因式分解的方法
提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式,分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式,如果把其中任何两个元互换,所得的结果都与原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x²+y²+z²,xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个因式分解(也叫作分解因式)。它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。
定义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。
意义:它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的。
而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用。学习它,既可以复习整式的四则运算,又为学习分式打好基础;学好它,既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互逆。
同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。
扩展资料
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫 做提取公因式分解因式。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的。
当各项的系数有分数时,公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提尽;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
参考资料:因式分解的百度百科
提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法、对称多项式等等。
1、一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2、分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式,分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式。
3、用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值。
4、十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
5、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。
6、一个多元多项式,如果把其中任何两个元互换,所得的结果都与原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x+y+z,xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。
因式分解原则:
1、分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号,分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出,即透过公式重组,然后再抽出公因子。
6、括号内的首项系数一般为正。
7、如有单项式和多项式相乘,应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)。
8、考试时在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数。
所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解!
例如:
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2
=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2
=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]
=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]
=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]
=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)
主元法 所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。
较为简单的例用
1.因式分解 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
分析:如果懂得因式定理的话,解此题自然会流畅很多,但是用主元法的话,也十分简便。
拆开原式,并按a的降幂排列得:
(b+c)a^2+(b^2+c^2+2bc)^2+b(bc+c^2)
=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】
十字相乘图为
x--------------- b
(b+c)x -----bc+c^2
对于低次因式分解,主元法与十字相乘法的配合是卓有成效的。
2.因式分解16y+2x^2(y+1)^2+(y-1)^2*x^4
分析:本题尚且属于简单例用,只是稍加难度,以y为主元会使原式极其烦琐,而以x为主元的话,原式的难度就大大降低了。
原式=(y-1)^2x^2+2(y+1)^2x^2+16y---------------------【主元法】
=(x^2y^2-2x^2y+x^2+8y)(x+2)---------------------【十字相乘法】
十字相乘图为
(y-1)^2x ----8y
x ------------2
如果能很好地利用主元法,低次因式分解就不会太难了。
高难度的主元法例用
1.因式分解2x^3+6y^3+15z^3-9x^2y+7xy^2-x^2z-16xz^2-37y^2z+32yz^2+13xyz
分析:本题属于高难度因式分解中的中档题,如果不假思索就上别的方法,就会处处碰壁。
1.原式=2x^3-(9y+z)x^2+(13yz+7y^2-16z^2)x+6y^3+15z^3-37y^2z+32yz---------------【主元法】
这样本题的条理就清晰多了,现抛开x,只看6y^3+15z^3-37y^2z+32yz,
这是一个2元三次因式分解,难度简单多了。
原式=6y^3-9zy^2-(28y^2z-32yz^2-15z^3)-------------------------【拆项法】
=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)
再代入原题目,接下来的工作就简单了。
由于首项x系数为2,所以本题难度综合来讲不是太难,算出系数2是与(y-5z)结合的。
所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆项法及十字相乘法】
接下来的部分,有兴趣的人可以看看。
旷世难题型的因式分解
竞赛类的学生,因式分解的高手可以演算一下,这是个很好的练习,对你们会很有帮助。
因式分解:
6x^4+18mx^3-6x^3y+30x^2yz-42x^2y^2+6mx^2y-6x^2mz-6x^2z+12x^2m^2+5px^3+5yx^3+15pm-5py+25pyz+25y^2z-30py^2-30y^3+5mpy+5my^2-5pmz-5myz-5pz^2-5yz^2+10pm^2+10m^2y+10yzx^2+30myzx-10xy^2z+50y^2z^2-60y^3z+10my^2z-
10myz^2-10yz^3+20m^2yz-18my^2x+6xy^3-30y^3z+36y^4-6my^3+6my^2z+6y^2z^2-12y^2m^2+10x^2zp+30zpmx-10zpyx
+50yz^2p-60y^2zp-2zpmy-10z^2pm-10z^3p-12x^2zp-36mypx+12y^2px-60y^2pz+72y^3p-12my^2p+12ypmz+12ypz^2-24m^2yp-6p^2x^2-18mxp^2+6xyp^2-30yzp^2+36p^2y^2-6myp^2+6p^2mz+6p^2z^2-12P^2m^2+24x^2z^2+72mz^2x-24yz^2+120yz^3-144y^2z^2+24myz^2-24mz^3+24z^4+48m^2z^2
终于,在其他方法都几乎失效时,主元法的威力体现了出来。
分析:看题目的确很长,但仔细观察也能发现其弱点。
1.没有常数项。
2.首项x的系数很小,预计其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。
3.自开始起,一部分是6的倍数,紧接着是5的倍数,直到至-2zpmy这一项时,这个特点断掉了。
解题开始:
令x,y,z,p都为0,原式变成了--------2m^2
令x,y为0,原式变成了---------------12p^2m^2
令x为0,原式=-12y^3............................+12p^2m^2,此时正是用主元法的时候,
解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法,拆项法,十字相乘法,提取公因式法】
解下来抱歉的是本人实在无能为力,通过把上述的四项依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中,实际上还是要用主元法,
原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)
对于这题,硬碰硬是不行的。
一是因式分解的概念,二是与整式乘法的相互关系。因式分解是代数式的一种重要恒等变形。它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念,通过探究与整式乘法的关系,来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。因式分解不仅让学生掌握因式分解的概念和原理,而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
本文为昊南老师授课讲义PPT,并没有做答案,如果有不明之处可以留言交流。
十字相乘法
十字相乘法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
如:
a²x²+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(ax+?)×(ax+?),
然后我们再看第二项, +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先,21和2无论正负,通过任意加减后都不可能是1,只可能是-19或者19,所以排除后者。
然后,再确定是-7×6还是7×-6。
(ax-7)×(ax+6)=a²x²-ax-42(计算过程省略)
得到结果与原来结果不相符,原式+ax 变成了-ax。
再算:
(ax+7)×(ax+(-6))=a²x²+ax-42
正确,所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7)×(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式。
公式法
公式法,即运用公式分解因式。
公式一般有
1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)
2、完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²对应的还可以有一个口诀:“首平方,尾平方,首尾积的二倍在中央”
分解因式的方法有什么?
因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法是提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法。如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式,分解方式一般分为“1+...
因式分解四种基本方法
1. 分组分解法:主要针对多项式的分解。分组是根据题目的特点,将多项式中的某几项分为一组进行提取公因式或应用公式法分解。这种方法需要对多项式进行观察,选择合适的分组方式,使得分组后的式子更容易进行因式分解。例如,对于多项式ax²+bx+cy²+dy,可以根据情况将其分为两组进行分解。2....
因式分解常用的六种方法详解
4、十字相乘法(经常使用) 对于mx2+px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)。 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因...
什么是因式分解四种方法?
因式分解的四种方法如下:1.公因数法:当多项式的所有项都含有共同的因子时,可以把这个因子提出来,然后用分配律将剩下的部分相加,进一步化简。2.十字相乘法:对于二次多项式ax²+bx+c,其因式可以表示为两个一次多项式的乘积。使用十字相乘法时,将a和c的乘积分解为两个因数的乘积,然后根据一...
数学因式分解的12种方法
1. 提取公因式法 这是最基本的因式分解方法,将多项式中的公因式提取出来。例如:4x² +8x=4x(x+2)。2. 公式法 利用一些特定公式进行因式分解,比如二次方程、三次方程的求解公式。例如:x² +5x+6=(x+2)(x+3)。3. 分组法 将多项式中的项按特定规则分组,然后分别提取公因式。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:提公因式法。当多项式存在公因式时,可利用提公因式的方法进行因式分解。这一步就是寻找每个项的共同部分并将其提取出来作为一个新的项,使原多项式化为若干个简单因式的乘积形式。例如,对于多项式ax + bx + cx,可以提取公因子x得到x。公式法分解。除了简单的提公因式,还有...
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法:1. 提公因式法 方法概述:在多项式中寻找公共因子,并将其提取出来。提公因式法是因式分解中最基本也是最重要的方法之一。这种方法简单易行,主要依赖于观察和分析多项式的各项以找到公因子。详细解释:在多项式里,如果有某项是各项的公共因子,那么就可以将它提取出来,从而简化...
因式分解的常用方法有哪些
因式分解的常用方法有:公因式提取法、完全平方式、分组分解法、平方差公式、三项互质分解法。1、公因式提取法:将多项式中的公因式提取出来,例如对于多项式2x + 4y,可以提取出公因式2,得到2(x + 2y)。2、完全平方式:对于二次多项式,使用完全平方式将其因式分解。例如对于二次多项式x^2 + 2xy ...
因式分解的几种常用方法
接着,分组分解法针对提公因式法和公式分解法难以触及的部分,通过“1 3”式或“2 2”式进行巧妙拆分。待定系数法则更为巧妙,通过假设原式为一系列因式的乘积,用字母表示系数,构建方程组求解,从而确定这些未知系数。这六种方法在简化表达、求解未知数、处理方程、不等式以及函数分析等领域都有着显著...
因式分解有几种常见方法?
因式分解有多种常见的方法,包括提公因式法、分组分解法、待定系数法、十字分解法、双十字相乘法以及对称多项式的利用。首先,提公因式法是基础,当多项式的各项有公因式时,将其提出作为因式,形成因式乘积。接着,分组分解法适用于无法直接分解的复杂因式,通过“1+3”式或“2+2”式进行分组处理。待定...
标冠鳖甲:[答案] 因式分解的基本步骤: ①如果一个多项式各项有公因式,一般应先提取公因式; ②如果一个多项式各项没有公因式,一般应思考运用公式、十字相乘法;两项式应思考用平方差公式,三项式应思考用公式法或用十字相乘法;四项式及以上应思考用...
聂拉木县17228824401: 请问因式分解有哪几种方法 - ?
标冠鳖甲: 因式分解方法:1.提取公因式 例:ab+a=a(b+1) 2.完全平方式 例:a²±2ab+b²=(a±b)² 3.十字相乘法 例:a²+3a-4=(a+4)(a-1) 解题方法 :还有 分组分解法、 配方法、 公式法
聂拉木县17228824401: 数学因式分解的公式法公式是什么? - ?
标冠鳖甲:[答案] 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化...
聂拉木县17228824401: 分解因式与常用的方法有哪些 - ?
标冠鳖甲:[答案] 〖知识点〗 因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤.〖大纲要求〗 理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法,掌握利用二次方程求...
聂拉木县17228824401: 对于复数分解因式的方法和技巧 - ?
标冠鳖甲:[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化...
聂拉木县17228824401: 因式分解的4种方法急需因式分解的例题及答案.提公因式法:运用公式法:分组分解法:十字相乘法: - ?
标冠鳖甲:[答案] 提公因式法:2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3)运用公式法:(m=n)?+2(m+n)+1=(m+n+1)?分组分解法:x?-y?+ax+ay=(x+y)((x-y)+a)=(x+y)(x-y+a)十字相乘法:x?+5x-6=(x-1)(x+6)
聂拉木县17228824401: 因式分解的方法是什么 - ?
标冠鳖甲:[答案] 因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下: 1、 提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,...
聂拉木县17228824401: 分解因式的算法? - ?
标冠鳖甲:[答案] ①提公因式法(相当于逆用乘法分配律) ②公式法﹙完全平方和公式、完全平方差公式、平方差公式﹚ ③十字相乘法 ④分组分解法
聂拉木县17228824401: 因式分解法怎么做 - ?
标冠鳖甲: 1.提公因式法. 2.公式法. 3.分组分解法. 4.凑数法.[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 5.组合分解法. 6.十字相乘法. 7.双十字相乘法. 8.配方法. 9.拆项补项法. 10.换元法. 11.长除法. 12.求根法. 13.图象法. 14.主元法. 15....