高等数学,这题怎么做?
简单计算一下,答案如图所示
用等价无穷小替换
图解
∫(30 / e^x) dx
= -30 * ∫(1 / e^x) dx (分部积分法:u = 30, dv/dx = 1/e^x)
= -30 * (e^-x + C) (积分公式:∫(1/e^x) dx = -e^-x + C)
因此,原式为:
-30 * e^-x + C
对于第二个题目,需要先对代数式进行展开:
(31) / dx = (1 / x) * (sin(x) + cos(x))
然后再应用商规则来求解:
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx
= 31 * ∫(sin(x) / x) dx + 31 * ∫(cos(x) / x) dx
首先考虑第一个积分,由于该积分不是常见的初等函数,可以使用分部积分法和李卜希茨条件来求解。
令 u = sin(x), dv/dx = x^(-1),可以得到 du/dx = cos(x),v = ln|x|。
根据分部积分公式,有:
∫(sin(x) / x) dx = sin(x) * ln|x| - ∫(ln|x| * cos(x)) dx
因此,需要计算以下积分:
I = ∫(ln|x| * cos(x)) dx
使用分部积分法,令 u = ln|x|,dv/dx = cos(x),可以得到 du/dx = sign(x) * x^(-1),v = sin(x)。
根据分部积分公式,有:
I = ln|x| * sin(x) + ∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx
对于新的积分 ∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx,虽然也不是常见的初等函数,但由于它在 x=0 处连续,因此满足李卜希茨条件,可以使用瑕积分的定义来求解。具体来说,可以将 x 分成两部分进行积分,即:
∫(sign(x) * x^(-1) * sin(x)) dx = ∫(0 to 1)(x^(-1) * sin(x)) dx + ∫(-1 to 0)(x^(-1) * sin(x)) dx
这两个积分都可以使用分部积分法和初等函数求解,最终得到:
- ∫(sin(x) / x) dx = -sin(x) * ln|x| + cos(x) + C1
其中,C1 是一个常数。
接下来考虑第二个积分,同样应用分部积分法,令 u = cos(x), dv/dx = x^(-1),可以得到 du/dx = -sin(x),v = ln|x|。
根据分部积分公式,有:
∫(cos(x) / x) dx = cos(x) * ln|x| + ∫(sin(x) / x^2) dx
最后一个积分可以直接使用分部积分求解,令 u = sin(x), dv/dx = -2x^(-3),可以得到 du/dx = cos(x),v = x^(-2)。
根据分部积分公式,有:
∫(sin(x) / x^2) dx = -sin(x) / x + ∫(cos(x) / x^3) dx
最后一个积分也可以直接使用分部积分求解,令 u = cos(x), dv/dx = -3x^(-4),可以得到 du/dx = -sin(x),v = 2x^(-3)。
根据分部积分公式,有:
∫(cos(x) / x^3) dx = -cos(x) / (2x^2) - ∫(sin(x) / 2x^3) dx
将所有的积分结果带回到原式中,可以得到:
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx
= 31 * (-sin(x) * ln|x| + cos(x) + C1) + 31 * (cos(x) * ln|x| - cos(x) / (2x^2) - sin(x) / (2x^3) + C2)
其中,C1 和 C2 是常数。使用恒等式化简可以得到:
∫(31 / x)(sin(x) + cos(x)) dx = (31 / 2) * [(cos(x) / x^2) - (sin(x) / x) - (cos(x) / x) * ln|x|] + C3
其中,C3 是常数。
因此,原式为:
(31 / 2) * [(cos(x) / x^2) - (sin(x) / x) - (cos(x) / x) * ln|x|] + C3
详细过程如图请参考
这两道数学题怎么做?各位帮忙看一下。给出答案。 谢谢。
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