABC为直角三角形,走私艇最快进入领海就是垂直于MN方向行驶,因此解答此题的重点在于求CE的长度,可以由三角形面积=1/2(AB*BC)=1/2(AC*BE)得到BE=60/13,再根据BE^2+CE^2=CN^2求得CE的长度为144/13,再除以走私艇的速度13海里/时,得到需要144/169小时,约51分钟,即最快10点41分进入领海 如果需要用分数表示的话也可以
保亭黎族苗族自治县13434392145: 几道初二数学(关于勾股1,在等腰三角形ABC中ab=ac,ad为高,ad=8,角ABC周长为32,求面积?2,在Rt三角形中,斜边长为8,两条直角边何为10,求... - ?
贲堂盐酸:[答案] 设等腰三角形ABC的腰为X,底为Y. 则有2X+Y=32----------------------------(1) 8^2+(Y/2)^2=X^2--------------------(2) 解得这个二元二... 3解,根据提意可知最长的应该是上面一点到下面对点的长度 即利用两次勾股定理 9^2+12^2=X^2 X=15 8^2+15^2=Y^2 Y=17...
保亭黎族苗族自治县13434392145: 初二数学题目勾股定理 - ?
贲堂盐酸: a2十b2=C2.ab=ch.左边=b2十a2/a2b2=C2/a2b2= (C/ab)2= (l/h)2=右边.