高等数学，这题怎么做？

高等数学：这题怎么做？~

简单计算一下，答案如图所示

用等价无穷小替换

图解

对于第一个题目，我们可以使用分部积分法进行求解：
∫(30 / e^x) dx
= -30 * ∫(1 / e^x) dx （分部积分法：u = 30, dv/dx = 1/e^x）
= -30 * (e^-x + C) （积分公式：∫(1/e^x) dx = -e^-x + C）
因此，原式为：
-30 * e^-x + C
对于第二个题目，需要先对代数式进行展开：
(31) / dx = (1 / x) * (sin(x) + cos(x))
然后再应用商规则来求解：
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx
= 31 * ∫(sin(x) / x) dx + 31 * ∫(cos(x) / x) dx
首先考虑第一个积分，由于该积分不是常见的初等函数，可以使用分部积分法和李卜希茨条件来求解。
令 u = sin(x), dv/dx = x^(-1)，可以得到 du/dx = cos(x)，v = ln|x|。
根据分部积分公式，有：
∫(sin(x) / x) dx = sin(x) * ln|x| - ∫(ln|x| * cos(x)) dx
因此，需要计算以下积分：
I = ∫(ln|x| * cos(x)) dx
使用分部积分法，令 u = ln|x|，dv/dx = cos(x)，可以得到 du/dx = sign(x) * x^(-1)，v = sin(x)。
根据分部积分公式，有：
I = ln|x| * sin(x) + ∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx
对于新的积分 ∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx，虽然也不是常见的初等函数，但由于它在 x=0 处连续，因此满足李卜希茨条件，可以使用瑕积分的定义来求解。具体来说，可以将 x 分成两部分进行积分，即：
∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx = ∫(0 to 1)(x^(-1) * sin(x)) dx + ∫(-1 to 0)(x^(-1) * sin(x)) dx
这两个积分都可以使用分部积分法和初等函数求解，最终得到：
- ∫(sin(x) / x) dx = -sin(x) * ln|x| + cos(x) + C1
其中，C1 是一个常数。
接下来考虑第二个积分，同样应用分部积分法，令 u = cos(x), dv/dx = x^(-1)，可以得到 du/dx = -sin(x)，v = ln|x|。
根据分部积分公式，有：
∫(cos(x) / x) dx = cos(x) * ln|x| + ∫(sin(x) / x^2) dx
最后一个积分可以直接使用分部积分求解，令 u = sin(x), dv/dx = -2x^(-3)，可以得到 du/dx = cos(x)，v = x^(-2)。
根据分部积分公式，有：
∫(sin(x) / x^2) dx = -sin(x) / x + ∫(cos(x) / x^3) dx
最后一个积分也可以直接使用分部积分求解，令 u = cos(x), dv/dx = -3x^(-4)，可以得到 du/dx = -sin(x)，v = 2x^(-3)。
根据分部积分公式，有：
∫(cos(x) / x^3) dx = -cos(x) / (2x^2) - ∫(sin(x) / 2x^3) dx
将所有的积分结果带回到原式中，可以得到：
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx
= 31 * (-sin(x) * ln|x| + cos(x) + C1) + 31 * (cos(x) * ln|x| - cos(x) / (2x^2) - sin(x) / (2x^3) + C2)
其中，C1 和 C2 是常数。使用恒等式化简可以得到：
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx = (31 / 2) * [(cos(x) / x^2) - (sin(x) / x) - (cos(x) / x) * ln|x|] + C3
其中，C3 是常数。
因此，原式为：
(31 / 2) * [(cos(x) / x^2) - (sin(x) / x) - (cos(x) / x) * ln|x|] + C3

详细过程如图请参考

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