观察发现 （1）如图①，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，点E在BC上，∠AEF=60°，EF交CD于点F，当点
作者&投稿：鄞洪 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠AEF=60°，
设AB=1，BE=x,0<x<1,∠BAE=a,
则∠CEF=120°-∠AEB=∠BAE=a,∠CFE=60°-a,EC=1-x,
由正弦定理,AB/sin(60°+a)=BE/sina,
∴sina=xsin(60°+a),①
AE=BEsinB/sina=x√3/(2sina),
EF=CEsinC/sin∠CFE=(1-x)√3/[2sin(60°-a)]=(1-x)√3/(√3cosa-sina),
2(1-x)sina-x(√3cosa-sina)=2sina-x(√3cosa+sina)=2[sina-xsin(60°+a)]=0（由①）
∴AE=EF,
∴△AEF是等边三角形。
证明：（1）连接AC，∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；（2）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60° ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE和△AFC中， ∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE=AF， ∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形．
证明：（1）连接AC，∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°，
∴∠FEC=∠CFE，
∴EC=CF，
∴BE=DF；
（2）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△AFC中， ∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
平形四边形。
史英宁绪：[答案] 【观察发现】:DE=BG,DE⊥BG; 【深入探究】:【观察发现】中的结论任然成立,即DE=BG,DE⊥BG; 理由:∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形, ∴BA=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°, ∴∠BAG=∠DAE(1分), ∵在△BAG与△DAE中, ...
洪雅县19310159120： 【观察发现】(1)如图1,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,且点E在边AB上,连接DE和BG,猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系.(只要求写出... - ？
史英宁绪：[答案] (1)DE=BG,DE⊥BG;理由如下: 延长DE交BG于H,如图1所示: ∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形, ∴AB=AD,AG=AE,∠EAD=∠BAG=90°, 在△BAG与△DAE中, AB=AD ∠BAG=∠EAD AG=AE, ∴△BAG≌△DAE(SAS), ∴DE=BG,...
洪雅县19310159120： 观察发现 (1)如图①,四边形ABCD是菱形,∠B=60°,点E在BC上,∠AEF=60°,EF交CD于点F,当点 - ？
史英宁绪： 证明:(1)连接AC,∵菱形ABCD中,∠B=60°, ∴AB=BC=CD,∠C=180°-∠B=120°, ∴△ABC是等边三角形, ∵E是BC的中点, ∴AE⊥BC ∵∠AEF=60°, ∴∠FEC=90°-∠AEF=30°, ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°, ∴∠...
洪雅县19310159120： 【观察发现】如图1,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,且点E在边AB上,连接DE和BG,猜想线段DE与BG的数 - ？
史英宁绪： 解:【观察发现】:DE=BG,DE⊥BG;【深入探究】:【观察发现】中的结论任然成立,即DE=BG,DE⊥BG;理由:∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形,∴BA=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAG=∠DAE(1分),∵在△BAG与△...
洪雅县19310159120： 【观察发现】(1)如图1,若点A、B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.作法如下:作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′,与直线l的交点就... - ？
史英宁绪：[答案]【观察发现】(2)如图 在等边三角形ABC中,AB=4,点E是AB的中点, ∴∠BEC=90°,BE=2,BC=4, 由勾股定理可求:CE= BC2-BE2=2 3, ∴BP+PE的最小值为2 3; 【实践运用】如图3, 作点N关于BD的对称点N′,连接MN′交BD于点P,此时MP+...
洪雅县19310159120： (1)观察发现如图(1):若点A、B在直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交... - ？
史英宁绪：[答案] (1)= .(2) .(3)拓展延伸:作图如下: 分析:(1)观察发现:利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值:∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1.∴CE= BE=...
洪雅县19310159120： (1)观察发现 如图(1):若点A、B在直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下: 作 - ？
史英宁绪： 解:(1)观察发现 如图(2),CE的长为BP+PE的最小值,∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点 ∴CE⊥AB,∠BCE=1 2 ∠BCA=30°,BE=1,∴CE= 3 BE= 3 ;故答案为 3 ;(2)实践运用 如图(3),过B点作弦BE⊥CD,连结AE交CD...
洪雅县19310159120： 一道数学应用题,关于图形的,帮忙解答.2 题给过程？
史英宁绪： (1)BP+PE就是CE,因为如图,BP=CP, BP+PE=CP+PE=CE,边长为2的等边三角形,高是√3,所以填√3 (2)题目实在看不懂 (3)首先声明,不是所有的四边形都可以做出来,∠ABC必须比较大才能求出P来,作法如下 作B关于AC的对称点B',联结DB'并延长,交AC于P,P就求到了~汗,看错题了..第二题是这样的: 同样,过CD作A的对称点A',联结BA',交CD于P,BA'的长就是BP+AP的最小值了.至于长度的求法嘛,建议用坐标法.以圆心为原点建立坐标系,分别表示出B(1/2, √3/2), A'(1,-√3) 所以BA'=√﹙1-1/2﹚²+(-√3-√3/2)²=√7
洪雅县19310159120： 【观察发现】如图1,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点B、C、E在一条直线上,连接BD和AE,BD、AE相交于点 - ？
史英宁绪： 【观察发现】∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AB=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中, AB=AC ∠ACE=∠BCD CD=CE ,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴BD=AE,...
洪雅县19310159120： (1)观察发现:如(a)图,若点A,B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.做法如下:作点B - ？
史英宁绪： (1)BP+PE的最小值= BC2?BE2 = 22?12 = 3 . (2)作点A关于CD的对称点A′,连接A′B,交CD于点P,连接OA′,AA′,OB. ∵点A与A′关于CD对称,∠AOD的度数为60°,∴∠A′OD=∠AOD=60°,PA=PA′,∵点B是 AD 的中点,∴∠BOD=30°,∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°,∵⊙O的直径CD为4,∴OA=OA′=2,∴A′B=2 2 . ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2 2 . (3)如图d:首先过点B作BB′⊥AC于O,且OB=OB′,连接DB′并延长交AC于P. (由AC是BB′的垂直平分线,可得∠APB=∠APD).
