奥数题目 关於圆内接四边形
332组解。
设此四边形为ABCD，为叙述方便，设其中四边边长AB=a，BC=b，CD=c，DA=a。
不妨设，最大边边长为a。
那么，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：a<16。（证明参见附注）
于是，原题即为：求方程a+b+c+d=32的正整数解的个数，其中a最大且a<16。
（注意b和d可以交换(边长相同但是方向相反的四边形形状相同，如(a,b,c,d)=(15,1,9,2)和(15,2,9,1))，但是bcd不能轮换）。
这样的整数解为：332组。
过程如下：
对于已知的a,c,(a,b,c,d)有min(x,y)种解。
其中
x=int[(32-a-c-1+1)/2]
(a,c定了后，b,d的范围为1~32-a-c-1.
y=int{[a-(32-a-c-a)+1+1]/2},即y=int[(a+c)/2]+a-15.
(注意两点：b和d可以轮换；b、d<=a)
下面讨论对于给定的a，c的范围为：
1)a=15~11时，c的取值范围为1~a
2)a=10.c范围为10~2.(因为若c=a，那么b+d=21，必有一个大于a)
3)a=9.c范围为9~5.(因为若c18，必有一个大于a)
4)a=8.c只有一解：c=8.(因为若c16，必有一个大于a)
合计，共332组解。
1)a=8 1组解；
2)a=9 9组解；
3)a=10 25组解；
4)a=11 44组解；
5)a=12 57组解；
6)a=13 65组解；
7)a=14 67组解；
8)a=15 64组解；
附注：四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：a<16。
证明：
引理1：四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：|(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)|<1
我们知道，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为：角B+D=180。
注意到 a*a+b*b-2ab*cosB=AC*AC=c*c+d*d-2cd*cosD=c*c+d*d+2cd*cosB
即 cosB=(a*a+b*b-c*c-d*d)/2(ab+cd)。
注意到0<B<180,
（即对于四条边,a,b,c,d，我们调整角B为上述角度，得到的四边形共圆）
于是，四边形ABCD能够内接于圆的充分必要条件为
cosB=(a*a+b*b-c*c-d*d)/2(ab+cd)有解，也就是
|(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)|<1 （*）
引理完成后，我们对这个（*）变形如下：
(*) -1<(a^2+b^2-c^2-d^2)/2(ab+cd)<1
0<(a^2+b^2+2ab-c^2-d^2+2cd)/2(ab+cd)<2
0<((a+b)^2-(c-d)^2)/2(ab+cd)<2
0<(a+b+c-d)*(a+b-c+d)/2(ab+cd)<2
注意到a+b+c+d=32，上式即：
0<(32-2d)*(32-2c)/2(ab+cd)<2
0<(16-d)*(16-c)/(ab+cd)<1 (**)
注意到a为最大边。如果c>=16,那么a>=c>=16=>a+b+c+d>32,矛盾。
因此c<16,同理d<16,b<16.
P.S.估计你是个高中生，所以对于引理的证明没有用高等代数。
实际上，用高等代数中的一点关于“连续性”的概念，引理非常简单：
对于一个变长给定的四边形，由于可以按对角“拉伸”使角度发生变化，而变化的过程是连续的，那么，我们可以角B+角D从最小的（A或者C成为180度，那么B+D一定小于180）到最大的（B或者D为180度，那么B+D一定大于180度）变化是连续的，一定有一个状态，是B+D=180.此时ABCD四点共圆。
存在性由连续性保证了，唯一性由变化的单调性保证。这一块仔细讲起来稍微麻烦点，但是大致是这个意思。
延长CE交圆O于G
因为CF=BF
所以角FCB=角FBC
所以弧CD=弧BG
又因为CE垂直于AB
所以弧CB=弧BG
弧CD=弧CB
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