如何证明函数在闭区间上连续
区间上的连续主要麻烦就是分段问题，如果单纯的连续只需要求导，发现是一次或者二次等简单函数就已经完事了。
对于复杂函数、虚拟函数、多重分段函数、假设x=a是它的一个分段点，譬如 f(x)=g(x) (b,a] f(x)=k(x) (a,c) 这个分段函数。
要证明他在x=a处连续，显然g(a)可以求出，那么重点是x>a时。k(x)的问题，那么我们假设k(x)可以取 x=a (严格来说，是趋近于x=a)。
考察 x→a 对应k(x)→k(a) (注意不可以写等号!)
如果k(a)=g(a) 则称f(x)在x=a处连续。
类似上面这样，就是证明右边的左极限等于已知函数值，根据实际题目需要也有证明左边的右极限等于已知函数值，或者左边的右极限等于右边的左极限等等。
对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
扩展资料：
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a，b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a，b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a，b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a，b])必有上确界和下确界。
设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a，b]使f(ξ)=M
若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a，b]，都有f(x)<M。
参考资料来源：百度百科——连续函数
欲证明在开区间连续，要证明在每一点都连续。
只要证明在这区间内的某一点 有定义，左右极限相等，进而可以证明在开区间内连续，但是这一点必须具有任意性。
欲证明在闭区间连续，先证明在开区间连续，再证明在左端点右连续，在右端点左连续即可
拓展资料：
定义
闭区间是数学用语，与开区间相对。
直线上介于固定的两点间的所有点的集合（包含给定的两点）。 闭区间是直线上的连通的闭集。由于它是有界闭集，所以它是紧致的。
闭区间的函数为小于等于的关系，即-∞≤a≤+∞，在数轴上为实心点。闭区间的余集（就是补集）是两个开区间的并集。实数理论中有著名的闭区间套定理。
代表符号：[x,y] ，即从x值开始到y值，包含x、y。比如：x的取值范围是3到5的闭区间，那么用数学语言表示即为 [3,5] ，也就是从3（含）到5（含）之间的数。
参考资料：百度百科-闭区间
欲证明在开区间连续，要证明在每一点都连续。只要证明在这区间内的某一点 有定义，左右极限相等，进而可以证明在开区间内连续，但是这一点必须具有任意性，注意，任意性!
欲证明在闭区间连续，先证明在开区间连续，再证明在左端点右连续，在右端点左连续即可
难呀!不知从何入手!!!
1。一致连续性。 ∵ k(x)为一初等函数，其定义区间[31,2n－1]为闭区间，故在该区间上k(x),[k(x)]＋1都一致连续。[2] ∴ [k(x)]＋1也适用于（31≤x＝N＝{2n－1或2n}＜∞ ).当 x＝34, P2x(1,1)＝[k(x)]＋1＝2, 为下确界点。2。单调递增性。 微分函数 k(x):k′(...
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证明:不管b取何值,方程x^3-3x+b=0在区间【-1,1】上至多存在一个实根...
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大一数学分析,函数极限证明限制问题(不计算,只是有些地方不懂,求解答...
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一道难题,求学霸指点,谢谢
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沙洋县15522935497： 证明:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.要求写出详细的证明过程. - ？
师逸血滞：[答案] 令区间为[a,b],设a
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沙洋县15522935497： 求闭区间上连续函数的性质的证明证明:设f(x)在[a,b]上连续,a - ？
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沙洋县15522935497： 如何证明一个一元函数在闭区间上连续,或在开区间上可导? - ？
师逸血滞： 1)证明一个一元函数在闭区间上连续 就要证明在这个区间上的任意点x0处连续,即在x0处的左极限=右极限=在x0处的函数值 2)在开区间上可导 就要证明在这个区间上的任意点x0处可导,即在x0处的左导数=右导数
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师逸血滞： 易知:f(x)在闭区间[x1,x2]上连续,则它在区间[x1,x2]上必然有最大值m和最小值n,从而有: n=<f(x1)<=m n=<f(x2)<=m 所以 n=〈f(x1)+f(x2)]/2<=m 有根的存在性定理(零点定理): [x1,x2]上必有ε,使得f(ε)=[f(x1)+f(x2)]/2
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师逸血滞：[答案] 严格证明的话要区间套定理,有限闭区间上连续函数的有界定理,用反证法证明
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师逸血滞：[答案] 由定义容易证明sinX,X在闭区间[0,3]上连续. 而连续函数的四则运算所得函数也连续,所以解决.
沙洋县15522935497： 闭区间上的函数一定有界吗?(没说连续)求证明 - ？
师逸血滞： 函数在闭区间上连续,函数的极限存在,函数在x0的某一邻域内有界. 反证法: 设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,函数在[a,b]无界. 将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b],设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界),设a=a1,a+b/2=b1. ...
