高数题目 证明题 有重谢！
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理;
2.微分中值定理;
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1. .
（A） （B） （C） （D） 不可导.
2. .
（A） 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B） 是等价无穷小；
（C） 是比 高阶的无穷小； （D） 是比 高阶的无穷小.
3.若 ，其中 在区间上 二阶可导且 ，则（ ）.
（A）函数 必在 处取得极大值；
（B）函数 必在 处取得极小值；
（C）函数 在 处没有极值，但点 为曲线 的拐点；
（D）函数 在 处没有极值，点 也不是曲线 的拐点。
4.
（A） （B） （C） （D） .
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. .
6. .
7. .
8. .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9.设函数 由方程 确定，求 以及 .
10.
11.
12.设函数 连续， ，且 ， 为常数. 求 并讨论 在 处的连续性.
13.求微分方程 满足 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14.已知上半平面内一曲线 ，过点 ，且曲线上任一点 处切线斜率数值上等于此曲线与 轴、 轴、直线 所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.
五、解答题（本大题10分）
15.过坐标原点作曲线 的切线，该切线与曲线 及x 轴围成平面图形D.
(1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数 在 上连续且单调递减，证明对任意的 ， .
17.设函数 在 上连续，且 ， .证明：在 内至少存在两个不同的点 ，使 （提示：设 ）
就是第二题，详情如图所示
有任何疑惑，欢迎追问
①f（x）=x^2n +px+q
f‘（x）=2n *x^（2n-1）+p
f‘（x）=0，即2n *x^（2n-1）=-p有且仅有一个实数根（-p/（2n））^(1/(2n-1))，故f
(x)先减后增，故f（x）=0最多两个实数根
②f（x）=x^（2n+1） +px+q
f‘（x）=（2n+1） *x^（2n）+p
（2n+1） *x^（2n）=-p最多两个不同的实数根，所以f（x）=0最多三个实数根
2（1）令左边为 f(x)，
由于 f'(x) = 2nx^(2n-1)+p=0 至多只有一个实根，
所以 f(x)=0 至多只有两个不同实根。
（2）同理
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酉项金参：[答案] 1)必要性:显然a=b,则a-b=0, 故|a-b|=00,则取e=t/2 则|a-b|=t>e 与任取e>0,有|a-b|
睢阳区18958746877： 证明多元函数极限不存在三题 重谢1 Limited sin (x+y)/x^2 (x.y)趋向(0,0)2 Limited xy/x+y (x.y)趋向(0,0)3 Limited (x^6 y^8)/(x^2+y^4)^5具体说说明一下用什么方法... - ？
酉项金参：[答案] 首先,我的方法不正规, 其次,正确不正确有待考察.1,y以 y=x^2-x 的路径趋于0 Limited sin (x+y)/x^2 =Limited sinx^2/x^2=1 而 y=x 的路径趋于0 结果是无穷大.2,3 可以用类似的方法,貌似同济书上是这么说的,二元函...
睢阳区18958746877： 一道高数证明题 ,急急急 - ？
酉项金参： 证明:设函数F(x)=x^n,由题设n>1,0F(b)-F(a)=b^n-a^n=F'(c)(b-a); 其中aF'(x)=nx^(n-1) 由n>1,易证F'(x)=nx^(n-1)单调上升 再由aF'(a)(b-a)代入F'(x)=nx^(n-1)即证 na^(n-1)*(b-a)
睢阳区18958746877： 一题高数证明题？
酉项金参： 证明:设F(x)=f(x)-f(2x+1/3)F(x)在[0,1/3]上连续,在(0,1/3)上可导.因为F(0)=f(0)-f(1/3),F(1/3)=f(1/3)-f(1).又因为f(0)=f(1),所以F(1/3)=f(1/3)-f(0).所以F(0).F(1/3)<=0.即在(0,1/3)至少存在一点使得F(x.)=0即f(x.)=f(2x.+1/3). 楼主如果有不明白的地方可以追问,如果满意请采纳.
睢阳区18958746877： 求一道高数题(极限)证明全过程证:Y=xsin1/x为当x→0时的无穷小我在这先谢了哈! - ？
酉项金参：[答案] 因为sin1/x的绝对值小于等于1 所以xsin1/x的绝对值 小于等于x的绝对值 而x的绝对值是趋于0的 所以xsin1/x也是趋于0的 证完
睢阳区18958746877： 一道高数证明题. - ？
酉项金参： 证明:根据已知:当x>X1(X1>0)时,∃ε1>0,使得:|f(x)-A|<ε2成立;当x<-X2(X2>0)时,∃ε2>0,使得:|f(x)-B|<ε2成立;因此:A-ε1<f(x)<A+ε1 B-ε2<f(x)<B+ε2 令ε=min{ε1,ε2},则上式必然也成立,因此:A-ε<f(x)<A+ε B-ε<f(x)<B+ε 因为:A<B 所以根据上述两式可得:A-ε<f(x)<B+ε 因此:∀η∈(-∞,+∞),使得:A-ε<A<f(η)<B<B+ε成立,即:A<f(η)<B成立 此时令:∃ξ∈(A,B)则:f(η)=ξ成立
睢阳区18958746877： 几道高数证明题,谢谢？
酉项金参： 就看到一道题..... y'=3x^2 ln(1+x)+ x^3/(x+1) y(2)=6xln(1+x)+ 3x^2/(x+1) + [x^3/(x+1)]' y(3)=6ln(1+x)+ 6x/(x+1) + [ 3x^2/(x+1) ]' + [x^3/(x+1)]'' y(4)=6/(x+1) + [6x/(x+1)]' + [ 3x^2/(x+1) ]'' + [x^3/(x+1)]''' 由此,y在0处的n次导数中,后面各项中,分子都没有常数项,所以都是0,只有首项不为0. y的n次导数的首项为6(-1)^n / (x+1)^(n-4). 所以 ,y(99)(0)= -6
睢阳区18958746877： 一道高数证明题目,谢谢 - ？
酉项金参： 在(-1,1)内,(arcsinx+arccosx)'=1/√(1-x^2)-1/√(1-x^2)=0,所以在[-1,1]上,arcsinx+arccosx=C,C是常数. 令x=0,arcsin0+arccos0=0+π/2=π/2,所以C=π/2. 所以arcsinx+arccosx=π/2.
睢阳区18958746877： 大学高数证明题 - ？
酉项金参： 证明:两边对x求偏导得2*x+2*z*∂z/∂x=y*f '*∂z/∂x*1/y; 两边对y求偏导得 2*y+2*z*∂z/∂y=f +y*f '*((y*∂z/∂y-z)/y^2) 得到∂z/∂x=2*x/(-2*z+f ');∂z/∂y=[2*y-f +f '*z/y]/(f '-2*z) 代入化简得证.化简时注意有点小技巧,不要死算,左边可以提出2*x,还有就是灵活利用x^2+y^2+z^2=y*f(z/y);x^2+y^2=y*f(z/y)-z^2
睢阳区18958746877： 一道高数证明题？
酉项金参： 令f(x)=x-asinx-b. f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a-asin(a+b)≥a-a=0若f(a+b)=0,则a+b是方程x=asinx+b的一个正根,且不超过a+b,所以结论成立.若f(a+b)>0,又f(0)=-b综上,方程x=asinx+b至少有一个正根,且不超过a+b.
