极限的ε—n定义法例题步骤
极限的ε—n定义法例题步骤如下：
用极限定义证明数列极限的关键是对门E>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<E成立,这里的几ε>0,由证题者自己给出。因此,关键是找出N。
极限定义证明数列极限的关键
1、对门E>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<E成立,这里的几ε>0,由证题者自己给出。因此。关键是找出N。那么,如何寻找N呢?
2、显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<E成立。而an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<E,找到使|an-a|<E成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<E的解集。该解集是自然数集N的无限子集,对同一个E,N并不惟一。
3、因此,只需在该解集找出一个作为N即可。这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<E的问题了。
六种方法
1、利用数列极限
2、利用极限性质
3、利用迫敛性
4、利用级数收敛的必要条件
5、利用单调有界原理
6、利用柯西准则
数列极限
设{Xn}为实数列,a为定数.若对任给的正数E,总存在正整数N,使得当n>N时有Xn-a|<E则称数列{Xn}收敛于a,定数a称为数列{Xn}的极限,并记作Xn→a(n→~)读作"当n趋于无穷大时,{Xn}的极限等于或趋于a"。
定理1:如果数列{Xn}收敛,则其极限是唯一的。
定理2:如果数列{Xn}收敛,则其一定是有界的。即对于一切n(n=1,2......),总可以找到一个正数M,使|Xn|<M。
证明：lim(n->∞)(1/n)=0。
证：任给正数ε，要使|1/n-0|=1/n<ε=1/(1/ε).(或1/n≤ε，但通常只取<ε)。
只要取N≥1/ε，就有，当n>N时，|1/n-0|<ε.得证！
老黄的这个证明方法有两处与众不同的地方。
1、老黄会把1/n看作一个关于n的函数f(n)=1/n，并且把ε化成f(g(ε))的形式。这样就可以通过函数f的增减性，判断满足条件的n和g(ε)的关系。
只有当f(n)<f(g(ε))时，所求证的极限才是正确的，这时必须有n>N>g(ε)，所以函数f在正区间上必须是一个减函数，否则不能得证。
2、老黄用的是一种逆向思维的方法，避免了初学者不知道怎么求N与g(ε)的关系的难点。这也是因为老黄实在太笨，才会想到的方法。聪明的人直接就看得出来了。
极限的定义是什么样的?举一个实例。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②同时成立，即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)\/2≤ε,因为(b-a)\/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，假设不成立，因此不...
怎么用极限的ε
ε 的情况下，找到 δ ，或 N，这是极限证明的核心！也就是说，δ 或 N 是 ε 的函数，是由 ε 决定的；随便更改 ε，δ 或 N 也随之更改。2、就 ε-N 证明方法而言，根据 ε ，计算出一个 N，这个 N 也不是固定的：A、N 的取值跟 ε 紧密相关，或者说 N 由 ε 所确定；...
高等数学,数列的极限,数列极限的定义中的N为什么与给定的正数ε有...
N和ε的关系是，假如你说这个极限Xn趋近于5。你说当我n超大的时候，大于你给出任何一个正数N的时候，你再随便给我一个最小最小的数，我用Xn-5得到的值比这个最小最小的数都小，那么在数学上这好像就是趋近于0了，就说明Xn的极限就是5了。数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时...
重要极限公式的推广有哪些?
1、x趋近于0时，sinx\/x的极限为1。2、n趋近于无穷大时,（1+1\/n）的n次方的极限为e。两个重要极限的公式本身十分简单， 但由它们上面却引出许多的话题。 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想。极限公式介绍：因为...
如何理解极限的分析性定义。要举例,正反两面都要
定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时, |Xn - a|<ε 都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)编辑本段极限的思想 极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念...
求帮助!!!高数微积分~~~
x趋近于+∞时f(x)极限是A，这个先给一个“误差”，把它叫ε，这是一个要求，要求f(x)和A的距离要比这个小；因为x极限趋势是趋近+∞的，所以x的“本领”是可以很大，怎么样表明x充分发挥“可以很大”这个本领以后“误差”就可以充分小呢？我们就找一个衡量“本领”的标准N，这个N的特点是“...
高数——用定义法证明数列极限的思路
意思就是数列的极限和前面的项无关，只需要满足某项之后|xn-a|充分小即可 举个例子来说吧：数列a1,a2,…,an,an+1,… 和数列an+1,an+2,…的极限是一样的（如果极限存在）有问题可以追问，望采纳
高中数学《数列的极限》教学设计_高中数学数列极限
但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难,能够通过具体的几个例子,归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念,认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。 四、教学策略及教法设计 本课是采用启发式讲授教学法,通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。
有极限就有界吗?
证：设数列{xn}的极限a，则由极限定义，对于ε=1，存在N>0，当n>N时，（N是个有限数）有|xn-a|<1，则 |xn|=|xn-a+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a| 取M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a| } 则我们会发现，所有的 |xn|<M，（因为M=max{ |x1|，|x2|，...，|xN|，1...
【数学分析】海涅定理(归结原则)(是个人就能看懂的证明过程)
充分性的证明：关键在于充分性部分，我们采用反证法来证明。假设存在某个数列 (bn) 满足特定条件，但子结论 (对于任意小的 ε, 总能找到 n 使得 |bn - L| < ε) 不成立。这意味着，即使我们知道 (bn) 满足条件，它并不总是趋向于 L。为了推翻这个假设，我们构造一个数列 (cn)。注意到，cn...
朱支悦康：[答案] 1 2 3的一些共同步骤就此省略,只写下思路:1.基本原理:m的三次方-n的三次方=(m-n)(m²+mn+n²),其中m²+mn+n²=(m+1/2n)²+3/4n²≥3/4n²因此|3次√Xn-3次√a|≤|Xn-a|/0.75(a的...
石台县19163163181： 证明lim(n→∞)(3n^2+n)/(n^2+1)=3 急用,要用极限的定义ε - N证明~麻烦写出具体的步骤 - ？
朱支悦康：[答案] 推荐答案错误!它没有使用极限定义证明.证明:对任意ε>0,解不等式│(3n²+n)/(n²+1)-3│=│(n-3)/(n²+1)│0,总存在正整数N≥[1/ε].当n>N时,有│(3n²+n)/(n²+1)-3│∞)[(3n²+n)/(n...
石台县19163163181： 关于极限的ε - N定义 - ？
朱支悦康： 令a=1+b(b>0) 则a^n=(1+b)^n=二项式展开>n*(n-1)*b^2/2(n>2) 当n>2时,n-1>n/2,此时 a^n>n^2*b^2/4=n^2*(a-1)^2/4 所以0<n/a^n<4n/(n^2*(a-1)^2) 而(n^2*(a-1)^2)趋于0,所以lim(n/a^n)=0
石台县19163163181： 关于极限的ε - N定义怎么用极限的ε - N定义证明n→∞ 时lim(n/a^n)=0a>1 - ？
朱支悦康：[答案] 令a=1+b(b>0) 则a^n=(1+b)^n=二项式展开>n*(n-1)*b^2/2(n>2) 当n>2时,n-1>n/2,此时 a^n>n^2*b^2/4=n^2*(a-1)^2/4 所以0而(n^2*(a-1)^2)趋于0,所以lim(n/a^n)=0
石台县19163163181： 如何计算根据数列极限定义证明类型题? - ？
朱支悦康： 要从定义证明一数列的极限,首先你要明白数列极限的定义是什么:设数列为Xn,如果对任意的ε,都存在N(N一般与ε有关),使得当n>N时,都有|Xn-a|无穷) Xn = a.证明的关键点在于:如何找出满足条件的N.一般我们采取这样的方法:若|Xn-a|
石台县19163163181： 用定义法如何证明数列极限请给出解题步骤.判断该数列有无极限.若有请写出.Xn=cos(1/n) - ？
朱支悦康：[答案] 该数列有极限的,极限为 1.证明如下:对任意ε>0,要使 |cos(1/n)-1| = |-2{sin[(1/n)/2]}^2]| 只需 n > 1/ε,取 N=[1/ε]+1,则当 n>N 时,有 |cos(1/n)-1|解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答
石台县19163163181： 利用数列极限的ε~N定义证明极限的问题？
朱支悦康： 极限考虑的都是n趋近于无穷大时的规律,尤其是数列极限,那么对于一个数列来讲,他的极限,几乎与数列的前若干项是无关的,比如数列的前5项是完全没有规律的数,那么从第六项开始,数列开始收敛,那么也可以说这个数列是有极限的.所以定义的时候,只强调n充分大的情况,是可以的
石台县19163163181： 用数列极限的ε - N定义证明limn→∞nn=1. - ？
朱支悦康：[答案] 记hn= nn −1. 则 hn≥0且n=(1+hn)n≥ n(n−1) 2hn2(n>1). 由此得:0≤hn≤ 2n−1. 从而,∀ε>0,取N=[ 1+2ε2],则∀n>N,有| nn −1|=hn<ε 因此, lim n→∞ nn =1.
石台县19163163181： 用定义求极限n^(1/n)用ε - N定义求极限n^(1/n)→1当n→+∞时 最好写个过程给出N表达式 - ？
朱支悦康：[答案] 对于任意ε>0, 存在N>0使得 当n>N时有ln(1+ε)>(lnn)/n (因为(lnn)/n单调递减) 那么 1+ε>n^(1/n) 又1-ε故 1-ε-ε|n^(1/n)-1|那么对于任意ε>0,存在N>0,使得当n>N时 |n^(1/n)-1|故lim (n->∞) n^(1/n)=1 注:这个N的值其实是反着求出来的.
石台县19163163181： 高数——用定义法证明数列极限的思路”设{xn}为一数列,如果存在常数a,对任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|... - ？
朱支悦康：[答案] 意思就是数列的极限和前面的项无关,只需要满足某项之后|xn-a|充分小即可 举个例子来说吧: 数列a1,a2,…,an,an+1,… 和数列an+1,an+2,…的极限是一样的(如果极限存在)
