pascal TUNNELS
problems the end of the 13 days 2 hours
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this rhyothemis hole is millions of years ago the formation of large mitsuru water grotten, is located in the margin Benxi 26 kilometres East of mountains Prince Edward de Duero liwu 112.4 degrees five minutes, North of latitude –40 18 minutes, horauchi fenshui, drought, the second đong.this rhyothemis đong dokuchi block South of the North, dokuchi high 16mpd foom 25mPD, Neisseria 半月形, top carved Bo yibo 手书 “ this rhyothemis đong ” four oaza.Susumu dokuchi is a high of more than 20 metres, it is, can accommodate a thousand people of “ nghinh living room ”.lobby to the right, drought, đong long 300 m, alpera high-low, "but, in the hole, tortuous watch, there are dongtian, đong and iwakabe stalactite more along with a slit flocks of diptheria–pertussis–tetanus, rendering all kinds of butsuzo, not Hsiu tools natural%, just like tatsumiya fairyland.furui, ryongdam, hectopascals step pool, the landscape, providing the free 联翩, 留连忘返.kwangdong - end is a honglin qingtan,, moisture, which got Jingu Akan radiosensitive.
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用dinic，预留推进都可以的
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网络硫酸法很多的。
网络流算法及其应用
5.1 基本概念
在实际生活中有许多流量问题，例如在交通运输网络中的人流、车流、货物流，供水网络中的水流，金融系统中的现金流，通讯系统中的信息流，等等。50年代以福特(Ford)、富克逊(Fulkerson)为代表建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。在最近的奥林匹克信息学竞赛中，利用网络流算法高效地解决问题已不是什么稀罕的事了。本节着重介绍最大流(包括最小费用)算法，并通过实际例子，讨论如何在问题的原型上建立—个网络流模型，然后用最大流算法高效地解决问题。
1.问题描述 如图5-1所示是联结某产品地v1和销售地v4的交通网，每一弧(vi,vj)代表从vi到vj的运输线，产品经这条弧由vi输送到vj，弧旁的数表示这条运输线的最大通过能力。产品经过交通网从v1到v4。现在要求制定一个运输方案使从v1到v4的产品数量最多。
图5-1 图5-2
2.网络与网络流
给一个有向图N=(V，E)，在V中指定一点，称为源点(记为vs，和另一点，称为汇点(记为vt)，其余的点叫中间点，对于E中每条弧(vi，vj)都对应一个正整数c(vi，vj)≥O(或简写成cij)，称为f的容量，则赋权有向图N=(V，E，c，vs，vt)称为一个网络。如图5-1所给出的一个赋权有向图N就是一个网络，指定v1是源点，v4为汇点，弧旁的数字为cij。 所谓网络上的流，是指定义在弧集合E上一个函数f={f(vi，vj)}，并称f(vi，vj)为弧(vi，vj)上的流量(下面简记为fij)。如图5-2所示的网络N，弧上两个数，第一个数表示容量cij，第二个数表示流量fij。
3.可行流与最大流
在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。因此有：
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E，
(2)守恒条件
对于中间点：流入量=流出量；对于源点与汇点：源点的净流出量vs(f)=汇点的净流入量（-vt(f)）
的流f，称为网络N上的可行流，并将源点s的净流量称为流f的流值v(f)。
网络N中流值最大的流f*称为N的最大流。
4.可增广路径
所谓可增广路径，是指这条路径上的流可以修改，通过修改，使得整个网络的流值增大。
设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一条路，若p满足下列条件：
(1)在p上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即0≤fij<cij
(2)在p上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即0<fij≤cij
则称p为(关于可行流f的)一条可增广路径。
5.最大流定理
当且仅当不存在关于f*的增广路径，可行流f*为最大流。
5. 2 最大流算法
算法思想:最大流问题实际上是求一可行流{fij}，使得v(f达到最大。若给了一个可行流f，只要判断N中有无关于f的增广路径，如果有增广路径，改进f， 得到一个流量增大的新的可行流；如果没有增广路径，则得到最大流。
1.寻求最大流的标号法(Ford,Fulkerson)
从一个可行流(一般取零流)开始，不断进行以下的标号过程与调整过程，直到找不到关于f的可增广路径为止。
(1)标号过程
在这个过程中，网络中的点分为已标号点和未标号点，已标号点又分为已检查和未检查两种。每个标号点的标号信息表示两个 部分：第一标号表明它的标号从哪一点得到的，以便从vt开始反向追踪找出也增广路径；第二标号是为了表示该顶点是否已检查过。
标号开始时，给vs标上(s，0)，这时vs是标号但末检查的点，其余都是未标号的点，记为(0，0)。
取一个标号而未检查的点vi，对于一切未标号的点vj：
A．对于弧(vi，vj)，若fij<cij，则给vj标号(vi，0)，这时，vj点成为标号而未检查的点。
B．对于弧(vi，vj)，若fji>0，则给vj标号(-vi，0)，这时，vj点成为标号而未检查的点。
于是vi成为标号且已检查的点，将它的第二个标号记为1。重复上述步骤，一旦vt被标上号，表明得到一条从vi到vt的增广路径p，转入调整过程。
若所有标号都已检查过去，而标号过程进行不下去时，则算法结束，这时的可行流就是最大流。
(2)调整过程
从vt点开始，通过每个点的第一个标号，反向追踪，可找出增广路径P。例如设vt的第一标号为vk(或-vk)，则弧(vk，vt)(或 相应地(vt，vk))是p上弧。接下来检查vk的第一标号，若为vi(或-vi)，则找到(vi，vk)(或相应地(vk，vi))。再检查vi的第一 标号，依此类推，直到vs为止。这时整个增广路径就找到了。在上述找增广路径的同时计算Q：
Q=min{min(cij-fij)，minf*ij}
对流f进行如下的修改：
f'ij = fij+Q (vi，vj)∈ P的前向弧的集合
f'ij = fij-Q (vi，vj)∈ P的后向弧的集合
f'ij = f*ij (vi，vj)不属于P的集合
接着，清除所有标号，对新的可行流f’，重新进入标号过程。
例1:下图表示一个公路网,V1是某原材料产地,V6表示港口码头,每段路的通过能力(容量)如图上的各边上的数据,找一运输方案,使运输到码头的原材料最多?
程序如下:
Program Max_Stream;
Const Maxn=20;
type
nettype=record
C,F:integer;
end;
nodetype=record
L,P:integer;
end;
var
Lt:array[0..maxn] of nodetype;
G:Array[0..Maxn,0..Maxn] of Nettype;
N,S,T:integer;
F:Text;
Procedure Init;{初始化过程，读人有向图，并设置流为0}
Var Fn :String;
I,J :Integer;
Begin
Write( 'Graph File = ' ); Readln(Fn);
Assign(F,Fn);
Reset(F);
Readln(F,N);
Fillchar(G,Sizeof(G) ,0);
Fillchar(Lt,Sizeof(Lt),0);
For I:=1 To N Do
For J:=1 To N Do Read(F,G[I,J].C);
Close(F);
End;
Function Find: Integer; {寻找已经标号未检查的顶点}
Var I: Integer;
Begin
I:=1;
While (I<=N) And Not((Lt[I].L<>0)And(Lt[I].P=0)) Do Inc(I);
If I>N Then Find:= 0 Else Find:= I;
End;
Function Ford(Var A: Integer):Boolean;
Var {用标号法找增广路径，并求修改量A}
I,J,M,X:Integer;
Begin
Ford:=True;
Fillchar(Lt,Sizeof(Lt),0);
Lt[S].L:=S;
Repeat
I:= Find;
If i=0 Then Exit;
For J:=1 To N Do
If (Lt[J].L= 0)And((G[I,J].C<>0)or(G[J,I].C<>0)) Then
Begin
if (G[I,J].F<G[I,J].C) Then Lt[J].L:= I;
If (G[J,I].F>0) Then Lt[J].L:=-I;
End;
Lt[I].P:=1;
Until (Lt[T].L<>0);
M:=T;A:=Maxint;
Repeat
J:=M;M:=Abs(Lt[J].L);
If Lt[J].L<0 Then X:= G[J,M].F;
If Lt[J].L>0 Then X:= G[M,J].C- G[M,J].F;
If X<A Then A:= X;
Until M= S;
Ford:=False;
End;
Procedure Change(A: Integer);{调整过程}
Var M, J: Integer;
Begin
M:= T;
Repeat
J:=M;M:=Abs(Lt[J].L);
If Lt[J].L<0 Then G[J,M].F:=G[J,M].F-A;
If Lt[J].L>0 Then G[M,J].F:=G[M,j].F+A;
Until M=S;
End;
Procedure Print; {打印最大流及其方案}
VAR
I ,J: Integer;
Max: integer;
Begin
Max:=0;
For I:=1 To N DO
Begin
If G[I,T].F<>0 Then Max:= Max + G[I,T].F;
For J:= 1 To N Do
If G[I,J].F<>0 Then Writeln( I, '-> ' ,J,' ' ,G[I,J].F);
End;
Writeln('The Max Stream=',Max);
End;
Procedure Process;{求最大流的主过程}
Var Del:Integer;
Success:Boolean;
Begin
S:=1;T:=N;
Repeat
Success:=Ford(Del);
If Success Then Print
Else Change(Del);
Until Success;
End;
Begin {Main Program}
Init;
Process;
End.
测试数据文件(zdl.txt)如下:
6
0 3 5 0 0 0
0 0 1 4 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 5
0 1 0 3 0 2
0 0 0 0 0 0
运行结果如下:
Graph File=zdl.txt
1->2 3
1->3 2
2->4 3
3->5 2
4->6 3
5->6 2
The Max Stream=5
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