高等数学,关于分段函数连续性,可导性问题, 能不能就这道题讲一下这类题目的解题步骤? 比如分段函数
答案解释有问题,如果函数可导则必然连续,连续不一定可导。而导数存在的定义就是左导数等于右导数。
可以用定义啊,但是必须是求导的定义公式
即f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
例如这个函数f(x)=x(x≥0);x-1(x<0)
这样一个分段函数,你不能认为在x=0点的左导数为(x-1)'=1
右导数为(x)'=1,左右导数都是1,所以在x=0点的导数为1
因为(x-1)'=1和(x)'=1都是在函数连续的前提下才成立的。
而这函数只是右连续,没有左连续。
所以用(x-1)'=1求左导数就是错误的。
只能用f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-x0)来求左导数
左导数为f'(0-)=lim(x→0-)[f(x)-f(0)]/(x-0)
=f'(0-)=lim(x→0-)[(x-1)-0]/x(因为f(0)是根据x的计算式得到f(0)=0)
=lim(x→0-)(x-1)/x=∞
所以左导数不存在,在该点不可导。
函数在某点处的左右极限存在且都等于函数值,则函数在该点连续;如果不连续,则直接判定不可导。在连续的基础上,若该点处左右导数存在且相等,则该点处可导。
含义
如果自变量在某一点处的增量趋于0时,对应函数值的增量也趋于0,就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意:在函数极限的定义中曾经强调过,当x→x0时f(x)有没有极限,与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续,则表示f(x0)必定存在,显然当Δx=0(即x=x0)时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
函数在某点处的左右极限存在且都等于函数值,则函数在该点连续;如果不连续,则直接判定不可导。在连续的基础上,若该点处左右导数存在且相等,则该点处可导。本题解法如下:
就是按照导数的定义,主要是求极限。解答如图:
呃,连续的问题就两个式子带进去试一下看等不等
可导的话,用定义吧,x→0,lim=(1/x*sinx*sinx)/x=?
这个题有导数吧,是1~~~好神奇~~~好像1/x*sinx在0处是没有的
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维西傈僳族自治县18828683774: 高数中.连续性和可导性怎么判断?
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维西傈僳族自治县18828683774: 高等数学分段函数的连续性 可导性 之类的问题 着实纠结 请看图!! - ?
郸衫步迈: 你好!第一个问题,因为他在零的两端可导,说明是连续的,而且极限都是一,仅代表个人观点,不喜勿喷,谢谢.