[说人话的统计学·协和八]第三章·上 t 检验-两组平均数的比较
根据样本均值与标准值的差距、样本均值的波动范围算出两者的比值，然后用这个比值的大小来做判断
那如何获得样本的平均质量的波动范围呢？
样本平均值的波动是由单个随机变量的波动和样本大小所决定的。
如果样本大小为N，样本平均值的波动（标准差）等于总体波动（标准差）除以根号N。
检验统计量 (test statistic)
标准化了的样本与总体均值的差距
样本均值记为X拔，总体均值记为μ0，总体的标准差为σ，样本大小为N，这个比值就是检验统计量
任意一个正态分布可以由两个参数确定，一个是它的均值（也叫位置参数）µ，决定它在数轴上的什么方位；一个是其标准差（也叫形状参数）σ，决定它的胖瘦。因此，我们把正态分布记为N( µ, σ)。
令统计量
则z服从标准正态分布N(0,1)。
当样本量N足够大时，S会非常接近σ，t也会很接近标准正态分布。但是当N比较小时，样本方差往往会小于总体方差，比如在只有一个样本的极端情况下，样本方差必然是0，这显然比总体方差要小了。
由于这个原因，N比较小时，t的分布就会偏离正态分布。统计学家发现，在总体服从正态分布的前提下，t会服从另外一种分布，称为 学生t分布 。
在用t检验时，增加样本的数量是提高统计显著性的有效手段。
在总体服从正态分布的前提下，统计量 t 服从一个类似于正态分布的概率分布——t 分布。对于任意的 t 值，我们可以根据 t 分布的性质（我们在上一集的末尾提到，它其实还与样本量 N 有关）算出对应的「与样本相同或更极端」的概率，这就是我们所说的 p 值了。
这个例子所使用的 t 检验，是将样本的平均值与某个特定的标准值相比较，称为 单样本 t 检验 （one sample t test）
单侧检验p 值就是 t 分布下由数据所得的 t 值左边的曲线下的面积了。
由于 t 分布是对称的，因此对于同样的样本而言，双侧检验对应的 p 值将会是单侧检验的两倍。
要比较两个平均值的差别，而不是一个平均值和已知标准值的差别。这时，我们要使用的统计检验被称作「成对样本的t检验」（paired samples t test）。
这里两个样本中的每个数据点都是一一对应的
成对样本的 t 检验最常见于同一组实验对象两个时间点（比如说干预前后）之间的比较。
独立样本的 t 检验 （independentsamples t test）。顾名思义，它用于比较来自两个独立的样本的均值。
而这两个样本可能来源于两个不同的分布，因此在确定 t 统计量的分母时，我们需要考虑两个样本所来自的分布是否有相同的发散程度（即方差）。因此，在我们使用独立样本的 t 检验之前，需要先进行另外一个检验，查看两个样本各自来自的分布方差是否相等，进而对 t 统计量以及有效的样本量（称为「自由度」）进行不同的处理或修正
使用 Levene 氏检验 （Levene’s test） 分析两个分布方差是否相等，并分类为
方差相等的独立样本的 t 检验
方差不相等的独立样本的 t 检验
样本平均值（或者样本的其他统计量，如标准差等）因为抽样随机性产生的分布，称为抽样分布
当样本量足够大时，抽样分布的正态性就会比较好，t 检验计算出的 p 值从而比较准确。
为了将数据的分布和正态分布做比较，我们需要一个参考正态分布，具有与待测样本相同的均值和方差，然后通过对比这两个分布的形状来判断手上的数据是不是接近正态分布
q 代表的是 quantile（分位数）
当我们有 n 个数据点时，我们可以计算机模拟出正态分布对应的 n 分位数（此为第一 q，对应 x 轴坐标）；同时，我们将数据从小到大排列，就可以得到数据的 n 分位数（此为第二 q，对应 y 轴坐标）。这样我们就能得到一个 q-q 图
q-q 图不仅可以用来判断数据是否符合正态分布，也可以用来判断数据是否符合其它分布，只要用待检测的分布计算出对应的分位数作为 x 轴坐标即可
q-q 图还可以判断两组数据是否来自同一个分布
夏皮罗－威尔克检验（Shapiro-Wilk test）
科尔莫戈罗夫－斯米尔诺夫检验（Kolmogorov-Smirnov test）
有些书认为，当样本量为 15 以上时就可以用 t 检验了
取决于我们的抽样分布在从样本量为 1 一路增长到正无穷时，逼近正态分布的速度
那就是总体分布的形状
感性地来说，总体分布与正态分布越相近（连续、对称），抽样分布能近似为正态分布所需的样本量也就越小
既然总体分布越接近正态分布，抽样分布趋近正态分布的速度就越快，那么一个解决方案便是对数据进行某种转化，使总体分布向正态分布靠拢，从而加快抽样分布逼近正态分布的速度
中心极限定理说了，只要样本量越来越大，甭管那总体分布原来长啥样儿，抽样分布迟早都会变成正态分布
对原数据进行函数变换
保证次序不变：此函数必须是单调的
右偏 （right-skewed）
正偏态 （positive skewness）
例子：人均收入
对数函数 和平方根函数
例子：死亡年龄
取镜像，再用上述方法
或者使用指数函数
并不能解决所有非正态性的问题
对数据进行变换后，重新进行原来计划的统计检验，其意义会发生变化
特例：对数变换 几何平均数（geometric mean）
自动寻找「最佳」变换函数的方法
要确定一个正态分布，只需要两个参数，一是均值（确定分布所在的位置），二是标准差（确定分布的形状有多宽）。
要找到使变换后样本正态性最好的那个 λ，我们只需在所有的 λ 里找出使得正态假设下似然函数最大的那一个。
找 λ 这样的脏活累活交给计算机来干就好了，现在许多数据分析和统计软件都已实现了一键式 Box-Cox 变换的操作。
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