高等代数如何学习?不知道关注哪些东西
工科考研的话线性空间这方面要求应该不高吧,这部分理论性很强,工科类的线性代数教材基本讲的都不多,如果是为考研复习的话大可只了解到线性代数教材上的那些内容就足够了,如果有兴趣想深入学习线性空间的内容,建议看数学专业的教科书高等代数。
<<返回学习交流同学们,当你们正在《数学分析》课程时,同时又要学《高等代数》课程。觉得高等代数与数学分析不太一样,比较“另类”。不一样在于它研究的方法与数学分析相差太大,数学分析是中学数学的延续,其内容主要是中学的内容加极限的思想而已,同学们接受起来比较容易。高等代数则不同,它在中学基本上没有“根”。其思维方式与以前学的数学迥然不同,概念更加抽象,偏重思辨与证明。尤其是下学期,证明是主要部分,虽然学时不少,但是理解起来仍困难。它分两个学期。我们上学期学的内容,可以归结为“一个问题”和“两个工具”。一个问题是指解线性方程组的问题,两个工具指的是矩阵和向量。你可能会想:线性方程组我们学过,而且解它用得着讲一门课吗?大家一定要明白,首先我们的方程组不像中学所学仅含2到3个方程,它只要用消元法即可容易地求出,这里的研究的是所有方程组的规律,也就是所必须找到4个以上方程组成的方程组的解的规律,这样就比较难了,需要对方程组有个整体的认识;再者,数学的宗旨是将看似不同的事物或问题将它们联系起来,抽象出它们在数学上的本质,然后用数学的工具来解决问题。实际上,向量、矩阵、线性方程组都是基本数学工具。三者之间有着密切的联系!它们可以互为工具,在今后的学习中,你们只要紧紧抓住三者之间的联系,学习就有了主线了。向量我们在中学学过一些,物理课也讲。中学学的是三维向量,在几何中用有向线段表示,代数上用三个数的有序数组表示。那么我们线性代数中的向量呢,是将中学所学的向量进行推广,由三维到n维(n是任意正整数),由三个数的有序数组推广到n维有序数组,中学的向量的性质尽可能推广到n维,这样,可以解决更多的问题;矩阵呢?就是一个方形的数表,有若干行、列构成,这样看起来,概念上很好理解啊。可是研究起来可不那么简单,我们以前的运算是两个数的运算,而现在的运算涉及的可是整个数表的运算!可以想象,整个数表的运算必然比两个数的运算难。但是我们不必怕,先记住并掌握运算,运算再难,多练几遍必然就会了。关键是要理解概念与概念间的联系。再进一步说吧:中学解方程组,有一个原则,就是一个方程解一个未知量。对于线性代数的线性方程组,方程的个数不一定等于未知量的个数。比如4个方程5个未知量,这样就不可能有唯一的解,需要将一个未知量提出来作为“自由未知量”,也就是将之当做参数(可以任意取值的常数);还有,即使是方程个数与未知量个数相同,也未必有唯一的解,因为有可能出现方程“多余”的情况。(比如第三个方程是前两个方程相加,那么第三个方程可以视为“多余”)总之,解方程可以先归纳出以下三大问题:第一,有无多余方程;第二,解决了这三大问题,方程组的解迎刃而解。我们结合矩阵、向量可以提出完全对应的问题。刚才讲了,三者联系紧密,比如一个方程将运算符号和等号除去,就是一个向量;方程组将等号和运算除去,就是一个矩阵!你们说它们是不是联系紧密?大家可不要小看这三问,我认为它们可以作为学习上学期高代的提纲挈领。下学期主要讲“线性空间”和“线性变换”。所谓线性空间,就是将上学期所学的数域上的向量空间加以推广,很玄是吧?首先数域上的向量空间,是将向量作为整体来研究,这就是我们大学所学的第一个“代数结构”。所谓代数结构,就是由一个集合、若干种运算构成的数学的“大厦”,运算使得集合中的元素有了联系。中学有没有涉及代数结构啊?有的,比如实数域、复数域中的“域”就是含有四则运算的代数结构。而向量空间的集合是向量,运算就两个:加法和数乘。起初向量及其运算和上学期学的一样。可是,它的形式有局限啊,数学家就想到,将其概念的本质抽取出来,他们发现,向量空间的本质就是八条运算律,因此将它作为线性空间(也称向量空间)的公理化定义,作为原始的向量、加法、数乘未必再有原来的形式了。比如上学期学的数域上的多项式构成的线性空间。继而,我们将数学中的“映射”用在线性空间上,于是有了“线性变换”的概念。说到底,线性变换就是线性空间保持线性运算关系不变的自身到自身的“映射”。正因为保持线性关系不变,所以线性空间的许多性质在映射后得以保持。研究线性空间与线性变换的关键就是找到线性空间的“基”,只要通过基,可以将无数个向量的运算通过基线性表示,也可以将线性变换通过基的变换线性表示!于是,线性空间的元素真正可以用上学期的“向量”表示了!线性变换可以用上学期的“矩阵”表示了!这是代数中著名的“同构”的思想!通过这样,将抽象的问题具体化了,这也就是我们前边说的“矩阵”和“向量”是两大工具的原因。同学们要记住,做线性空间与线性变换的题时这样的转化是主方向!进一步:既然线性变换可以通过取基用矩阵表示,不同的基呢,对应不同的矩阵。我们自然想到,能否适当的取基,使得矩阵的表示尽可能简单。简单到极致,就是对角型。经研究,发现若能转成对角型的话,那么对角型上的元素是这样变换(称相似变换)的不变量,这个不变量很重要,称为变换的“特征值”。矩阵相似变换成对角型是个很实用的问题,结果,不是所有都能化对角,那么退一步,于是有了“若当标准型“的概念,只要特征多项式能够完全分解,就可以化若当标准型,有一章的内容专门研究它。这样的对角型与若当标准型有什么用呢?我们利用它是同一个变换在不同基下的矩阵表示,可以通过改变基使得研究线性变换变得简单。最后的“欧氏空间”许多人不理解,一句话,就是仿照我们可见的三维空间,对线性空间引进度量,向量有长度、有夹角、有内积。欧氏空间有了度量后,线性空间的许多性质变得很直观且奇妙。我们要比较两者的联系与差别。此章主要讲了两种变换:对称变换与正交变换,正交变换是保持度量关系不变,对称变换在正交基下为对称阵。相似变换对角化问题到了这里变成正交变换对角化问题,在涉及对角化问题时,能用正交变换的尽量用正交变换,可以使得问题更加的容易解决。说到这里,大家对高代有了宏观的认识了。最后总结出高代的特点,一是结构紧密,整个课程的知识点互相之间有着千丝万缕的联系,无论从哪一个角度切入,都可以牵一发而动全身,整个课程就是铁板一块。二是它解决问题的方法不再是像中学那样的重视技巧,以“点”为主,而是从代数的“结构”上,从宏观上把握解决问题的方案。这对大家是比较抽象,但是,没有宏观的理解,对此课程必然学不透彻!建议同学们边比较变学习,上学期的向量用中学的向量比较,下学期的向量用上学期的比较。在计算上理解概念,证明时注重整体结构。关于证明,这里一时无法尽言,请看我的《证明题的证法之高代篇》,那里有详细叙述。 忠杰
高等代数的基础是“线性方程组”,由于解线性方程组的过程中需要很多简便的工具,所以开发出了矩阵(从系数矩阵开始),并且有的方阵的行列式是一个很方便的东西,所以就定义了行列式的概念。
将一些基础“概念”扩充为一些“结构”,便引出了线性空间的概念,使得在一定的规则下,一些特殊的元素根据它们之间的一些运算可以构成一个体系。这些空间的一些转化(比如坐标转化)又需要线性变换的概念,其实研究一些空间之间的线性映射。但是线性空间已经不太好理解了,又将映射加进去,就更加抽象了,所以这一部分难度较大。
在这些研究中,有一些特殊的矩阵,特殊的空间,非常常见,将它们单独拿出来单独研究,就出现了“二次型”;
而在研究线性变换中的特征值问题时,引出了工具“λ-矩阵”;
这些讨论的基础是数域,而除了域的概念,环的概念也很重要,其实就是所有的整数组成集合构成的数学结构,这一结构与所有多项式构成的结构有同样的结构;此外,在研究特征值问题的时候也需要研究多项式。所以,在最开始的时候,我们需要学习多项式理论。
把代数和几何联系起来思考,这个就是要点
线性代数是一套记号体系,最直接的应用就是几何,所以线性代数里有大量几何化的概念
大学得数学嘛?
如何学习代数理论的相关知识?
2.理解概念:代数理论涉及到许多抽象的概念,如群论、环论、域论等。理解这些概念需要一定的数学思维和逻辑推理能力。你可以通过阅读相关的数学书籍或参加数学讨论班来加深对这些概念的理解。3.解决问题:代数理论的学习不仅仅是记忆公式和定理,更重要的是能够运用所学知识解决实际问题。你可以通过做一些...
线性代数怎么学
1、了解线性代数的核心概念:线性代数的核心概念包括向量、矩阵、线性变换、行列式、特征值和特征向量等。首先要理解这些概念的含义,它们之间的关系,以及如何在数学和实际问题中应用它们。2、找到正确的学习资源:线性代数有许多学习资源,包括教科书、在线视频、学习网站和论坛等。找寻适合自己的学习资源对于...
如何学好高等代数
不一样在于它研究的方法与数学分析相差太大,数学分析是中学数学的延续,其内容主要是中学的内容加极限的思想而已,同学们接受起来比较容易。高等代数则不同,它在中学基本上没有“根”。其思维方式与以前学的数学迥然不同,概念更加抽象,偏重思辨与证明。尤其是下学期,证明是主要部分,虽然学时不少,...
怎么学好代数式,有什么好方法
代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子。例如:ax+2b,-2/3等。\\x0d\\x0a\\x0d\\x0a代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。初等代数是更古老的...
学好线性代数有哪些方法?
选择课程:选择适合自己水平的课程,不要害怕挑战高阶课程。参与讨论:积极参与课堂讨论,提问和解答问题。5. 使用在线资源 视频教程:抖音和其他平台上有许多高质量的线性代数教学视频。互动平台:利用慕课等提供的练习和反馈来增强理解。6. 研究应用 跨学科学习:了解线性代数在物理、计算机科学等领域的...
高等代数数学分析如何复习?
平心而论,高等数学确实是一门比较难的课程。极限的运算、无穷小量、一元微积分学、多元微积分学、无穷级数等章节都有比较大的难度。 很多学生对“怎样才能学好这门课程?”感到困惑。要想学好高等数学,要做到以下几点: 首先,理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是...
如何学习代数数论?
学习代数数论需要一定的数学基础,包括高等代数、抽象代数和数论等。以下是一些建议:1.阅读教材和参考书籍:选择一本权威的教材或参考书籍,如《代数数论导论》(IntroductiontoAlgebraicNumberTheory)或《代数数论》(AlgebraicNumberTheory)等。这些书籍通常会提供详细的理论介绍和实例分析,帮助你建立起对代数数论...
如何轻松学好线性代数?
线性代数是一门重要的数学课程,它涉及到向量空间、线性变换、矩阵等内容。以下是一些学习线性代数的方法:1. 理解概念:线性代数的概念非常重要,因此您需要花时间理解这些概念。例如,向量空间是一个具有特定性质的集合,而线性变换则是一种保持向量空间性质的映射。2. 做练习题:练习题是学习线性代数的...
零基础该如何学好线性代数?
线性代数是一门重要的数学课程,对于零基础的学生来说,学好它需要一定的方法和技巧。以下是一些建议:1.建立良好的数学基础:线性代数是建立在高中数学基础上的,因此,如果你的数学基础不够扎实,建议你先复习一下高中数学的相关知识,如代数、几何和三角函数等。2.学习概念和定义:线性代数的概念和定义...
怎样学好高等代数
也不要以为把习题集都做一遍,脑子里装满各种题目就可以学好高等代数。诚然做题甚至是大量做题是学好高代的必要条件,但还不是充分条件。这些话有一定道理,但并不正确。本质上讲,学好高代很像当年令狐冲当年学独孤九剑,首先要学会扎马步,握剑等基本动作,鉴于令狐冲是气宗的弟子,他还要学些内功心法...
佛逄福至: 高等代数,入门门槛比较低,楼主只要还记得高中学过的数学内容,就可以开始看高代了,如果不记得了,建议在复习一下高中知识,特别是解方程组的知识和向量的知识,这在高代里面是很重要而且使用频繁的内容.至于高代入手,这个不用楼主太费心,去购买一本大学的高代教材(如北大的《高等代数》),然后从头开始自学. 高代一般是从多项式的理论基础--->行列式-->矩阵及矩阵有关-->齐次与非齐次方程组-->二次型与正定矩阵等等,由简到难过渡的,最简单的多项式基础基本上高中知识完全能够理解,也就是说入门没问题,无须担心,至于后面,要多做题,多用抽象思维来设想,才能有所领悟.
山阴县18595695673: 高等代数怎么学好? - ?
佛逄福至: 一、将三门基础课作为一个整体去学,摒弃孤立的学习,提倡综合的思考 恩格斯曾经说过:“数学是研究数和形的科学.”这位先哲对数学的这一概括,从现代数学的发展来看,已经远远不够准确了,但这一概括却点明了数学最本质的研究对象...
山阴县18595695673: 如何学习高等代数? - ?
佛逄福至: 如果你只是为了考试及格就行,那就非常简单了,只要上课听听,注意下老师布置的作业,考试前用心看课后习题,绝对可以过.但是如果是为了学好高数,考研,你就要花心思下去,课前必须预习,课后不仅仅是完成课后习题,还要去图书馆借参考书,多扩展,练习要多做——为了巩固,而书上的定理,一定要自己多推几遍,最后要不看书自己都可以很有逻辑性的推理下来(但不是去背书上的推理过程),要弄清楚前因后果.
山阴县18595695673: 怎样学好高等代数这门课程.方法技巧 - ?
佛逄福至: 高等代数么,简单,就是眼光放长远些,别用单个数字来衡量整体性数字,方法和以前学习一样,用我们老师的话来说就是,以前放一只羊,现在放一群羊,一只羊是放,一群羊也是放,没...
山阴县18595695673: 怎样学好高等代数?学习高等代数的方法? - ?
佛逄福至: 学习要安排一个简单可行的计划, 改善学习方法.同时也要适当参加学校的活动,全面发展. 在学习过程中,一定要:多听(听课),多记(记重要的题型结构,记概念,记公式),多看(看书),多做(做作业),多问(不懂就问),多动手(...
山阴县18595695673: 大学如何学好高等代数? - ?
佛逄福至: 同学们,当你们正在《数学分析》课程时,同时又要学《高等代数》课程.觉得高等代数与数学分析不太一样,比较“另类”.不一样在于它研究的方法与数学分析相差太大,数学分析是中学数学的延续,其内容主要是中学的内容加极限的思想...
山阴县18595695673: 大学里如何才能学好高等代数? - ?
佛逄福至: 我是数学系的,高等代数有本辅导书叫三导丛书,红色封面的,里边的题目及分析都很好,这本书让我现在考研复习很顺利,另外这门课重点在于方法计算,二次型后的章节有点难,要多思考,另外题目一定要做足
山阴县18595695673: 如何学好高等代数??
佛逄福至: 高数是大学中最不好学的课程之一.没有更好的办法,只能上课认真听和记,记住并弄懂重要定理的常用公式,课后多做证明和应用题,尤其是典型例题及常用公式的应用范例.多找老师答疑.努力会学好的.
山阴县18595695673: 大学应该如何学习高等代数和数学分析 - ?
佛逄福至: 数学考察的是反应的灵敏度,也就是我们通常说的数学意识,我们要在瞬间联想到一切与之相关的知识点才能做好一道题.这既是数学难学的地方,但它又恰恰是它的放光点..学好数学首先一点是要焖心自问,自己是否是真心的想要学好它,如果...
山阴县18595695673: 高等代数与解析几何要怎么学? - ?
佛逄福至: 解析几何就是用坐标来解决几何问题.会用到一些微积分的知识.一般来说数学专业大一就能修完高代,但数学分析只能修到一半,要学的话建议高代和数学分析先,接着在学解析几何. 如果是考试,那就看书,做习题.如果是应用,那就掌握数学思想,会基本计算,应用中用Matlab就能解决! 只要你努力就不难,考分,看书多做习题,无捷径.如果非要走捷径,可以去相关班级借讲义!