函数y= f(x)在x0是否连续？

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判断函数f(x)在x0点处连续,当且仅当f(x)满足以下三个充要条件：

1、f(x)在x0及其左右近旁有定义。

2、f(x)在x0的极限存在。

3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。

对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料

法则：

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

参考资料来源：百度百科-连续函数

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兴平市17572192621： 函数 y=f(x)在点x0 处可导,证明它在点 x0处一定连续,并举例说明其逆不真. - ？
丘亮口服：[答案] 函数 y=f(x)在点x0 处可导,有lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0) = f'(x0), 于是 lim(x→x0)[f(x)-f(x0)] = lim(x→x0){[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}*(x-x0) = f'(x0)*0 = 0, 即 f 在点x0处连续. 其逆不真.例如函数f(x) = |x|在x = 0点处连续但不可导. 以上几乎每一部教材都会有的,动手...

兴平市17572192621： 证明:如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续. - ？
丘亮口服：[答案] 证明:设x=x0+△x,则当x→x0时,△x→0 则 lim x→x0f(x)= lim △x→0f(x0+△x)= lim △x→0[f(x0+△x)-f(x0)+f(x0)]= lim △x→0[ f(x0+△x)−f(x0) △x•△x+f(x0)] = lim △x→0 f(x0+△x) △x• lim △x→0△x+ lim △x→0f(x0)=f′(x0)•0+f(x0)=f(x0) ∴函数f(x)在...

兴平市17572192621： 函数连续问题如果函数y=f(x)在x0处附近有定义,并且在x0的左右极限都等于f(x0),那么我们称函数f(x)在点x0处连续.可导函数一定是连续函数.这句话对吗,左... - ？
丘亮口服：[答案] 这句话是对的 左极限指当自变量x从x0左侧无限趋近于x时 x无限趋近于常数a 则a为f(x)在xo得左极限 又极限也是这样 可导的要求之一就是在这一点连续 这是定义的一部分1 因为导数的几何意义就是在这一点的切线嘛 反过来不行 举个例子 x≥0 y=x x<0 ...

兴平市17572192621： 证明函数f(x)在x0处连续,则f'(x)则在x0处连续或者不存在. - ？
丘亮口服： 利用f(x)在X0处连续 再利用倒数定义 结合起来证明

兴平市17572192621： 若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0的某邻域内必定连续... 这不是对的吗.?????? 若是错的话..求反例.. - ？
丘亮口服： 若函数f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0的某邻域内必定连续,这句话是错误的. 举例说明: f(x)=0,当x是有理数 f(x)=x^2,当x是无理数 只在x=0处点连续,并可导,按定义可验证在x=0处导数为0 但f(x) 在别的点都不连续 函数可导则函数连续;函...

兴平市17572192621： y=f(x)在x=x0处连续,则f'(x0)一定存在,这道题是正确的还是错误的,原因是什么? - ？
丘亮口服： f '(x0)指的是f(x)的导函数f '(x)在x=x0这一点的数值,而[f(x0)] ' 是对常数f(x0)的求导,其值为0, 故f '(x0)=[f(x0)]'是错误的

兴平市17572192621： 如何证明某个函数是连续的 - ？
丘亮口服： 判断函数是否连续方法:求出某点左右极限,如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值,则函数在此点连续,如果任意点在考察的范围内都满足这个条件,则该函数是连续的. 函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变...

兴平市17572192621： 如何用导数判断函数的连续性 - ？
丘亮口服：[答案] 如果函数y=f(x)在x0处可导,则f(x)在x0处连续. 换句话就是,函数f(x)在点x0处连续是f(x)在x0处可导的必要条件,但不是充分条件.

兴平市17572192621： 函数y=f(x) 在点X0可导是它在X0处连续的什么条件? - ？
丘亮口服：[选项] A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 无关条件

兴平市17572192621： 连续函数有定义是什么意思?请用你的理解说下,谢谢! - ？
丘亮口服：[答案] 如果函数y=f(x)在x0处附近有定义,并且在x0的左右极限都等于f(x0),那么我们称函数f(x)在点x0处连续.可导函数一定是连续函数.