试述导数在解决实际问题中的应用

导数在实际生活中的应用摘要~

1.导数在医药卫生工作中的应用
（1）人口增长问题
（2）病人血液中药物浓度的测算
2.导数在经济生活中的应用
（1）边际分析
在经济学中，若)(xfy=可导，则导函数)(xf′称为)(xf的边际函数。在点0x的值)(0xf′称为)(xf在0x处的边际值(或变化率等)。如某干鱼加工厂加工某种干鱼的总收入函数和总成本函数分别是202.08)(xxxR+=和203.0200)(xxxC++=，求边际利润函数和当日产量分别是300公斤，350公斤和400公斤时的边际利润，并说明其经济意义。
（2）弹性分析
在经济分析中，弹性用来描述一个经济变量y相对于另一个经济变量x变化时所作出反映的敏感程度。即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量。如某品牌中药牙膏价格是8元时，需求量是1000支；当价格提高到10元时，需求量减少为950支，试求该牙膏需求对价格的弹性。
除此之外，还用在资源的合理利用、器具制造、变路移址等方面

一. 教学内容：

导数在实际生活中的应用



二. 重点、难点：

教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．

教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．



三. 主要知识点：

1. 基本方法：

（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x）在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）为这个区间内的减函数.

（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.

（3）判别f（x0）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.

（4）求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值.

（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求在内的极值；（2）将的各极值与、比较得出函数在上的最值.

2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.

解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.

根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．



【典型例题】

例1、在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

思路一：设箱底边长为x cm，则箱高cm，得箱子容积V是箱底边长x的函数：，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的，这个结论是否具有一般性？



变式：从一块边长为a的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？



提示：答案：．

评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.



例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米．

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗油（升）．

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

依题意得



令得

当时，是减函数；

当时，是增函数．

当时，取到极小值

因为在上只有一个极值，所以它是最小值．

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．



例3、求抛物线上与点距离最近的点.

解：设为抛物线上一点，

则.

与同时取到极值.

令.

由得是唯一的驻点.

当或时，是的最小值点，此时.

即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.



例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.

解：不失一般性，设烟囱A的烟尘量为1，则烟囱B的烟尘量为8并设AC＝ ，

于是点C的烟尘浓度为，

其中为比例系数.



令，有，

即.

解得在（0，20）内惟一驻点.

由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，

在惟一驻点处，浓度最小，即在AB间距A处处的烟尘浓度最小.



例5、已知抛物线y＝－x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.

解：设切点P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，

∴k1＝－2x0.

∴l的方程为y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，

∴三角形的面积为S＝··（x02+2）＝.

∴S′＝. 令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.

∴当0＜x0＜时，S′＜0; 当x0＞时，S′＞0.

∴x0＝时，S取极小值∵只有一个极值，

∴x＝时S最小，此时k1＝－，切点为（，）.

∴l的方程为y －＝－（x－），即2x+3y－8＝0.



例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解：设∠BCD＝Q，则BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，

∴AC＝50－40cotθ

设总的水管费用为f（θ），依题意，有

f（θ）＝3a（50－40·cotθ）+5a·

＝150a+40a·

∴f′（θ）＝40a·

令f′（θ）＝0，得cosθ＝

根据问题的实际意义，当cosθ＝时，函数取得最小值，

此时sinθ＝，∴cotθ＝，

∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.



例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？



解：设OO1为，则

由题设可得正六棱锥底面边长为：，

故底面正六边形的面积为：

＝，（单位：）

帐篷的体积为：

（单位：）

求导得．

令，解得（不合题意，舍去），，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

∴当时，最大．

答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．



【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）

A. 米/秒 B. 米/秒 C. 米/秒 D. 米/秒

2. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

3. 是函数值的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 当时，有不等式 （ ）

A.

B. 当时 ，当时

C.

D. 当时，当时

5. 方程在的实根个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 设函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.



二、填空题

7. 曲线在点处的切线方程为_______________.

8. 若函数有三个单调区间，则的取值范围是 .

9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为______________



三、解答题

10. 设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，

（1）求的值；（2）求函数的递减区间.



11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：，且生产x吨的成本为（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）

12. 已知在与时，都取得极值.

（1）求的值；

（2）若，求的单调区间和极值；

（3）若对都有恒成立，求的取值范围．





【试题答案】

1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D

7.

8.

9. 解析：设底面边长为x，则高为h＝，

∴S表＝3×·x+2×x2＝+x2．

∴S′＝－+x．令S′＝0，得x＝．

答案：

10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点

∴ c＝0，又图象与x轴相切于（0，0）点，＝3x2+2ax+b

∴ 0＝3×02+2a×0+b，得b＝0

∴ y＝x3+ax2，＝3x2+2ax

当时，，当时，

当x＝时，函数有极小值－4

∴ ，得a＝－3

（2）＝3x2－6x＜0，解得0＜x＜2

∴ 递减区间是（0，2）

11. 解：每月生产x吨时的利润为







，故它就是最大值点，且最大值为：

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．

12. 解：（1）f′（x）＝3x2＋2a x＋b＝0.

由题设，x＝1，x＝－为f ′（x）＝0的解.

－a＝1－，＝1×（－）. ∴a＝－，b＝－2.

（2）f（x）＝x3－x2－2 x＋c，由f （－1）＝－1－＋2＋c＝，c＝1.

∴f（x）＝x3－x2－2 x＋1.

x
（－∞，－）
（－，1）
（1，＋∞）

f ′（x）
＋
－
＋


∴f （x）的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）.

当x＝－时，f （x）有极大值，f （－）＝；

当x＝1时，f （x）有极小值，f （1）＝－.

（3）由上，f ′（x）＝（x－1）（3x＋2），f （x）＝x3－x2－2 x＋c，

f （x）在[－1，－]及（1，2）上递增，在（－，1）递减.

f （－）＝－－＋＋c＝c＋. f （2）＝8－2－4＋c＝c＋2.

由题设，c＋2＜恒成立，＜0，

∴c＜－3，或0＜c＜1 .








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1、导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

2、导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。

3、物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就直线运动而言，位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度），可以表示曲线在一点的斜率，还可以表示经济学中的边际和弹性。

扩展资料：

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

参考资料来源：百度百科—导数

1）导数概念是微积分的基本概念之一，它有着丰富的实际背景。教科书选取了两个典型的变化率问题，从平均变化率到瞬时变化率定义导数。在此基础上，教科书借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系。同时，教科书还注重渗透和展现其中蕴含的丰富思想，如逼近、以直代曲等。

（2）在导数的计算一节，教科书先根据导数定义求出几个常见函数的导数，以让学生进一步理解导数的概念；然后，教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，本节的重点在于让学生会使用这些公式与法则求简单函数的导数。

（3）导数是研究函数的有力工具，教科书主要介绍了如何用导数研究函数的单调性，如何用导数求函数的极大（小）值和最大（小）值。其中，运用导数研究函数的单调性是本节的基础。

（4）教科书选取了三个生活中的优化问题：如何设计海报、饮料瓶大小对公司利润的影响、磁盘的最大存储量，以说明如何通过建立这些问题的数学模型，运用导数这个工具解决生活中的优化问题。

（5）在引导学生认识定积分概念的过程中，教科书利用求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出“以直代曲”“以不变代变”和“逼近”这些重要的思想方法，给出求解这类问题的一般步骤，进而引出定积分的定义和几何意义．

（6）教科书引导学生分析分别用变速直线运动的“位置函数”s=s(t)及其导数(“速度函数”)表示物体在某一时间段内的位移的方法，使学生体会微积分基本定理的内涵，了解导数和定积分之间的内在联系．

（7）教科书介绍了定积分在求一些简单平面图形的面积、变速直线运动的路程以及变力作功中的应用，使学生进一步体会定积分丰富的背景和广泛的应用．

三、编写中考虑的几个问题

1．突出概念本质

导数和定积分都是微积分中的核心概念。导数就是瞬时变化率，是平均变化率有确定（的）变化趋势的结果，蕴含了由均匀变化研究不均匀变化，通过一个小的区域研究一点的性质，由一点的性质估计此点附近的性质等基本思想；定积分概念中最本质的思想是在局部小范围内“以直代曲”“以不变代变”。

教科书编写的重点就是突出概念的本质思想，并没有从数学定义的角度讲极限，而是通过对跳水运动的研究，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从中引出导数；通过解决曲边梯形的面积给出解决这类问题的一般步骤（分割、近似代替、求和、取极限），从而揭示出定积分的思想，引入定积分的概念。这样，可以避免学生难以克服极限概念的理解这个问题，从而将更多的精力关注于导数和定积分概念本质的理解上，而不单单地将导数和定积分理解为一种特殊的极限。虽然教科书没有给出极限的定义，但是自始至终都体现出了极限的思想，以让学生在学习的过程中以具体内容为载体，逐步体会和感受极限思想，从而为大学阶段学习严格的极限定义打好基础。

同时，教科书对概念的表示、公式的推导、运算法则等都作了淡化处理，以突出对概念内涵的理解。

2．重视直观、强调背景、体现应用

在学生初次接触微积分的概念时，给学生一个形象直观的背景支持，使学生充分认识

导数和定积分的几何意义和物理意义，对于学生正确理解概念、建立概念的抽象定义都是非常重要的。在编写过程中，教科书在这方面作了较大的努力。例如，借助于过一点的曲线割线到切线的变化过程，展示平均变化率到瞬时变化率的过程；导数的运算中，求出导函数后，给出相应的几何意义和物理意义的解释；解决曲边梯形面积的每一步，始终是数值计算与图形分析相结合；提供利用导数几何意义和定积分几何意义解决问题的机会；等等。

微积分的思想来源于实践，反过来又服务于实践。教科书强调概念的背景及其在不同

方面的应用。因此，教科书选取了与生活实际密切相关的，现实世界中比较常见的素材，例如，气球的膨胀率、高台跳水运动、净化水费用、国内GDP增长率、工厂“三废”（废物、废水、废气）排污率、城市绿地面积的增长率、人口增长速度、汽油的使用效率、饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响等，通过这些素材来引发学生学习微积分的兴趣，展现概念的发生、发展过程，反映微积分的应用，从而使学生感受微积分与科技、社会以及自己的生活的紧密关系。

3．关注微积分的文化价值

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡

的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教科书在不同的时机让学生通过了解微积分的发展史。例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值。

四、对教学的几个建议

1．关于极限概念的处理

一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列数列的极限函数的极限导数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义。由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此，教科书没有介绍任何形式的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数，用“趋近于”、“无限逼近于”、“趋于”、“无限变小”等通俗易懂的词对极限的过程进行描述。这样一来，其一，避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力放于导数本质的理解上；其三，学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

在教学中值得注意的是，教科书编写的重点在于理解概念的内涵和基本方法，并不追求理论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分关注这一点，将教学重点放在概念内涵的理解上。

2．把握好教学要求

在导数及其应用的教学中，应该特别注意把握内容的教学要求，除了上述提及的极限问题，还有以下两个方面。

（1）避免过量的形式化的运算练习

关于导数的计算，有两种方法，一是用导数定义计算函数的导数，二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。值得注意的是，由于没有介绍极限知识，因此第一种方法只是用导数方法计算四个函数（选修2-2是五个函数）的导数，目的在于让学生在感受用定义求导数的过程中进一步理解导数；第二种方法是教科书直接给出了导数公式和运算法则，并没有进行公式推导，也不要求推导，只是会用它们进行简单的计算即可。

对于定积分，教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单，而且和导数一样，这种计算方法的目的在于让学生了解定积分的概念。利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式，由于导数公式有限而且没有讲原函数等知识，故对于定积分的计算要求很简单，基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数。

因此，在教学中关于导数和积分的计算要求一定要把握好，避免过量、复杂的形式化练习，防止将导数和积分作为一些规则和步骤来学习，而忽略了它们的思想和价值。

（2）控制应用的广度与深度

无论是导数还是定积分，都加强了它们在数学内部和外部的应用，教科书也选用了大量不同方面的例子。但是，应用的目的是让学生体会到微积分方法在研究某些问题中的一般性和有效性，感受到微积分的价值和作用。因此，在教学中控制应用的广度和深度，避免陷入其中偏离主题。例如，在用导数求函数极（最）值时，将函数控制在不超过三次多项式；利用定积分计算简单的平面图形的面积，不涉及旋转体；关于生活中的问题，尽量选取背景比较简单，学生比较熟悉的物理问题，像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等。

3．信息技术的使用

信息技术工具在导数及其应用的学习中有很大的作用，发挥的空间很开阔。如果有条件，我们希望在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念。例如，利用信息技术的图形功能，演示割线的动态变化趋势，会对学生认识导数的几何性质非常有帮助；将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，学生就会看到，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线，这有助于学生更好地体会以直代曲的思想；当n发生变化时，信息技术能有效地显示出数值和图形的变化，让学生更好地体会求曲边梯形面积的基本步骤“分割、近似代替、求和、取极限”，从而感受以直代曲、逼近等思想。

http://wenda.tianya.cn/question/290a1130de6910cf

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大余县15211573064： 关于导数在现实生活中的应用...举一两个例子. - ？
奚坚盐酸：[答案] 1、求车加速度 2、往一个不规则的水槽里注水快慢

大余县15211573064： 如何利用导数解决生活中的许多优化问题 - ？
奚坚盐酸：[答案] 生活中的许多优化问题,往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题,在利用导数解决这类优化问题时,其一般步骤是:(l)设出恰当的未知量,并确定未知量的取值范围(即函数的定义域);(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数...

大余县15211573064： 导数的实际应用(生活中的优化问题)!圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与半径应怎样选择,才能使所用材料最省? - ？
奚坚盐酸：[答案] 设高h,半径r, V=hπr^2 ,h=V/(πr^2)上下面积和为s1=2πr^2 ,侧面积s2=2πrh s=s1+s2=2πrh +2πr^2=2V/r + 2πr^2 s'=-2V/r^2+4πr 最值在s'=0取 V=4πr^3 所以h=4r

大余县15211573064： 导数 或 极限 在实际生活中的应用 - ？
奚坚盐酸： 主要是用于近代物理的某些近似处理,从而是物理应用于实际,现在计算机的所有发展都和它有很大的关系

大余县15211573064： 关于导数在生活中、物理中的应用导数在物理中什么地方会用到,并举例,生活中呢,不能举气球胀大,谁来回答? - ？
奚坚盐酸：[答案] 工程上很多实际的问题都会有相关应用,比如求水坝斜面的压强等等,考虑到微分的思想,需要积分类的都会用到导数的思想.

大余县15211573064： 导数的实际应用,共有哪些 - ？
奚坚盐酸： 基于你问问题的方式,想必是高中生,速度就是位移的导数,速率就是路程的导数,这个算是高中物理中你能看到的一些导数的应用了,高中大多加速度是恒定的,不需要导数的知识就可以处理问题,但是实际生活中的问题远没有那么简单. 到了大学会学习微积分,导数就是其中最基础的内容之一,而后还会学习微分方程之类的内容,当然这些又有什么用呢,比方说在通信领域,信号处理会用到微积分中的傅立叶理论去处理信号,没有这些东西,电脑呀,电视呀就不可能正常的工作.当然导数运用最广的还是在物理学当中,在物理学中有很多物理学量满足类似速度和位移的关系,从而就需要导数这个工具进行大量的计算.

大余县15211573064： 导数在生活中的作用是什么?在哪些领域?请列举,简单的说明下原理 - ？
奚坚盐酸：[答案] 当导数为0时可求最值~通常利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题

大余县15211573064： 导数的实际应用有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价格是铁的三倍,问如何设计使总造价最小.(过程与分析) - ？
奚坚盐酸：[答案] 底面半径为R,底面积为∏R^2 高为V/(∏R^2),侧面积为2∏R*V/(∏R^2)=2V/R 造价S=K(4∏R^2+2V/R),K为单位面积铁的价格 求造价最小,造价对R求导令为0 8K∏R-2KV/R^2=0 R^3=V/4∏ R=3√(V/4∏)

大余县15211573064： 导数在生活中能解决什么问题,还有微分,偏微分,函数都能解决哪些问题 - ？
奚坚盐酸：[答案] 微积分非常重要啊,生活中的应用也很常见!比如,你爬山,你要找个容易爬得地方,数学上就是找梯度小的地方(梯度也就涉及导数和偏导数等).还有你开车时,踩着油门加速,你也可以自己算,用多长时间加到多大速度,这些都可能涉及函数和...

大余县15211573064： 数学导数的应用及例子 - ？
奚坚盐酸： 导数的应用很多的,最简单是就是求曲线的切线. 实际中的例子也很多,比如已知速度,求加速度.还有求山体的坡度等等.