定积分上限的π是怎么变到π/2的？

定积分计算，划线这一步上限是怎么由π/4变成π/2的？~

换元的同时要换限。

有这么一个定理：
∫(0→π) xf(sinx) dx = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx
证明：令x = π - y、dx = - dy
I = ∫(0→π) xf(sinx) dx
= ∫(π→0) (π - y)f[sin(π - y)] (- dy)
= π∫(0→π) f(siny) dy - ∫(0→π) yf(siny) dy
= π∫(0→π) f(sinx) dx - I
2I = π∫(0→π) f(sinx) dx
I = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx

所以对于你这题，可令x = π - z、dx = - dz
I = ∫(0→π) x√(cos²x)sinx dx
= ∫(π→0) (π - z)√(cos²z)sin(π - z) (- dz)
= ∫(0→π) π√(cos²x)sinx dx - I
2I = ∫(0→π) π√(cos²x)sinx dx
I = (π/2)∫(0→π) √(cos²x)sinx dx

令a=π即可，详情如图所示

如图所示：

let
u=π-x
du=-dx
x=π/2, u=π/2
x=π , u=0
∫(0->π) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx
=∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx +∫(π/2->π) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx
=∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx +∫(π/2->0) √[(sinu)^2-(sinu)^4 ] (-du)
=∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx +∫(0->π/2) √[(sinu)^2-(sinu)^4 ] du
=∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx +∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx
=2∫(0->π/2) √[(sinx)^2-(sinx)^4 ] dx

---

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分,我想问一下x是怎么变成π/2的 - ？
琦穆中泰： 有这么一个定理:∫(0→π) xf(sinx) dx = (π/2)∫(0→π) f(sinx) dx证明:令x = π - y、dx = - dyI = ∫(0→π) xf(sinx) dx= ∫(π→0) (π - y)f[sin(π - y)] (- dy)= π∫(0→π) f(siny) dy - ∫(0→π) yf(siny) dy= π∫(0→π) f(sinx) dx - I2I = π∫(0→π) f(sinx) dxI = (π/2)∫(0→π) f(sinx) ...

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分∫lnsin2xdx怎么求,积分上限是π/4,下限是0 - ？
琦穆中泰： ∫lnsin2xdx(0~π/4) (表示从0到π/4的定积分) =∫ln(2sinx cosx)dx(0~π =π/4*ln2+∫lnsinxdx(0~π/4)+∫lncosxdx(0~π/4) =π/4*ln2+∫lnsinxdx(0~π/4)+∫lnsinxdx(π/4~π/2) (对最后一个积分换元) =π/4*ln2+∫lnsinxdx(0~π/2) =π/4*ln2+2∫lnsin2xdx(0~π/4) (换元) 由第一个式子与最后一个式子相等即得 ∫lnsin2xdx(0~π/4)=-π/4*ln2

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分推导圆周长公式上限为什么是2兀? - ？
琦穆中泰： 定积分上限是2π?那你积的是中间的圆心角.圆心角转一圈是从0转到2π,当然下限0,上限2π

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 高数定积分,这个π/2是怎么换出来的,蒙了？
琦穆中泰： 已知f(x)=f(π-x),设x=π-y,y(0)=π,y(π)=0.∫xf(x)dx=∫(π-y)f(π-y)d(π-y)=-π∫f(y)dy+∫yf(y)dy因为变换x=π-y,积分限倒置,恢复积分限,需要改变符号.在区间[0,π]定积分,∫xf(x)dx=π∫f(x)dx-∫xf(x)dx=(π/2)∫f(x)dx就是这样的.别懵了.

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 积分上下限怎么变换 - ？
琦穆中泰： http://wenwen.sogou.com/z/q825697497.htm?push=3&group=0&rpRecommand=a&entry=qb_qb_answer&hideOtherAnswer=true&pcAnswerLevel=1 你可以参见我在这个网页上的回答,因为他的提问里面有具体问题,比较好说明. 积分上下限变...

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分问题,如下图,求指教 积分上下限是怎么划分的 - ？
琦穆中泰： 首先,[0,π]=[0,x)∪[x,π] 其次,在[0,x)上,y所以,min{x,y}=y; 在[x,π]上,y≥x, 所以,min{x,y}=x

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分的应用求体积 积分上限怎么由2a派变成2派的? - ？
琦穆中泰： 当然就是变换得到的 摆线x=a(t-sint),即一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹 而x的上下限是0到2aπ 显然t=0时,x=0 t=2π时,则x=2aπ,这里的a可以看作半径 如果用极坐标的话,当圆旋转一周,即角度从0变动2π时 动圆上定点描画出摆线的第一拱 这时角度走了2π(即看作极坐标的上下限2π,0) 而长度走了2aπ,(即看作直角坐标的上下限2aπ,0)

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分换元法变上下限 - ？
琦穆中泰： 此题给出解答错误.忘记了被积函数是开平方! 根据定积分的几何意义,∫<0, π>√(π^2-x^2)dx 是 圆 x^2+y^2 = π^2 在第一象限部分的面积,4 倍则是整个圆的面积 π^3

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 用定积分的换元法计算∫sin(x+π/3)dx,上限为π,下限为π/3 - ？
琦穆中泰： [π/3,π] ∫ sin(x+π/3)dx = - cos(x+π/3) | [π/3,π] = cos(π/3 + π/3) - cos(π + π/3) = - 1/2 - (-1/2) = 0

塔什库尔干塔吉克自治县13982232600： 定积分:下限α,上线π+α(从α积到π+α),(1/π)∫USinxdx怎么算?求详细解答过程 - ？
琦穆中泰： 不定积分(1/π)∫USinxdx =U/π∫sinxdx =-U/π*cosx+C所以定积分结果为 -U/π(cos(π+α)-cosα) =2U/πcosα希望对楼主有所帮助,望采纳!