设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为

~ 设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为:
设f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
因为x,y,z是非负实数,
所以,在x,y,z是非负实数域内f对x,y,z的偏微分都存在,
三元函数f有极值的必要条件：
设P0(x0,y0,z0)是x,y,z非负实数域内的一点,
则f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2在p0处可微分且有极值,
则əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,
三元函数f有极值的充分条件：
若əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,
对二阶偏微分组合表达式用D表示 D={[h1(ə/əx)+h2(ə/əy)+h3(ə/əz)]^2}f,
当√[(h1)^2+(h2)^2+(h3)^2]甚小时,
若D恒为正,可理解为此处的曲面开口向上,则f(P0)为极小；
若D恒为负,可理解为此处的曲面开口向下,则f(P0)为极大.
现在开始找这个P0点,P0=(x0,y0,z0)：
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
求一阶偏微分：
əf/əx=2xy^2+2xz^2=2x(y^2+z^2),
əf/əy=2yx^2+2yz^2=2y(z^2+x^2),
əf/əz=2zy^2+2zx^2=2z(x^2+y^2);
求二阶偏微分：
ə[əf/əx]/əx=ə[2x(y^2+z^2)]/əx=2(y^2+z^2),
ə[əf/əy]/əx=ə[2y(z^2+x^2)]/əx=4xy,
ə[əf/əz]/əx=ə[2z(x^2+y^2)]/əx=4zx,
ə[əf/əx]/əy=ə[2x(y^2+z^2)]/əy=4xy,
ə[əf/əy]/əy=ə[2y(z^2+x^2)]/əy=2(z^2+x^2),
ə[əf/əz]/əy=ə[2z(x^2+y^2)]/əy=4yz,
ə[əf/əx]/əz=ə[2x(y^2+z^2)]/əz=4zx,
ə[əf/əy]/əz=ə[2y(z^2+x^2)]/əz=4yz,
ə[əf/əz]/əz=ə[2z(x^2+y^2)]/əz=2(x^2+y^2),
一阶偏导等于0,才有可能存在极值,
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0,
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0,
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0;
再结合 x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,
x,y,z不可能同时为0,
则
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0时,x=0,y+z=2,记为A; 或 x=2,y=z=0,记为D;
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0时,y=0,z+x=2,记为B; 或 y=2,z=x=0,记为E;
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0时,z=0,x+y=2记为C; 或 z=2,x=y=0,记为F;
在这几个范围内一阶偏导数都等于0,f函数的极值就存在于它们中间.
在A的情况下,
因为x=0,f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2,
y,z分别取何值时可以使f=y^2z^2取得极值?
问题回到二元函数极值的求解过程：
əf/əy=2yz^2=0,əf/əz=2y^2z=0,才可能取极值,
y=0,z=2,x=0；或y=2,z=0,x=0
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2=0 是其极小值;
当x=0,y=1,z=1,【这个解是联立y+z=2,和y^2z^2获得极大值为条件而解得的】,
记为 点G(0,1,1),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理,在B的情况下,x=0,y=0,z=2; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值,
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=z^2x^2=0;
当x=1,y=0,z=1,记为 点H（1,0,1）,
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理,在C的情况下,x=0,y=2,z=0; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值,
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=x^2y^2=0;
当x=1,y=1,z=0,记为I(1,1,0),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
D=ə[əf/əx]/əx+ə[əf/əy]/əx+ə[əf/əz]/əx+
+ə[əf/əx]/əy+ə[əf/əy]/əy+ə[əf/əz]/əy+
+ə[əf/əx]/əz+ə[əf/əy]/əz+ə[əf/əz]/əz=
=2(y^2+z^2)+4xy+4zx+
+4xy+2(z^2+x^2)+4yz+
+4zx+4yz+2(x^2+y^2)=
=4(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx),
[偏微分的系数h1,h2,h3都取1]
二阶偏微分在那些点的值都是正值,至少可以判断0是函数的极小值.
函数极大值的判断要利用别的方法.注意,最大值是在极大值和特殊点的值（比如端点值或特殊点值）中经过比较选出的.
总结：考察下面的几个极端值：【D、E、F是增加出来单列的】
即 点A（0,1,1); 或 x=2,y=z=0,即 点D（2,0,0）；
即 点B（1,0,1); 或 y=2,z=x=0,即 点E（0,2,0）；
即 点C（1,1,0); 或 z=2,x=y=0,即 点F（0,0,2）；
x=0,y=1,z=1; 即点G(0,1,1);
y=0,z=1,x=1; 即点H(1,0,1);
z=0,x=1,y=1; 即点I(1,1,0);
在以上存在符合题意条件极值点的范围内确定最大值和最小值：
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值是1,最小值是0,
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值和最小值的和是1.
做得较详细是为了让同学好理解.

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方城县13242665476： 已知x,y,z,为非负实数,且满足x+y+z=30, 3x+y - z=50 求 u=5x+4y+2z的最大值和最小值 - ？
驹殷调经： 将已知的两式相加,y=40-x≥0;两式相减,z=x-20≥0,解出20≤x≤40,将y,z代入u u=3x+160,所以最小值x=20,u=220,同理最大值u=280

方城县13242665476： 已知x,y,z为非负实数,且x+y+z=1,求f(x,y,z)=1/(2+x∧2)+1/(2+y∧2)+1/(2+z∧2)的最大值.答案是4/3.不知道怎么来的 - ？
驹殷调经：[答案] XYZ其中两个为0一个为1

方城县13242665476： 已知x、y、z都是非负实数,且x+y+z=1. - ？
驹殷调经： 证明:因为不等式(1)关于x,y,z全对称,所以,不妨设x>=y>=z. (a) 当y=z=0时,x=1,不等式(1)显然成立. (b) 当z=0,xy>0时,x+y=1,x (1-2x) (1-3x) +y (1-2y) (1-3y) +z (1-2z) (1-3z) =x (1-2x) (1-3x) +y (1-2y) (1-3y) =x (y-x) (1-3x) +y (x-y) (1-3y) ...

方城县13242665476： 已知x、y、z是非负数,且满足条件:x+y+z=30,3x+y - z=50,求w=5x+4y+2z的最大值和最小值 - ？
驹殷调经：[答案] 两式相加,有:4x+2y=80,即:y=40-2x 代入:x+y+z=30 得:z=x-10 因为x、y、z是非负数, 所以,x≥0 y=40-2x≥0 z=x-10≥0 所以,10≤x≤20 所以,w=5x+4y+2z =5x+4(40-2x)+2(x-10) =140-x 所以,w的取值范围为【120,130】

方城县13242665476： 已知非负实数x,yz满足x+y+z=1,则t=2xy+yz+2zx的最大值为多少 - ？
驹殷调经： 解:∵正数x,y,z满足x+y+z=1,可得x=1-(z+y)>0,解得0∴2xy+yz+2zx =yz+2[1-(z+y)](y+z) =yz-2(z+y)^2+2(z+y) ≤(z+y)^2/4-2(z+y)^2+2(z+y) =-7/4(z+y)^2+2(z+y) =-7/4[(y+z)-4/7]^2+4/7,当z+y=4/7时,取等号. ∴2xy+yz+2zx的最大值为4/7.

方城县13242665476： 已知X Y Z 是非负实数且满足条件X+Y+Z=30 3X+Y - Z=50,求:U=5X+4Y+2Z的最大值和最小值 - ？
驹殷调经： 解:将方程组 X+Y+Z=303X+Y-Z=50 用x、y代替Z,得到Z=30-X-Y ①Z=3X+Y-50 ②将①+②得:2Z=2X-20,即Z=X-10,因为X 、Y 、Z 是非负实数,所以,Z=X-10≥0③将③带入可得,Y=40-2X≥0 ④将③、④联合为不等组,解得0≤X≤10U=5X+4Y+2Z=-X+140,将0≤X≤10代入左式可得:130≤U≤140 故U=5X+4Y+2Z的最大值是140;最小值是130.

方城县13242665476： 求解求大神! 1、 已知x、y、z都是非负实数,且x+y+z=1.求证:x(1 - 2x)(1 - 3x - ？
驹殷调经： 已知x、y、z都是非负实数,且x+y+z=1 由于对称性,不妨假设1>=x>=1/3>=y>=z>=0,则yz所以x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z)=x+y+z-5(x^2+y^2+z^2)+6(x^3+y^3+z^3)=x+y+z-5(x^2+y^2+z^2)+6[(1-y-z)^3+y^3+z^3]=x+y+z-5(x^2+y^2+z^2)+6...

方城县13242665476： x,y,z为非负实数,x+y+z=1,求证:x(1 - 2x)(1 - 3x)+y(1 - 2y)(1 - 3y)+z(1 - 2z)(1 - 3z)>=0 - ？
驹殷调经：[答案] x(1-2x)(1-3x)+y(1-2y)(1-3y)+z(1-2z)(1-3z) =(X+Y+Z)-5(X*X+Y*Y+Z*Z)+6(X*X*X+Y*Y*Y+Z*Z*Z) 又有X+Y+Z>=3√XYZ 3√XYZ=0

方城县13242665476： 已知x,y,z为非负实数,且x^2+y^2+z^=1,求x+y+z - 2xyz的最大值 - ？
驹殷调经： 因为x,y,z为非负实数,即正数或0,要使结果最大,则要2xyz最小,也就是期中一个要为0.令z为0,则有x^2+y^2=1,通过圆与直线x+y=k相交可得,当x=y=2分之根号2时,k最大,是根号2 所以结果就是根号2,望亲采纳

方城县13242665476： 已知x,y,z为非负实数,且满足x+y+z=30,3x+y - z=50.求u=5x+4y+2z的最大值和最小值 - ？
驹殷调经： 将已知的两个等式联立成方程组 x+y+z=30① 3x+y?z=50② ,所以①+②得,4x+2y=80,y=40-2x. 将y=40-2x代入①可解得,z=x-10. 因为y,z均为非负实数,所以 40?2x≥0 x?10≥0 ,解得10≤x≤20. 于是,u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=-x+140. 当x值增大时,u的值减小;当x值减小时,u的值增大. 故当x=10时,u有最大值130;当x=20时,u有最小值120.