一道挺有意思的数学题,还请高手给一下证明方法。
1+1嘛,就等于2嘛。
至于歌德巴赫猜想
当年徐迟的一篇报告文学,中国人知道了陈景润和歌德巴赫猜想。
那么,什么是歌德巴赫猜想呢?
哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,提出了以下的猜想:
(a)任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。
到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了哥德巴赫猜想。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。
在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年,挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。
1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”,其中c是一很大的自然数。
1956年,中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年,苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫,及 意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
从1920年布朗证明"9+9"到1966年陈景润攻下“1+2”,历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的30多年里,人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究,均劳而无功。
布朗筛法的思路是这样的:即任一偶数(自然数)可以写为2n,这里n是一个自然数,2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和: 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,…;3j和(2n-3j),j=2,3,…;等等),如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去,例如记其中的一对为p1和p2,那么p1和p2都是素数,即得n=p1+p2,这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明,这个猜想也就解决了。
然而,因大偶数n(不小于6)等于其对应的奇数数列(首为3,尾为n-3)首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数(1+1)或质数+合数(1+2)(含合数+质数2+1或合数+合数2+2)(注:1+2 或 2+1 同属质数+合数类型)在参与无限次的"类别组合"时,所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现,1+1与1+2的交叉出现(不完全一致的出现),同2+1或2+2的"完全一致",2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系,就可导出的"类别组合"为1+1,1+1与1+2和2+2,1+1与1+2,1+2与2+2,1+1与2+2,1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2,1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可将1+2与2+2,以及1+2两种方式的存在排除,则1+1得证,反之,则1+1不成立得证。然而事实却是:1+2 与2+2,以及1+2(或至少有一种)是陈氏定理中(任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和,或一个素数与两个素数乘积的和),所揭示的某些规律(如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况)存在的基础根据。所以1+2与2+2,以及1+2(或至少有一种)"类别组合"方式是确定的,客观的,也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。
由于素数本身的分布呈现无序性的变化,素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系,偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗?不能!偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来,人们的努力证明了这一点,最后选择放弃,另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们,他们的努力,只使数学的某些领域得到进步,而对歌德巴赫猜想证明没有一点作用。
歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系,表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式,是不存在的。它可以从实践上证实,但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢?个别和一般在质上同一,量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上,逻辑上证明的数学结论。
“用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”(引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》)
关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对歌德巴赫猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对歌德巴赫猜想研究兴趣很大。
事实上,在1900年,伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题。歌德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多问题就都有了答案,而歌德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决歌德巴赫猜想。
例如:一个很有意义的问题是:素数的公式。若这个问题解决,关于素数的问题应该说就不是什么问题了。
为什么民间数学家们如此醉心于哥猜,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?
一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。
数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下。
民间数学家解决歌德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决歌德巴赫猜想。退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了歌德巴赫猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。
当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的。
同样,当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法。别人问他为什么,他回答说:“这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?”的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线、模形式等。
所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着歌德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具。
EF = 2FG 理由如下:
∵ 四边形ABCD 是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG
∴ DA=AB, ∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90°
∴ ∠BAF = ∠ADE
∴ △ABF ≌ △DAE
∴ BF = AE , AF = DE
∴ DE-BF = AF-AE = EF
∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG
∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG
∴ BA/BF=AF/BF=BF/GF=2
∴ AF = 2BF , BF = 2 FG
∵AE = BF,∴ EF = BF = 2 FG
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当。
为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。
大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹。
“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字:“1”.
这个数学猜想的通俗说法是这样的:
任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果他是奇数,就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1.
对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试:
若 N=9,则 9×3+1=28, 28÷2=14, 14÷2=7, 7×3+1=22,22÷2=11,11×3+1=34,34÷2=17,17×3+1=52,52÷2=26, 26÷2=13,13×3+1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.
你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”.
若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3+1=46,46÷2=23,23×3+1=70,70÷2=35,35×3+1=106,106÷2=53,53×3+1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.
你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”.
有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1.例如:
N=65536=216
则有:65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1.
你看,它的路径长度为16,比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法。严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异,是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目,已达到1099511627776.
由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难。
不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣。比如,对于“角谷猜想”若作如下更动:
任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2;若它是奇数,则将它乘以3再减1.……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环:
①1→2→1;②5→14→7→20→10→5;
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17.
我看了资料:
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当。
为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。
大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹。
“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字:“1”.
这个数学猜想的通俗说法是这样的:
任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果他是奇数,就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1.
对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试:
若 N=9,则 9×3+1=28, 28÷2=14, 14÷2=7, 7×3+1=22,22÷2=11,11×3+1=34,34÷2=17,17×3+1=52,52÷2=26, 26÷2=13,13×3+1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.
你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”.
若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3+1=46,46÷2=23,23×3+1=70,70÷2=35,35×3+1=106,106÷2=53,53×3+1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.
你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”.
有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1.例如:
N=65536=216
则有:65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1.
你看,它的路径长度为16,比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法。严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异,是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目,已达到1099511627776.
由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难。
不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣。比如,对于“角谷猜想”若作如下更动:
任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2;若它是奇数,则将它乘以3再减1.
①1→2→1;②5→14→7→20→10→5;
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17.
这道题可以试着用数学归纳法做(我也只是猜测哈)
设这个正整数为a,则a=1,2,3...
当a=1时,3a+1=4,4/2=2,2/2=1,(然后就是4,2,1循环)
当a=2时,(同上)
当a=3时,(如题解)
当a=1时,(同a=1)
.
.
.
可以判断出,a以上述运算法则只要最后算出是4的倍数
(下面用数学归纳法证明:
①当a=1时,3a+1=4,4/2=2,2/2=1,(然后就是4,2,1循环)
②假设当a=n时也成立,则3n+1=m(设m是4的整数倍)
那么,当a=n+1时,
3(n+1)=3n+1+3=m+3
m+3必为奇数,3(m+3)+1=3m+10
对3m,为4的整数倍,必有上述结论
对10,10/2=5,5×3+1=16,16/2=8,8/2=4,4/2=2,2/2=1,1×3+1=4,然后是此循环
∴证明得证。
这个是著名的“考拉兹猜想”,其实目前还没有用数学方法证明其完全成立,(呵呵,我这个也是胡编的,自己认为差不多啦!)
不过,鄙人认为,只要可以把质数证明出来就应该可以了...不过,貌似这个工程比较浩大哈!
这个是著名的“考拉兹猜想”(又称3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想)
和“哥德巴赫猜想”一样目前还没有用数学方法证明其完全成立
在1930年代,德国汉堡大学的学生考拉兹,曾经研究过这个猜想,因而得名。在1960年,日本人角谷静夫也研究过这个猜想。但这猜想到目前,仍没有任何进展。
目前已经有分布式计算在进行验证。到2005年8月2日,已验证正整数到 6 × 258 = 1,729,382,256,910,270,464,也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数,这猜想都能成立。
有的数学家认为,该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步,将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者,在进行关于“负数的3x+1”、“5x+1”、“7x+1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。
3a+1=2a+a +1,若为奇数,则结果必为偶数,除以2,为a+(a+1)/2,此时(a+1)/2有奇数偶数两种可能:若(a+1)/2为奇数,也a+(a+1)/2为偶数,执行下一步,除以2;若(a+1)/2为偶数,则a+(a+1)/2为奇数,再×3+1得4a+2+(a+1)/2,为偶数,再除二2a+1+(a+1)/4,后面的就简单了,自己算吧
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环翠区19433507231: 一道有意思的数学题:求电影院里的椅子数一个电影院有25排椅子,最后一排有70个椅子,每前一排都比后排少2个座位,也就是说倒数第二排有68个椅子,... - ?
贸冠感冒:[答案] 这是典型的等差数列题啊 套公式就OK了 简单不过了 已知a1=70 d=-2 n=25 因此an=a1+(n-1)d=70-48=22 所以S=n(a1+an)/2=25(70+22)/2=1150
环翠区19433507231: 一道比较有意思的数学题 有三个人去一家旅馆住一个房间,一个房间是30元.他们互相都不认识,所以一人拿了10元.在他们交过钱后店主说今天旅店有优惠,... - ?
贸冠感冒:[答案] 27+2,没有任何意义,这两个数字根本不能相加.道理很简单,27是什么,是25元的实际房费和服务生藏起的2元的总和.里面已经包含2了,再加2就说不通了.正确算法:实际房费25元,服务生藏起的2元,一共是27元;“把剩下的3元钱...
环翠区19433507231: 一道很牛很有趣的数学题....请高手前来解答! - ?
贸冠感冒: 日租金360元. 虽然比客满价高出200元,因此失去30位客人,但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入; 扣除50间房的支出40*50=2000元,每日净赚16000元.而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元.这是一道数学应...
环翠区19433507231: 挺有意思的数学题有36只缸,由9条船装,每条船只能装单数,不能空 ?
贸冠感冒: 分清两个概念: 1)数学概念:是严格而周密的,奇数个奇数相加还是奇数,9个单数相加,不可能等于偶数36.作为数学题,此题无解! 2)茶余饭后的打趣:博人一笑而已! 此题早在民间流传了上百年之久,无一确定的解,凡能解者,均在语言中转空子而已,取一例: 八条船,每条船各装3个缸,把剩余12只放入一大船,并把一只装有3只缸的小船放入大船,这样大船中共装15只缸!
环翠区19433507231: 一道有意思的数学题《孙子算经》是我国古代的一部优秀数学著作,其中有“物不知共数”一问,原文如下:“今有物不知共数,三三数之剩二,无无数只... - ?
贸冠感冒:[答案] 原题的意思是:有一堆物体,不知道有多少个,三个三个的数则剩下两个,五个五个的数则剩下三个,七个七个的数则剩下两个,问物体的数量. 不妨设物体的数量为x,由题知x=3a+2=5b+3=7c+2(其中a,b,c都是正整数) 即a=(x-2)/3,b=(x-3)/5,c=(x-2...
环翠区19433507231: 一道超有趣的数学题 - ?
贸冠感冒: 1、强盗以及警察首先过河,警察回来; 2、警察与女儿过河,警察与强盗回来; 3、妈妈与女儿过河,妈妈回来; 4、妈妈与爸爸过河,爸爸回来; 5、警察与强盗过河,妈妈回来; 6、妈妈与爸爸过河,爸爸回来; 7、爸爸与儿子过河,警察与强盗回来; 8、警察与儿子过河;警察回来; 9、警察与强盗过河.
环翠区19433507231: 10÷(5 - 2)=多少挺有意思的数学题. - ?
贸冠感冒:[答案] 1、10÷5-10÷2=-3 2、10÷3=3.33333(3循环) 故,果然挺有意思的
环翠区19433507231: 一道有意思的数学题:关于还有一元哪去了? - ?
贸冠感冒: 此题很有意思, 仔细想想觉得要想弄明白个所以然,得分清谁在支出,谁在收入, 题中有趣的地方不正是三位同学实际上共花了27元,再加上服务员贪得的2元共29元,剩下的1元不知哪去了吗, 三位同学是支出者,而服务员和旅馆是收入者, 算的时候应该是收入加收入等于总收入,即服务员的2元加旅馆的25元等于27元,正好等于三位同学的总支出. 而不能拿三位同学支出的27元加服务员收入的2元等于总支出或总收入. 支出加收入等于什么呢. 此题正是错在用支出加上收入,这也正是其趣味之所在.