和立方与差立方公式
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a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)
公式证明⒈迭代法:
我们知道:
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1,迭代即得。
取公式:(X+1)^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出:
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1…………⑵
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1…………⑶
…………
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………(n)
于是⑴+⑵+⑶+……+(n)有
左边=(N+1)^4-1
右边=4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N
所以:
把以上这已经证得的三个公式代入
4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
2. 因式分解思想证明如下:
a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方和:a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)
立方差:a^3-b^3=(a-b)*(a^2-ab+b^2)
和的立方:(a+b)^3=a^3+3(a^2)b+3(b^2)a+b^3
差的立方:(a-b)^3=a^3-3(a^2)b+3(b^2)a-b^3
扩展资料:
完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式,完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差),即(a±b³=a³±3a²b+3ab²±b³。
完全立方公式指的是两数和(或差)的立方,等于第一个数的立方,加上(或减去)第一个数的平方与第二数积的3倍,加上第一数与第二数平方的积的3倍,再加上(或减去)第二数的立方。这两个公式叫做乘法的完全立方公式,又称二项式的立方公式[1] 。即
参考资料:完全立方公式-百度百科
立方和公式
立方差公式
三项立方和公式
完全立方和公式
完全立方差公式
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立方和差的公式是什么?
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立方和公式,立方差公式完全立方公式是什么
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立方和、立方差、和的立方和、差的立方和的公式
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立方和立方差公式是什么?
公式如下:1、立方和公式为a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。2、立方差公式为a³-b³=(a-b)(a2+ab+b2)。一、关于立方和公式 立方和公式是有时在数学运算中需要运用的一个公式,其文字表达为:两数和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和...
立方和差公式
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立方和和立方差公式是什么样的?
立方差达式为:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。该公式的文字表达为:两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差,所得到的积就等于两数的立方差。立方和与立方差公式的推导过程 1、a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-...
立方和立方差公式是什么?
2、立方差公式表述为:两数的平方和加上它们的积再乘以它们的差,等于这两个数的立方差。3、立方和公式与立方差公式合称为完全立方公式,它们在数学中具有重要地位,尤其在高中数学和数学研究中。4、立方差公式在高等数学和微积分等领域也经常被使用。5、体积单位换算关系如下:- 1立方分米 = 0.001...
镇便橘红: (a+b)的立方=a 的立方+b的立方+ 3a的平方b +3ab的平方 (a-b)的立方=a的立方+ b的立方 -3a的平方b+3ab的平方 希望采纳
仙游县17567506521: 和立方公式与差立方公式? - ?
镇便橘红:[答案] 立方和公式:a^3 + b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2) 立方差公式:a^3 - b^3 = (a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式:a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
仙游县17567506521: 请问一下和的立方与差的立方公式是什么、谢谢 - ?
镇便橘红:[答案] 和的立方公式(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 差的立方公式(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
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仙游县17567506521: 数学两数和立方,两数差立方公式:(a+b)^3=什么 (a - b)^3=什么 - ?
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