和立方与差立方公式

立方和，立方差，和的立方，差的立方公式~

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a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）
=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）
a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）
=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）
公式证明⒈迭代法：　　
我们知道：
0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n
1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2
2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。
取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴
N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵
（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶
…………
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)
于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有
左边=(N+1）^4-1
右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N
所以：
把以上这已经证得的三个公式代入
4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1
得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）
即
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2
立方和公式推导完毕
1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

2. 因式分解思想证明如下：
a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b　
=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）

立方和：a^3+b^3=(a+b)*(a^2-ab+b^2)

立方差：a^3-b^3=(a-b)*(a^2-ab+b^2)

和的立方：(a+b）^3=a^3+3(a^2)b+3(b^2)a+b^3

差的立方：(a-b）^3=a^3-3(a^2)b+3(b^2)a-b^3

扩展资料：

完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式，完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差)，即(a±b³=a³±3a²b+3ab²±b³。

完全立方公式指的是两数和(或差)的立方，等于第一个数的立方，加上(或减去)第一个数的平方与第二数积的3倍，加上第一数与第二数平方的积的3倍，再加上(或减去)第二数的立方。这两个公式叫做乘法的完全立方公式，又称二项式的立方公式[1] 。即

参考资料：完全立方公式-百度百科

立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

完全立方和公式

完全立方差公式

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(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

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镇便橘红： (a+b)的立方=a 的立方+b的立方+ 3a的平方b +3ab的平方 (a-b)的立方=a的立方+ b的立方 -3a的平方b+3ab的平方 希望采纳

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镇便橘红：[答案] 1)立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3; (2)立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; (3)三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac; (4)两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (5)两数差立方公式:(a-b)=a3-...