离散数学。非空集合A上的全关系具有什么性质?

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离散数学在实际中有什么应用~

《离散数学》是理工科高等院校计算机专业的重要基础课程,它不仅为后续课程——数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理、人工智能等做必要的理论准备,而且在培养学生的创新思维、创新能力和综合素质方面有其独特的作用。

到20世纪下半叶乃至21世纪,随着电气时代乃至计算机时代的来临。对直接与计算机打交道的越来越多的人群来说,最重要的数学趋势不再是以微积分为代表的连续数学,而是以图论、组合学、数论、代数、概率论、运筹学与控制论、数理逻辑等为核心内容的离散分析,也就是离散数学。因为计算机是“离散地”处理、计算、安排、存储、调拨、配置,用“离散”近似(可做到相当精确)逼近“连续”。从中学到大学,从数学专业到理工科专业,离散数学的课程和内容逐步与传统的突出连续数学的课程及内容分庭抗礼,起着越来越显著的作用。

最实际的应用比如说最短路径问题,就要用到离散的图论知识,在物流方面应用广泛。求商场最佳进货量,随不是直接的离散问题,也要用到离散的思想。此外,凡是涉及计算机、数值分析的地方就少不了离散数学。离散数学已经越来越多的影响着人类的生活。

应用:在物流方面应用广泛。求商场最佳进货量,虽不是直接的离散问题,也要用到离散的思想。此外,凡是涉及计算机、数值分析的地方就少不了离散数学。离散数学已经越来越多的影响着人类的生活。
《离散数学》是理工科高等院校计算机专业的重要基础课程,它不仅为后续课程——数据结构、操作系统、编译原理、数据库原理、人工智能等做必要的理论准备,而且在培养学生的创新思维、创新能力和综合素质方面有其独特的作用。

离散数学是传统的逻辑学
集合论(包括函数),数论基础,算法设计,组合分析,离散概率,关系理论,图论与树,抽象代数(包括代数系统,群、环、域等),布尔代数,计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
以上内容参考:百度百科-离散数学

全关系,是指集合中任意元素之间(包括元素与自身),都有此关系成立。

具有性质:自反性、传递性、对称性、完全性

准确的说,是笛卡尔乘积A×A的全集合。

集合表示法:关系是集合,有类似于集合的表示方法.
列举法,如R={<1,1>,<1,2>};描述法:如
关系矩阵: RÍA×B,R的矩阵
关系图: R是集合上的二元关系,若ÎR,由结点aI画有向弧到bj构成的图形.
2. 几个特殊的关系
空关系Æ;唯一是任何关系的子集的关系.
全关系
恒等关系 ,MI是单位矩阵.
3. 关系的运算
h关系的集合运算,有并、交、补、差和对称差.
h复合关系,有
复合关系矩阵: (布尔运算),有结合律:(R·S)·T=R·(S·T)
h逆关系 , ,(R·S)-1=S-1·R-1.
4. 关系的性质
h自反性;矩阵 的主对角线元素全为1;关系图的每个结点都有自回路.
h反自反性 ;矩阵 的主对角线元素全为0;关系图的每个结点都没有自回路.
h对称性若 ,则 ;矩阵 是对称矩阵,即 ;关系图中有向弧成对出现,方向相反.
h反对称性若 且 ,则x=y或若 ,则 ;矩阵 不出现对称元素.
h传递性若 且 ,则 ;在关系图中,有从a到b的弧,有从b到c的弧,则有从a到c的弧. 判断传递性较为困难.
可以证明:R是集合A上的二元关系,
(1)R是自反的ÛIAÍ;R; (2)R是反自反的ÛIAÇR=Æ;
(3)R是对称的 ÛR=R-1; (4)R是反对称的ÛRÇR-1ÍIA;
(5)R是传递的ÛR·RÍR.
设A,B为任意集合,一个从An到B的映射,称为集合A上的一个n元运算。如果B A,则称该n元运算时封闭的。
一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统,称为一个代数系统,记作:<A, f1,f2,…,fk>。
设A为任意非空集合,*是集合A上的二元运算。
(1)封闭性:对任意a,b∈A,若有a*b∈A,则称运算*关于集合是封闭的。
(2)结合律:对任意a,b,c∈A,若有a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算*在集合A是可结合的,或称运算*在A上满足结合律。
(3)交换律:对任意a,b∈A,若有a*b=b*a,称为运算*在A上市可交换的,或称*运算在A上满足交换律。
(4)幂等率:若对 a∈A,有a*a=a,则称运算*在A上市幂等的,或称运算×在A上满足幂等率。
(5)分配律:若对 a,b,c∈A有 : a (b*c)=(a b)*(a c) 和(b*c) a=(b a)*(c a)成立,则称运算 对*时可分配的,或称运算*满足分配律。
(6)吸收率:若 和*满足交换律而且有: a,b∈A,并有a (b*c)=a和a* (b c)=a,则称 和*运算时可吸收的,或称 和*运算满足吸收率。
定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算,若存在 (或 ),使得对于 x∈A,都有 (或 ),则称 (或 )是A中关于*运算的左(或右)幺元(或单位元)。如果A中一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则成e是A中关于运算* 的遥远。
显然对于任一x∈A,e*x=x*e=x。
定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算,如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的左零元;如果有一个元素 ,对于任意元素 都有 ,则称 为A中关于运算*的右零元。如果A中的一个元素 ,他既是左零元,又是右零元,则称 为A上关于运算*的零元。
设*是集合A上的二元运算,且在A中有关于运算*的左幺元 和右幺元 ,则 ,且A中幺元是惟一的。
设*是定义在集合A上的二元关系,在A中有关于运算*的左零元 和右零元 那么 ,且A中零元是惟一的。
定理4.1.3 设有代数系统<A,*>中,A的元素个数多于1,若其存在关于运算*的单位元e与零元O,则 。
定义4.1.6 设代数系统<A,*>中,e是关于*的单位元,若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得b*a=e,则称b为a 的一个左逆元;若a*b=e,则称b为a的一个右逆元。若一个元素b,既是a 的左逆元,又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,记作 。
设代数系统<A,*>,这里*是定义在A上的二元运算,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元,如果*是可结合运算,那么这个代数系统中,任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的。
如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同运算性质。
定义4.1.8 设 是代数系统, ,且B对 都是封闭的,B和S还含有相同的代数常数,则称 是V的子代数系统,简称子代数。
定义4.2.1 设*是集合S上的二元运算,若运算*时封闭的,并且*是可结合的,则称代数系统<S,*》为半群。这个定义包括两点,及对于任意 ,
(1) ,
(2)(a*b)*c=a*(b*c)
设<S,*>是一个半群, ,且*在B上封闭,那么<B,*>也是一个半群,通常称<B,*>是半群<S,*>的子半群。
若半群<S,*>中存在一个幺元则称<S,*>为独异点(或含幺半群)。
设<S,*>是独异点,对于 ,且a, b均有逆元,则:
(1) ,(2)若a*b有逆元,则 。
设<G,*>是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算,
(1)如果*是封闭的;
(2)运算*时可结合的;
(3)存在幺元e;
(4)对于每一个元素 ,存在它的逆元 ;则称<G,*>是一个群。
设<G,*>是一个群,如果G是有限群,那么称<G,*>为有限群,G中元素的个数统称称为该有限群的阶数,记为 。
若群G中,只含有一个元素,即G=|e|,|G|=1,则称G为平凡群。


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什么是集合?什么是序关系?
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非空集合有子集吗?
有n个元素,每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里,这样子判断n次,产生了2^n种不同子集。子集是一个数学概念:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集。符号语言:若∀a∈A,均有a∈B,则A⊆B。如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(...

ABCD是集合且均非空集,AxB=CxD,证明A=C且B=D
如下图所示。离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科,是现代数学的一个重要分支。随着信息时代的到来,工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化,离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关...

离散数学第五版:第四章知识点概要
等价关系指在非空集合A上同时满足自反、对称和传递性的关系,可以记作x~y。等价类指等价关系中具有完整传递关系的一个类,指的是y,记作[x]。A在R下的商集,指的是等价关系R下哥哥等价类的整体集合,记作A\/R。划分就像切大饼一样,讲集合分为互斥的几个部分。一个有意思的点是,划分和商集...

离散数学题求解答
应该是C吧 设R是非空集合A上的二元关系,在关系R中,添加最少的有序对,新关系用R¢表示,使得R¢具有关系的自反(对称、传递)性质,R¢就是R的自反(对称、传递)闭包,记作r(R) ,s(R)和t(R)。

映射的两个集合必须都是非空集吗?假如说A到B的映射,A可以是空集吗?
这就说明,A,B 都必须是非空集合。按理说,如果 A = ∅ ,A中就没有元素,B 无论是否是空集都会有f:A→B。但可能这样的映射是没有意义的(就如同数学意义上的 0 ÷ 0 一样),因此数学权威规定了仅当A ∉ ∅ 且 B ∉ ∅ 时才可能有f:A→B。

离散数学,二元关系的问题
空关系一定指某非空集合A上的空关系,A上的关系R具有反自反性,要求对任意的A中的元素x,<x,x>不属于R,空关系是没有任何序偶的关系,显然空关系具有上述特征,故空关系具有反自反性。另一方面,A上的关系R具有自反性,要求对任意的A 中的元素x,<x,x>均属于R,空关系是没有任何序偶的关系,显然...

离散数学里的映射问题
设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素a,在集合B中都存在唯一对应的一个元素b,那么,这样的对应叫做集合A到集合B的映射(Mapping),记作f:A→B。 其中,b称为a在映射f下的象,记作:b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中多有元素的像的集合记作...

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平凌因特: 当A为空时,A上的空关系有自反性;(空证明) 当A为非空时,A上的空关系无自反性;

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葫芦岛市13048349091: 什么叫ERC和DRC
平凌因特: 离散数学中设R是集合A上的等价关系.R所具有的关系的三个特性是:对于任意的a∈A,因为R是等价关系,所以aRa,由S的定义可知(a,a>∈S.所以S非空且有自反性.如果∈S,那么存在c∈A,使得aRc,cRb.因为R是等价关系,有对称性,所以bRc,cRa,由S的定义可知∈S.所以S有对称性.如果,∈S,那么存在d∈A,使得aRd,dRb.存在e∈A,使得bRe,eRc.因为R是等价关系,有传递性,所以由dRb,bRe,eRc可知dRc.由aRd,dRc以及S的定义可知∈S,所以S有传递性.所以,S是等价关系.

葫芦岛市13048349091: 离散数学,请给出集合的结合率. -
平凌因特: 结合律(AUB)UC=AU(BUC) x∈(AUB)UC,即 x∈AUB 或 x∈C 即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C 即 x∈A 或 x∈B∪C 即 x∈AU(BUC) 说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)不懂请追问,有帮助请采纳,谢谢!

葫芦岛市13048349091: 非空集合上的自反关系必不是反自反的 - 上学吧普法考试
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